6.2.1: Parábolas con vértice en el origen
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El área de un cuadrado está representada por la ecuación\(\ y=9 x^{2}\). ¿Cuáles son el foco y directrix de esta ecuación?
Parabolas con Vertex en el Origen
Ya sabes que la gráfica de una parábola tiene la gráfica padre\(\ y=x^{2}\), con un vértice de (0, 0) y un eje de simetría de\(\ x = 0\). Una parábola también se puede definir de una manera diferente. Tiene una propiedad tal que cualquier punto en él es equidistante de otro punto, llamado foco, y una línea llamada directrix.
El foco está en el eje de simetría y el vértice está a medio camino entre éste y la directrix. La directrix es perpendicular al eje de simetría.
Hasta ahora, nos hemos acostumbrado a ver la ecuación de una parábola como\(\ y=a x^{2}\). En este concepto, reescribiremos la ecuación para que parezca\(\ x^{2}=4 p y\) dónde\(\ p\) se usa para encontrar el foco y la directrix. También dibujaremos la parábola con una orientación horizontal, tal que la ecuación será\(\ y^{2}=4 p x\).
Observe, que cuando la parábola se abre a la izquierda o a la derecha, la y es cuadrada. En este concepto, el vértice será (0, 0).
Analicemos la ecuación\(\ y^{2}=-12 x\). Encontraremos el foco, directrix, y determinaremos si la función se abre hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Entonces, graficaremos la parábola.
Para encontrar el enfoque y la directrix, necesitamos encontrar\(\ p\). Podemos establecer\(\ -12=4 p\) y resolver para\(\ p\).
\ (\\ begin {array} {c}
-12&=4 p\\
-3&=p
\ end {array}\)
Porque\(\ y\) es cuadrada, sabemos que la parábola se abre a la izquierda o a la derecha. Porque\(\ p\) es negativo, sabemos que se va a abrir hacia la izquierda, hacia el lado negativo del eje x. Usando las imágenes de arriba, esta parábola es como la segunda debajo\(\ y^{2}=4 p x\). Por lo tanto, el foco es (−3, 0) y la directrix es x=3. Para graficar la parábola, trazar el vértice, enfocar, directrix y bosquejar la curva. Encuentre al menos uno o dos puntos en la curva para asegurarse de que su boceto sea preciso. Por ejemplo, porque (−3, 6) está en la parábola, entonces (−3, −6) también está en la parábola porque es simétrica.
Observe que los puntos (−3, 6) y (−3, −6) son equidistantes del foco y la directrix. Ambos son 6 unidades de cada uno.
El foco de una parábola es\(\ \left(0, \frac{1}{2}\right)\). Encontremos la ecuación de la parábola.
Debido a que el\(\ p\) valor es el valor y y positivo, esta parábola se va a abrir. Entonces, la ecuación general es\(\ x^{2}=4 p y\). Conectando\(\ \frac{1}{2}\) para\(\ p\), tenemos\(\ x^{2}=4 \cdot \frac{1}{2} y\) o\(\ x^{2}=2 y\).
Ahora, encontremos la ecuación de la parábola a continuación.
La ecuación de la directrix es\(\ y=5\), lo que significa que\(\ p=-5\) y la ecuación general será\(\ x^{2}=4 p y\). Conectando -5 para\(\ p\), tenemos\(\ x^{2}=-20 y\).
Ejemplos
Anteriormente, se le pidió que encontrara el foco y directrix de la ecuación\(\ y=9 x^{2}\).
Solución
Para encontrar el enfoque y la directrix, necesitamos resolver para\(\ x^{2}\) y luego encontrar\(\ p\).
\ (\\ begin {array} {l}
y&=9 x^ {2}\
\ frac {1} {9} y&=x^ {2}
\ end {array}\)
Ahora podemos establecer\(\ \frac{1}{9}=4 p\) y resolver para\(\ p\).
\ (\\ begin {array} {l}
\ frac {1} {9} =4 p\\
\ frac {1} {36} =p
\ end {array}\)
Por lo tanto, el foco es\(\ \left(0, \frac{1}{36}\right)\) y la directrix es\(\ y=-\frac{1}{36}\).
Determinar si la parábola\(\ x^{2}=-2 y\) se abre hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.
Solución
Abajo;\(\ p\) es negativo y\(\ x\) es cuadrado.
Encuentra el enfoque y la directrix de\(\ y^{2}=6 x\). Después, grafica la parábola.
Solución
Resolviendo para\(\ p\), tenemos\(\ 4 p=6 \rightarrow p=\frac{3}{2}\). Porque\(\ y\) es cuadrado y\(\ p\) es positivo, la parábola se abrirá a la derecha. El foco es\(\ \left(\frac{3}{2}, 0\right)\) y la directrix es\(\ x=-\frac{3}{2}\).
Encuentra la ecuación de la parábola con directrix\(\ x=-\frac{3}{8}\).
Solución
Si la directrix es negativa y vertical (x=), sabemos que la ecuación va a ser\(\ y^{2}=4 p x\) y la parábola se abrirá hacia la derecha, haciendo\(\ p\) positiva;\(\ p=\frac{3}{8}\). Por lo tanto, la ecuación será\(\ y^{2}=4 \cdot \frac{3}{8} \cdot x \rightarrow y^{2}=\frac{3}{2} x\).
Revisar
Determinar si la parábola se abre a la izquierda, derecha, arriba o abajo.
- \(\ x^{2}=4 y\)
- \(\ y^{2}=-\frac{1}{2} x\)
- \(\ x^{2}=-y\)
Encuentra el foco y directrix de las siguientes parábolas.
- \(\ x^{2}=-2 y\)
- \(\ y^{2}=\frac{1}{4} x\)
- \(\ y^{2}=-5 x\)
Grafica las siguientes parábolas. Identificar el enfoque y directrix también.
- \(\ x^{2}=8 y\)
- \(\ y^{2}=\frac{1}{2} x\)
- \(\ x^{2}=-3 y\)
Encuentra la ecuación de la parábola dado que el vértice es (0, 0) y el foco o directrix.
- enfoque: (4, 0)
- directrix: x=10
- enfoque:\(\ \left(0, \frac{7}{2}\right)\)
- Usted ha visto que antes la ecuación parabólica básica era\(\ y=a x^{2}\). Ahora, escribimos\(\ x^{2}=4 p y\). Reescribir\(\ p\) en términos de\(\ a\) y determinar cómo se afectan entre sí.
- Desafío Usa la fórmula de distancia\(\ d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}-\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\),, para demostrar que el punto (4, 2) está en la parábola\(\ x^{2}=8 y\).
- Aplicación del mundo real Una antena parabólica es una parábola tridimensional que se utiliza para recuperar sonido, TV u otras ondas. Suponiendo que el vértice es (0, 0), ¿dónde tendría que estar el foco en una antena parabólica de 4 pies de ancho y 9 pulgadas de profundidad? Se puede suponer que la parábola tiene una orientación vertical (se abre).
Respuestas para problemas de revisión
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El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| directrix | La directrix de una parábola es la línea de la que parece desviarse la parábola. Todos los puntos en una parábola son equidistantes del foco de la parábola y la directrix de la parábola. |
| enfoque | El foco de una parábola es el punto que “ancla” una parábola. Cualquier punto de la parábola está exactamente a la misma distancia del foco que de la directrix. |
| Parábola | Una parábola es el conjunto de puntos que son equidistantes de un punto fijo en el interior de la curva, llamado el “'foco"', y una línea en el exterior, llamada la “'directrix"'. La directrix es vertical u horizontal, dependiendo de la orientación de la parábola. |
Atribuciones de imagen
- [Figura 1]
Crédito: Holly Fischer
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Main_Layers_of_the_Eye.png
Licencia: CC BY-NC 3.0