6.2.1: Parábolas con vértice en el origen

Última actualización

30 oct 2022
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- 6.2: Paráolas
- 6.2.2: Parábolas y la Fórmula de Distancia

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Parabolas con Vertex en el Origen

El área de un cuadrado está representada por la ecuación $\ y=9 x^{2}$ . ¿Cuáles son el foco y directrix de esta ecuación?

Parabolas con Vertex en el Origen

Ya sabes que la gráfica de una parábola tiene la gráfica padre $\ y=x^{2}$ , con un vértice de (0, 0) y un eje de simetría de $\ x = 0$ . Una parábola también se puede definir de una manera diferente. Tiene una propiedad tal que cualquier punto en él es equidistante de otro punto, llamado foco, y una línea llamada directrix.

El foco está en el eje de simetría y el vértice está a medio camino entre éste y la directrix. La directrix es perpendicular al eje de simetría.

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Hasta ahora, nos hemos acostumbrado a ver la ecuación de una parábola como $\ y=a x^{2}$ . En este concepto, reescribiremos la ecuación para que parezca $\ x^{2}=4 p y$ dónde $\ p$ se usa para encontrar el foco y la directrix. También dibujaremos la parábola con una orientación horizontal, tal que la ecuación será $\ y^{2}=4 p x$ .

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Observe, que cuando la parábola se abre a la izquierda o a la derecha, la y es cuadrada. En este concepto, el vértice será (0, 0).

Analicemos la ecuación $\ y^{2}=-12 x$ . Encontraremos el foco, directrix, y determinaremos si la función se abre hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Entonces, graficaremos la parábola.

Para encontrar el enfoque y la directrix, necesitamos encontrar $\ p$ . Podemos establecer $\ -12=4 p$ y resolver para $\ p$ .

\ (\\ begin {array} {c}
-12&=4 p\\
-3&=p
\ end {array}\)

Porque $\ y$ es cuadrada, sabemos que la parábola se abre a la izquierda o a la derecha. Porque $\ p$ es negativo, sabemos que se va a abrir hacia la izquierda, hacia el lado negativo del eje x. Usando las imágenes de arriba, esta parábola es como la segunda debajo $\ y^{2}=4 p x$ . Por lo tanto, el foco es (−3, 0) y la directrix es x=3. Para graficar la parábola, trazar el vértice, enfocar, directrix y bosquejar la curva. Encuentre al menos uno o dos puntos en la curva para asegurarse de que su boceto sea preciso. Por ejemplo, porque (−3, 6) está en la parábola, entonces (−3, −6) también está en la parábola porque es simétrica.

Observe que los puntos (−3, 6) y (−3, −6) son equidistantes del foco y la directrix. Ambos son 6 unidades de cada uno.

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El foco de una parábola es $\ \left(0, \frac{1}{2}\right)$ . Encontremos la ecuación de la parábola.

Debido a que el $\ p$ valor es el valor y y positivo, esta parábola se va a abrir. Entonces, la ecuación general es $\ x^{2}=4 p y$ . Conectando $\ \frac{1}{2}$ para $\ p$ , tenemos $\ x^{2}=4 \cdot \frac{1}{2} y$ o $\ x^{2}=2 y$ .

Ahora, encontremos la ecuación de la parábola a continuación.

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La ecuación de la directrix es $\ y=5$ , lo que significa que $\ p=-5$ y la ecuación general será $\ x^{2}=4 p y$ . Conectando -5 para $\ p$ , tenemos $\ x^{2}=-20 y$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara el foco y directrix de la ecuación $\ y=9 x^{2}$ .

Solución

Para encontrar el enfoque y la directrix, necesitamos resolver para $\ x^{2}$ y luego encontrar $\ p$ .

\ (\\ begin {array} {l}
y&=9 x^ {2}\
\ frac {1} {9} y&=x^ {2}
\ end {array}\)

Ahora podemos establecer $\ \frac{1}{9}=4 p$ y resolver para $\ p$ .

\ (\\ begin {array} {l}
\ frac {1} {9} =4 p\\
\ frac {1} {36} =p
\ end {array}\)

Por lo tanto, el foco es $\ \left(0, \frac{1}{36}\right)$ y la directrix es $\ y=-\frac{1}{36}$ .

Ejemplo 2

Determinar si la parábola $\ x^{2}=-2 y$ se abre hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.

Solución

Abajo; $\ p$ es negativo y $\ x$ es cuadrado.

Ejemplo 3

Encuentra el enfoque y la directrix de $\ y^{2}=6 x$ . Después, grafica la parábola.

Solución

Resolviendo para $\ p$ , tenemos $\ 4 p=6 \rightarrow p=\frac{3}{2}$ . Porque $\ y$ es cuadrado y $\ p$ es positivo, la parábola se abrirá a la derecha. El foco es $\ \left(\frac{3}{2}, 0\right)$ y la directrix es $\ x=-\frac{3}{2}$ .

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Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la parábola con directrix $\ x=-\frac{3}{8}$ .

Solución

Si la directrix es negativa y vertical (x=), sabemos que la ecuación va a ser $\ y^{2}=4 p x$ y la parábola se abrirá hacia la derecha, haciendo $\ p$ positiva; $\ p=\frac{3}{8}$ . Por lo tanto, la ecuación será $\ y^{2}=4 \cdot \frac{3}{8} \cdot x \rightarrow y^{2}=\frac{3}{2} x$ .

Revisar

Determinar si la parábola se abre a la izquierda, derecha, arriba o abajo.

$\ x^{2}=4 y$
$\ y^{2}=-\frac{1}{2} x$
$\ x^{2}=-y$

Encuentra el foco y directrix de las siguientes parábolas.

$\ x^{2}=-2 y$
$\ y^{2}=\frac{1}{4} x$
$\ y^{2}=-5 x$

Grafica las siguientes parábolas. Identificar el enfoque y directrix también.

$\ x^{2}=8 y$
$\ y^{2}=\frac{1}{2} x$
$\ x^{2}=-3 y$

Encuentra la ecuación de la parábola dado que el vértice es (0, 0) y el foco o directrix.

enfoque: (4, 0)
directrix: x=10
enfoque: $\ \left(0, \frac{7}{2}\right)$
Usted ha visto que antes la ecuación parabólica básica era $\ y=a x^{2}$ . Ahora, escribimos $\ x^{2}=4 p y$ . Reescribir $\ p$ en términos de $\ a$ y determinar cómo se afectan entre sí.
Desafío Usa la fórmula de distancia $\ d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}-\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$ ,, para demostrar que el punto (4, 2) está en la parábola $\ x^{2}=8 y$ .
Aplicación del mundo real Una antena parabólica es una parábola tridimensional que se utiliza para recuperar sonido, TV u otras ondas. Suponiendo que el vértice es (0, 0), ¿dónde tendría que estar el foco en una antena parabólica de 4 pies de ancho y 9 pulgadas de profundidad? Se puede suponer que la parábola tiene una orientación vertical (se abre).

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El vocabulario

Término	Definición
directrix	La directrix de una parábola es la línea de la que parece desviarse la parábola. Todos los puntos en una parábola son equidistantes del foco de la parábola y la directrix de la parábola.
enfoque	El foco de una parábola es el punto que “ancla” una parábola. Cualquier punto de la parábola está exactamente a la misma distancia del foco que de la directrix.
Parábola	Una parábola es el conjunto de puntos que son equidistantes de un punto fijo en el interior de la curva, llamado el “'foco"', y una línea en el exterior, llamada la “'directrix"'. La directrix es vertical u horizontal, dependiendo de la orientación de la parábola.

Atribuciones de imagen

[Figura 1]
Crédito: Holly Fischer
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Main_Layers_of_the_Eye.png
Licencia: CC BY-NC 3.0

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