Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.6: Propiedades de Límite

  • Page ID
    105976
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Estás familiarizado con la idea de un límite de una función, y que algunos límites se computan usando métodos numéricos y gráficos. Los límites también se pueden evaluar usando las propiedades de los límites. ¿Cómo encontrarías

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.30.38 AM.png

    sin usar una gráfica o usar una tabla de valores?


    Propiedades de Límites

    Comencemos con algunas observaciones sobre los límites de algunas funciones simples. Considere los siguientes problemas de límite:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.31.42 AM.png

    Observamos que cada una de estas funciones está definida para todos los números reales. Si aplicamos nuestra intuición para encontrar los límites concluimos correctamente que:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.33.13 AM.png

    Los resultados anteriores se pueden encapsular en las siguientes propiedades límite:

    Propiedades de Límite Básico:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.33.44 AM.png

    Muchas funciones pueden expresarse como las sumas, diferencias, productos, cocientes, poderes y raíces de otras funciones más simples. Las siguientes propiedades también son útiles para evaluar límites:

    Más propiedades de límite básico:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.34.25 AM.png

    Conocer estas propiedades, permite evaluar los límites de una amplia gama de funciones.

    Toma el problema:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.37.33 AM.png

    Con base en las propiedades anteriores, el límite se puede evaluar en los siguientes pasos:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.38.01 AM.png

    Por lo tanto:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.38.33 AM.png

    Obsérvese que la aplicación de las propiedades límite básicas da como resultado, en este caso, un valor límite que es lo mismo que la sustitución directa de x=2 en la función.

    Ahora, evalúe

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.42.03 AM.png

    Con base en las propiedades de los límites, el límite se puede evaluar en los siguientes pasos:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.42.56 AM.png

    Por lo tanto:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.43.31 AM.png

    Nuevamente, tenga en cuenta que la aplicación de las propiedades límite básicas da como resultado, en este caso, un valor límite que es lo mismo que la sustitución directa de x=2 en la función.


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le pidió que encontrara

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.44.20 AM.png

    sin usar una gráfica o una tabla de valores. Este es un caso donde la sustitución directa para evaluar el límite da la forma indeterminada 0/0. Pero, reduciendo la fracción y luego aplicando las propiedades básicas del límite anterior, podemos evaluar el límite:

    Screen Shot 2020-08-24 a las 8.44.52 AM.png

    Ejemplo 2

    Evaluar

    Screen Shot 2020-08-24 a las 9.40.37 AM.png

    donde f (x) es la función racional

    Screen Shot 2020-08-24 a las 9.46.41 AM.png

    Screen Shot 2020-08-31 a las 10.30.41 AM.png

    Ejemplo 3

    Encuentre el siguiente límite si existe:

    Screen Shot 2020-08-31 at 11.07.43 AM.png

    Apliquemos la regla básica del cociente para evaluar este límite.

    Screen Shot 2020-08-31 a las 11.19.55 AM.png

    Por lo tanto:

    Screen Shot 2020-08-31 a las 11.32.39 AM.png

    Nuevamente, el resultado límite es el mismo que usar la sustitución directa de x=−4 en la función.


    Revisar

    Screen Shot 2020-08-31 a las 11.33.07 AM.png


    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.3.


    El vocabulario

    Término Definición
    indeterminado En matemáticas, una expresión es indeterminada si no se define con precisión. Hay siete formas indeterminadas: 0/0 ,0∞, ∞, ∞, ∞ −∞, ∞ 0, ∞ 0, ∞ 0 y 1 .
    límite Un límite es el valor que la salida de una función se acerca a medida que la entrada de la función se acerca a un valor dado.

    Recursos adicionales

    Práctica: Propiedades de los límites


    This page titled 1.6: Propiedades de Límite is shared under a CC BY-NC license and was authored, remixed, and/or curated by CK-12 Foundation via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.