4.34: Resolver ecuaciones usando el teorema de Pitágoras
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Use a-cuadrado + b-cuadrado = c-cuadrado para encontrar longitudes laterales faltantes de triángulos rectos.
Gary quiere construir una rampa para patinetas, pero no puede ser demasiado empinada. Si tiene una plataforma de 3 m de altura y una tabla de 5 m de largo, ¿a qué distancia debe extenderse la tabla de la plataforma?
En este concepto, aprenderás a resolver ecuaciones utilizando el Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras afirma que la suma de los cuadrados de las dos patas de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. En una oración matemática, donde a y b son las piernas y c es la hipotenusa, se ve así:
\(c^2=a^2+b^2\)
Matemáticamente, puedes usar esta ecuación para resolver cualquiera de las variables, no solo la hipotenusa.
Por ejemplo, el triángulo rectángulo de abajo tiene una pierna igual a 3 y una hipotenusa de 5.
Resuelve para la otra pierna.
Primero, puedes etiquetar ya sea pierna\(a\) o\(b\). Recuerda que las patas son esos lados adyacentes al ángulo recto.
A continuación, rellena en el Teorema de Pitágoras los valores que conozcas.
\(\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 5^2 &= 3^2+b^2 \end{align*}\)
Después, realiza los cálculos que seas capaz de.
\(25=9+b^2\)
Recuerda que tu objetivo es aislar la variable desconocida en un lado de la ecuación. En este caso es b y se adjunta a un cuadrado y a+9. Realizar las operaciones necesarias para aislar b.
\(\begin{align*} 25−9 &= 9+b^2−9 \\ 16 &= b^2 \\ 4 &= b \end{align*}\)
La respuesta es 4.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Antes, te dieron un problema sobre Gary y su rampa para tablas de skate.
Solución
Un lado, la base, era de 4 m y la tabla, la hipotenusa, era de 5 m. ¿Qué tan alta sería la rampa?
Primero, suplente.
\(5^2=3^2+b^2\)
A continuación, realice los cálculos.
\(\begin{align*} 25 &= 9+b^2 \\ 25−9 &= 9+b^2−9 \end{align*}\)
Después, determinar las raíces cuadradas.
\(\begin{align*} 16 &= b^2 \\ 4 &= b \end{align*}\)
La respuesta es de 4 m. La tabla de Gary debe extenderse a 4 m de la base de la plataforma.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Resuelve para b a la décima más cercana.
Solución
Primero, tomar las longitudes dadas y sustituirlas en la fórmula.
\(\begin{align*} 4^2+b^2 &= 122 \\ 16+b^2 &= 144 \end{align*}\)
A continuación, restar 16 de ambos lados de la ecuación.
\(\begin{align*} 16−16+b^2 &= 144−16 \\ b^2 &= 128 \end{align*}\)
Después toma la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.
\(b = 11.3137085 \ldots \)
Redondear a los décimos lugar
\(b\neq 11.3\)
La respuesta es 11.3
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Un triángulo rectángulo incluye las dimensiones de\(a\),\(b=6\) y\(c=13\). Resolver por un\).
Solución
Primero, suplente.
\(\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 13^2 &= a^2+6^2 \end{align*}\)
A continuación, realiza los cálculos que seas capaz de.
\(\begin{align*} 169 &= a^2+36 \\ 169−36 &= a^2+36−36 \\ 133 &= a^2 \\ 11.532582594 \ldots &= a \\ 11.5 &\approx a \end{align*}\)
La respuesta es\(a=11.5\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Un triángulo rectángulo con\(a=8\),\(b\), y\(c=12\)
Solución
Primero, suplente.
\(\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 12^2 &= 8^2+b^2 \end{align*}\)
A continuación, realice los cálculos.
\(\begin{align*} 144 &= 64+b^2 \\ 144−64 &= 64+b^2−64 \end{align*}\)
Después, determinar las raíces cuadradas.
\(\begin{align*} 80 &= b^2 \\ 8.9 &\neq b \end{align*}\)
La respuesta es 8.9
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Un triángulo rectángulo con\(a=6\),\(b\), y\(c=10\)
Solución
Primero, suplente.
\(\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ 10^2 &= 6^2+b^2 \end{align*}\)
A continuación, realice los cálculos.
\(\begin{align*} 100 &= 36+b^2 \\ 100−36 &= 36+b^2−36 \end{align*}\)
Después, determinar las raíces cuadradas.
\(\begin{align*} 64 &= b^2 \\ 8 &= b \end{align*} \)
La respuesta es 8.
Revisar
Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de cada pierna faltante. Podrá redondear a la décima más cercana cuando sea necesario.
- \(a=6, \:b=?, \:c=12 \)
- \(a=9, \:b=?, \:c=15 \)
- \(a=4, \:b=?, \:c=5 \)
- \(a=9, \:b=?, \:c=18 \)
- \(a=15, \:b=?, \:c=25 \)
- \(a=?, \:b=10, \:c=12 \)
- \(a=?, \:b=11,\: c=14 \)
- \(a=?,\: b=13,\: c=15 \)
Escribe una ecuación usando el Teorema de Pitágoras y resuelve cada problema.
Joanna bajó una tabla de madera para hacer una rampa para que pudiera rodar una carretilla sobre una pared baja de su jardín. El muro mide 1.5 metros de altura, y el tablón de madera toca el suelo a 2 metros de la pared. ¿Cuánto dura el tablón de madera?
- Escribe la ecuación.
- Resuelve por la respuesta.
Chris montó su bicicleta a 4 millas al oeste y luego a 3 millas al sur. ¿Cuál es la distancia más corta que puede recorrer hasta el punto en el que empezó?
- Escribe la ecuación.
- Resolver el problema.
Naomi está cortando parches triangulares para hacer una colcha. Cada uno tiene un lado diagonal de 14.5 pulgadas y un lado corto de 5.5 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del tercer lado de cada parche triangular?
- Escribe la ecuación.
- Resolver el problema.
Recursos
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Hipotenusa | La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más largo del triángulo rectángulo. Está frente al ángulo recto. |
| Patas de un Triángulo Recto | Las patas de un triángulo rectángulo son los dos lados más cortos del triángulo rectángulo. Las patas son adyacentes al ángulo recto. |
| Teorema de Pitágoras | El Teorema de Pitágoras es una relación matemática entre los lados de un triángulo rectángulo\(a^2+b^2=c^2\), dada por, donde a y b son patas del triángulo y c es la hipotenusa del triángulo. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: El teorema de Pitágoras con variables: una aplicación de muestra
Práctica: Resolver ecuaciones usando el teorema de Pitágoras
Mundo real: Notas crípticas