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1.1: Concepto de Límite

Última actualización

30 oct 2022
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- 1: Límite
- 1.2: Evaluar límites usando gráficas

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Al aprender sobre el comportamiento final de una función racional, la describías como que tiene una asíntota horizontal en cero u otro número, o yendo al infinito. La notación límite es una forma de describir matemáticamente este comportamiento final.

Ya sabes que a medida que x se vuelve extremadamente grande entonces la función Captura de pantalla 2020-08-17 a las 11.00.02 PM.png va ⁸/₃ porque la mayor potencia son iguales y ⁸/₃ es la ración de los coeficientes principales. ¿Cómo se representa esta declaración usando notación límite?

Introducción a los límites

La notación límite es una forma de afirmar una idea que es un poco más sutil que simplemente decir x=5 o y=3.

Captura de pantalla 2020-08-17 al 11.01.01 PM.png

La letra a puede ser cualquier número o infinito. La función f (x) es cualquier función de x. La letra b puede ser cualquier número. Si la función va al infinito, entonces en lugar de escribir “=∞” deberías escribir que el límite no existe o “DNE”. Esto se debe a que el infinito no es un número. Si una función va al infinito entonces no tiene límite.

Tome el siguiente límite:

El límite de y=4x ² a medida que x se acerca a 2 es 16

En notación límite, esto sería:

Si bien es posible que una función nunca alcance realmente una altura de b, se acercará arbitrariamente a b. Una forma de pensar sobre el concepto de límite es usar un ejemplo físico. Párese a cierta distancia de una pared y luego dé un gran paso para llegar a la mitad de la pared. Da otro paso para volver a ir a mitad de camino a la pared. Si sigues dando pasos que te llevan a mitad de camino a la pared entonces van a pasar dos cosas. Primero, te acercarás extremadamente a la pared pero nunca llegarás a la pared independientemente de cuántos pasos des. Segundo, un observador que desee describir su situación notaría que el muro actúa como un límite a lo lejos que puede llegar.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo escribir la declaración “El límite de Captura de pantalla 2020-08-17 a las 11.00.02 PM.png

a medida que x se acerca al infinito es ⁸/₃ "en notación límite.

Esto se puede escribir usando notación límite como:

Captura de pantalla 2020-08-19 en 4.44.43 PM.png

Ejemplo 2

Traducir la siguiente declaración matemática en palabras.

Captura de pantalla 2020-08-19 a las 4.46.06 PM.png

El límite de la suma de ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ +a medida que el número de términos se acerca al infinito es 1.

Ejemplo 3

Utilice la notación de límite para representar la siguiente declaración matemática.

¹/₃ + ¹/₉ + ¹/₂₇ += ¹/₂

Captura de pantalla 2020-08-19 en 4.47.14 PM.png

Ejemplo 4

Describir el comportamiento final de la siguiente función racional al infinito y al infinito negativo usando límites.

Captura de pantalla 2020-08-19 a las 4.48.10 PM.png

Dado que la función tiene potencias iguales de x en el numerador y en el denominador, el comportamiento final es − ¹/₂ ya que x va al infinito tanto positivo como negativo.

Captura de pantalla 2020-08-19 en 4.48.38 PM.png

Ejemplo 5

Traduzca la siguiente expresión limit en palabras. ¿Qué notas sobre la expresión límite?

Captura de pantalla 2020-08-19 a las 4.49.05 PM.png

El límite de la relación de la diferencia entre f de cantidad x más h y f de x y h a medida que h se acerca a 0 es x.

Deberías notar que h→0 no significa h=0 porque si lo hiciera entonces no podrías tener un 0 en el denominador. También debes tener en cuenta que en el numerador, f (x+h) y f (x) van a estar súper cerca entre sí a medida que h se acerca a cero. El cálculo te permitirá lidiar con problemas que parecen parecerse a ⁰/₀ y ^∞/_∞.

Revisar

Describir el comportamiento final de las siguientes funciones racionales al infinito y al infinito negativo usando límites.

Captura de pantalla 2020-08-19 en 4.49.56 PM.png

Traducir las siguientes declaraciones en notación límite.

6. El límite de y=2x ² +1 a medida que x se acerca a 3 es 19.

7. El límite de y=e ^x a medida que x se acerca al infinito negativo es 0.

8. El límite de y= ¹/_x a medida que x se acerca al infinito es 0.

Utilice la notación de límite para representar las siguientes declaraciones matemáticas.

9. ¹/₄ + ¹/₁₆ + ¹/₆₄ += ¹/₃

10. La serie 1+ ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ +diverge.

11. 1+ ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ +=2

12. ⁹/₁₀ + ⁹/₁₀₀ + ⁹/₁₀₀₀ +=1

Traducir las siguientes declaraciones matemáticas en palabras.

Captura de pantalla 2020-08-19 en 4.50.43 PM.png

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 14.1.

El vocabulario

Término	Definición
Comportamiento final	El comportamiento final es una descripción de la tendencia de una función ya que los valores de entrada se vuelven muy grandes o muy pequeños, representados como los 'extremos' de una función gráfica.
Asintota horizontal	Una asíntota horizontal es una línea horizontal que indica dónde se aplana una función ya que la variable independiente se vuelve muy grande o muy pequeña. Una función puede tocar o pasar a través de una asíntota horizontal.
notación límite	La notación límite es una forma de expresar el hecho de que una función se acerca arbitrariamente a un valor.

Recurso Adicional

PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora - Concepto de límite

Video: Introducción a los límites

Práctica: Concepto de límite

Mundo real: Suiting Up