1.1: Concepto de Límite
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Ya sabes que a medida que x se vuelve extremadamente grande entonces la función
va 8/3 porque la mayor potencia son iguales y 8/3 es la ración de los coeficientes principales. ¿Cómo se representa esta declaración usando notación límite?
Introducción a los límites
La notación límite es una forma de afirmar una idea que es un poco más sutil que simplemente decir x=5 o y=3.
La letra a puede ser cualquier número o infinito. La función f (x) es cualquier función de x. La letra b puede ser cualquier número. Si la función va al infinito, entonces en lugar de escribir “=∞” deberías escribir que el límite no existe o “DNE”. Esto se debe a que el infinito no es un número. Si una función va al infinito entonces no tiene límite.
Tome el siguiente límite:
El límite de y=4x 2 a medida que x se acerca a 2 es 16
En notación límite, esto sería:
Si bien es posible que una función nunca alcance realmente una altura de b, se acercará arbitrariamente a b. Una forma de pensar sobre el concepto de límite es usar un ejemplo físico. Párese a cierta distancia de una pared y luego dé un gran paso para llegar a la mitad de la pared. Da otro paso para volver a ir a mitad de camino a la pared. Si sigues dando pasos que te llevan a mitad de camino a la pared entonces van a pasar dos cosas. Primero, te acercarás extremadamente a la pared pero nunca llegarás a la pared independientemente de cuántos pasos des. Segundo, un observador que desee describir su situación notaría que el muro actúa como un límite a lo lejos que puede llegar.
Ejemplos
Ejemplo 1
Anteriormente, se le preguntó cómo escribir la declaración “El límite de
a medida que x se acerca al infinito es 8/3 "en notación límite.
Esto se puede escribir usando notación límite como:
Ejemplo 2
Traducir la siguiente declaración matemática en palabras.
El límite de la suma de 1/2 + 1/4 + 1/8 +a medida que el número de términos se acerca al infinito es 1.
Ejemplo 3
Utilice la notación de límite para representar la siguiente declaración matemática.
1/3 + 1/9 + 1/27 += 1/2
Ejemplo 4
Describir el comportamiento final de la siguiente función racional al infinito y al infinito negativo usando límites.
Dado que la función tiene potencias iguales de x en el numerador y en el denominador, el comportamiento final es − 1/2 ya que x va al infinito tanto positivo como negativo.
Ejemplo 5
Traduzca la siguiente expresión limit en palabras. ¿Qué notas sobre la expresión límite?
El límite de la relación de la diferencia entre f de cantidad x más h y f de x y h a medida que h se acerca a 0 es x.
Deberías notar que h→0 no significa h=0 porque si lo hiciera entonces no podrías tener un 0 en el denominador. También debes tener en cuenta que en el numerador, f (x+h) y f (x) van a estar súper cerca entre sí a medida que h se acerca a cero. El cálculo te permitirá lidiar con problemas que parecen parecerse a 0/0 y ∞/∞.
Revisar
Describir el comportamiento final de las siguientes funciones racionales al infinito y al infinito negativo usando límites.
Traducir las siguientes declaraciones en notación límite.
6. El límite de y=2x 2 +1 a medida que x se acerca a 3 es 19.
7. El límite de y=e x a medida que x se acerca al infinito negativo es 0.
8. El límite de y= 1/x a medida que x se acerca al infinito es 0.
Utilice la notación de límite para representar las siguientes declaraciones matemáticas.
9. 1/4 + 1/16 + 1/64 += 1/3
10. La serie 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 +diverge.
11. 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 +=2
12. 9/10 + 9/100 + 9/1000 +=1
Traducir las siguientes declaraciones matemáticas en palabras.
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.1.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Comportamiento final | El comportamiento final es una descripción de la tendencia de una función ya que los valores de entrada se vuelven muy grandes o muy pequeños, representados como los 'extremos' de una función gráfica. |
| Asintota horizontal | Una asíntota horizontal es una línea horizontal que indica dónde se aplana una función ya que la variable independiente se vuelve muy grande o muy pequeña. Una función puede tocar o pasar a través de una asíntota horizontal. |
| notación límite | La notación límite es una forma de expresar el hecho de que una función se acerca arbitrariamente a un valor. |
Recurso Adicional
PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora - Concepto de límite
Video: Introducción a los límites
Práctica: Concepto de límite
Mundo real: Suiting Up