Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

6.2.3: Parábolas con cualquier vértice

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Parábolas con vértice a (h, k)

Tu tarea es encontrar el foco de la parábola (x+4)2=12(y5). Dices que el foco es (−4, 5). Banu dice que el foco es (0, −3). Carlos dice que el foco es (−4, 2). ¿Cuál de ustedes es correcto?


Parábolas con vértice a (h, k)

Ya aprendiste que las parábolas no siempre tienen su vértice en (0, 0). En este concepto, abordaremos las parábolas donde está el vértice (h, k), aprenderemos a encontrar el foco, la directrix y la gráfica.

Recordemos que la ecuación de una parábola es x2=4py o y2=4px y el vértice está en el origen. También, recordemos que la forma de vértice de una parábola es y=a(xh)2+k. Combinando los dos, podemos encontrar la forma de vértice para cónicas.

\ (\\ begin {aligned}
y &=a (x-h) ^ {2} +k\ text {y} x^ {2} =4 p y & &\ text {Resuelve el primero para} (x-h) ^ {2}\\
(x-h) ^ {2} &=\ frac {1} {a} (y-k) &\ text {Encontramos que} 4 p=\ frac {1} {a}\\
(x-h) ^ {2} &=4 p (y-k) & &
\ end { alineado}\)

Si la parábola es horizontal, entonces la ecuación lo será (yk)2=4p(xh). Observe, que aunque se cambie la orientación, los k valores h y permanecen con los y valores x y, respectivamente.

Encontrar el foco y la directrix son un poco más complicados. Utilice la tabla extendida a continuación para ayudarle a encontrar estos valores.

f-d_b3ac315acf833d98d7c2644f157ac584ca4c02211b3f6cc51e7551d0+image_tiny+image_tiny.png

Observe que la forma en que encontramos el foco y la directrix no cambia si p es positiva o negativa.

Analicemos la ecuación (y1)2=8(x+3). Encontraremos el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix. Entonces, determinaremos si la función se abre arriba, abajo, izquierda o derecha.

Primero, porque y es cuadrada, sabemos que la parábola se abrirá a la izquierda o a la derecha. Podemos concluir que la parábola se abrirá a la derecha porque 8 es positivo, es decir, eso p es positivo. A continuación, encuentra el vértice. Usando la ecuación general, (yk)2=4p(xh), el vértice es (−3, 1) y el eje de simetría es y=1.  4p=8Enfrentando, tenemos eso p=2. Sumando p al x -valor del vértice, obtenemos el foco, (−1, 1). Restando p del x -valor del vértice, obtenemos la directrix, x=5.

Vamos a graficar la parábola del problema anterior. Trazar el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix.

Primero, graficar todos los valores críticos que encontramos anteriormente. Luego, determina un conjunto de puntos simétricos que están en la parábola para asegurarte de que tu curva sea correcta. Si x=5, entonces y es -7 o 9. Esto significa que los puntos (5, −7) y (5, 9) están ambos en la parábola.

f-d_9bc3269eabc39e875b0be0aba9925e940bacafe447fcb757c35d0fc3+image_tiny+image_tiny.png

Es importante señalar que las parábolas con orientación horizontal no son funciones porque no pasan la prueba de línea vertical.

El vértice de una parábola es (−2, 4) y la directrix es y=7. Encontremos la ecuación de la parábola.

Primero, determinemos la orientación de esta parábola. Debido a que la directrix es horizontal, sabemos que la parábola se abrirá hacia arriba o hacia abajo (ver tabla/imágenes arriba). También sabemos que la directrix está por encima del vértice, haciendo que la parábola se abra hacia abajo y p será negativa (traza esto en un plano x−y si no está seguro).

Para encontrar p, podemos usar el vértice, (h,k) y la ecuación para una directrix horizontal, y=kp.

\ (\\ begin {aligned}
7 &=4-p\\
3 &=-p\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ text {Recuerda,} p\ text {es negativo debido a la orientación hacia abajo de la parábola.} \\
-3 &=p
\ final {alineado}\)

Ahora, usando la forma general, (xh)2=4p(yk), podemos encontrar la ecuación de esta parábola.

\ (\\ comenzar {alineado}
(x- (-2)) ^ {2} &=4 (-3) (y-4)\\
(x+2) ^ {2} &=-12 (y-4)
\ final {alineado}\)


Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que determinara qué estudiante es correcto.

Solución

Esta parábola es de la forma (xh)2=4p(yk). De la mesa anterior en esta lección, podemos ver que el foco de una parábola de esta forma es (h,k+p). Entonces ahora tenemos que encontrar h, k, y p.

Si comparamos (x+4)2=12(y5) con (xh)2=4p(yk), vemos que:

  1.  4=h or h=4
  2.  12=4p or p=3
  3.  5=k

De estos hechos podemos encontrar k+p=5+(3)=2.

Por lo tanto, el foco de la parábola es (4,2) y Carlos es correcto.

Ejemplo 2

Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de (x+5)2=2(y+2).

Solución

El vértice es (5,2) y la parábola se abre porque p es positiva y x está cuadrada.

 4p=2, haciendo p=12. El foco es (5,2+2) o (5,0), el eje de simetría es x=5, y la directrix es y=212 o y=212.

Ejemplo 3

Grafica la parábola del Ejemplo 2.

Solución

f-d_86c9ec8fd6a83cf8be727a86a5b7528b091c56ab523b48b8d9f2998b+imagen_thumb_postcard_tiny+imagen_thumb_postcard_tiny.png

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (−5, −1) y foco (−8, −1).

Solución

El vértice es (−5, −1), así h=5 y k=1. El foco es (−8, −1), lo que significa que esa parábola será horizontal. Esto lo sabemos porque los valores y del vértice y el foco son ambos -1. Por lo tanto, p se suma o resta a h.

 (h+p,k)(8,1)podemos inferir eso h+p=85+p=8 y p=3

Por lo tanto, la ecuación es (y(1))2=4(3)(x(5))(y+1)2=12(x+5)


Revisar

Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de las parábolas a continuación.

  1.  (x+1)2=3(y6)
  2.  (x3)2=y7
  3.  (y+2)2=8(x+1)
  4.  y2=10(x3)
  5.  (x+6)2=4(y+8)
  6.  (y5)2=12x
  7. Grafica la parábola de #1.
  8. Grafica la parábola de #2.
  9. Grafica la parábola de #4.
  10. Grafica la parábola de #5.

Encuentra la ecuación de la parábola dado el vértice y ya sea el foco o directrix.

  1. vértice: (2, −1), enfoque: (2, −4)
  2. vértice: (−3, 6), directrix: x = 2
  3. vértice: (6, 10), directrix: y = 9.5
  4. Enfoque de desafío: (−1, −2), directrix: x = 3
  5. Extensión Reescribe la ecuación de la parábola, x 2 − 8x + 2y + 22 = 0, en forma estándar completando el cuadrado. Entonces, encuentra el vértice.

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.2.


El vocabulario

Término Definición
Forma de vértice La forma de vértice de una parábola es (xh)2=4p(yk) o (yk)2=4p(xh) dónde (h,k) está el vértice.

Atribuciones de imagen

  1. [Figura 1]
    Crédito: Holly Fischer
    Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Main_Layers_of_the_Eye.png

This page titled 6.2.3: Parábolas con cualquier vértice is shared under a CK-12 license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

CK-12 Foundation
LICENSED UNDER
CK-12 Foundation is licensed under CK-12 Curriculum Materials License

Support Center

How can we help?