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LibreTexts Español

1.6: Propiedades de Límite

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Estás familiarizado con la idea de un límite de una función, y que algunos límites se computan usando métodos numéricos y gráficos. Los límites también se pueden evaluar usando las propiedades de los límites. ¿Cómo encontrarías

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.30.38 AM.png

sin usar una gráfica o usar una tabla de valores?


Propiedades de Límites

Comencemos con algunas observaciones sobre los límites de algunas funciones simples. Considere los siguientes problemas de límite:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.31.42 AM.png

Observamos que cada una de estas funciones está definida para todos los números reales. Si aplicamos nuestra intuición para encontrar los límites concluimos correctamente que:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.33.13 AM.png

Los resultados anteriores se pueden encapsular en las siguientes propiedades límite:

Propiedades de Límite Básico:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.33.44 AM.png

Muchas funciones pueden expresarse como las sumas, diferencias, productos, cocientes, poderes y raíces de otras funciones más simples. Las siguientes propiedades también son útiles para evaluar límites:

Más propiedades de límite básico:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.34.25 AM.png

Conocer estas propiedades, permite evaluar los límites de una amplia gama de funciones.

Toma el problema:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.37.33 AM.png

Con base en las propiedades anteriores, el límite se puede evaluar en los siguientes pasos:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.38.01 AM.png

Por lo tanto:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.38.33 AM.png

Obsérvese que la aplicación de las propiedades límite básicas da como resultado, en este caso, un valor límite que es lo mismo que la sustitución directa de x=2 en la función.

Ahora, evalúe

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.42.03 AM.png

Con base en las propiedades de los límites, el límite se puede evaluar en los siguientes pasos:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.42.56 AM.png

Por lo tanto:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.43.31 AM.png

Nuevamente, tenga en cuenta que la aplicación de las propiedades límite básicas da como resultado, en este caso, un valor límite que es lo mismo que la sustitución directa de x=2 en la función.


Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.44.20 AM.png

sin usar una gráfica o una tabla de valores. Este es un caso donde la sustitución directa para evaluar el límite da la forma indeterminada 0/0. Pero, reduciendo la fracción y luego aplicando las propiedades básicas del límite anterior, podemos evaluar el límite:

Screen Shot 2020-08-24 a las 8.44.52 AM.png

Ejemplo 2

Evaluar

Screen Shot 2020-08-24 a las 9.40.37 AM.png

donde f (x) es la función racional

Screen Shot 2020-08-24 a las 9.46.41 AM.png

Screen Shot 2020-08-31 a las 10.30.41 AM.png

Ejemplo 3

Encuentre el siguiente límite si existe:

Screen Shot 2020-08-31 at 11.07.43 AM.png

Apliquemos la regla básica del cociente para evaluar este límite.

Screen Shot 2020-08-31 a las 11.19.55 AM.png

Por lo tanto:

Screen Shot 2020-08-31 a las 11.32.39 AM.png

Nuevamente, el resultado límite es el mismo que usar la sustitución directa de x=−4 en la función.


Revisar

Screen Shot 2020-08-31 a las 11.33.07 AM.png


Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 2.3.


El vocabulario

Término Definición
indeterminado En matemáticas, una expresión es indeterminada si no se define con precisión. Hay siete formas indeterminadas: 0/0 ,0∞, ∞, ∞, ∞ −∞, ∞ 0, ∞ 0, ∞ 0 y 1 .
límite Un límite es el valor que la salida de una función se acerca a medida que la entrada de la función se acerca a un valor dado.

Recursos adicionales

Práctica: Propiedades de los límites


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