4.8.2: Encontrar Escala o Dimensiones Reales
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Figura 4.8.2.1Kaitlyn está mirando un mapa y quiere encontrar la zona del estado de Nevada, Estados Unidos. El mapa muestra una escala de 1/2′′ a 20 millas. Si la distancia en el mapa es de 8′′ de ancho y 12.25′′ de largo, ¿cuál es la zona, en millas cuadradas de Nevada?
En este concepto, aprenderás a leer e interpretar mapas que involucran distancia y área mediante el uso de la medición a escala.
Distancia y Área de Mapas
Un mapa es otro tipo de dibujo a escala de una región. Los mapas pueden ser muy detallados o muy simples, mostrando solo puntos de interés y distancias. Puedes leer un mapa como cualquier otro dibujo a escala, usando la escala.
Veamos un ejemplo.
En el mapa de abajo, la distancia en línea recta entre San Francisco y San Diego es de 3 pulgadas. ¿Cuál es la distancia real en línea recta entre San Francisco y San Diego?
Primero, establecer una proporción. La escala en el dibujo dice que 0.5 pulgadas=75 millas, por lo tanto la proporción es:
0.5 pulgadas/75 millas
A continuación, escribe la segunda relación. Sabes que la longitud de la báscula es de 3 pulgadas. La longitud desconocida es x.
0.5 pulgadas/75 millas=3 pulgadas/x millas
Entonces, multiplicar de manera cruzada.
0.5/75=3/x
0.5x=75×3
0.5x=225
Luego, divide ambos lados por 0.5 para resolver para x.
0.5x=225
0.5x/0.5=225/0.5
x=450
La respuesta es 450.
La distancia en línea recta de San Francisco a San Diego es de 450 millas.
Nota: La distancia en línea recta también se conoce como “como las moscas del cuervo”. Si en realidad viajaras de San Francisco a San Diego, estaría a más de 450 millas, ya que tendrías que conducir por autopistas que no necesariamente están en línea recta.
También puedes usar una escala para encontrar el área de un espacio o región. Primero, debe averiguar la longitud y el ancho luego podemos completar cualquier cálculo necesario. En ocasiones, tendrás dos distancias o áreas diferentes que estás trabajando para comparar. Cuando esto sucede, puedes usar proporciones para comparar las diferencias y similitudes.
Veamos un ejemplo.
Marta tiene un cuadrado con una longitud lateral de 4 pulgadas. Tiene un cuadrado similar con dimensiones que son el doble del primer cuadrado. ¿Cómo se compara el área del cuadrado más grande con el área del cuadrado más pequeño?
Primero, encuentra las dimensiones del cuadrado más grande. El problema afirma que las dimensiones son el doble del primer cuadrado. Puede usar esta información para averiguar el factor de escala, y esto significa que se escalan en un factor de 2. La longitud lateral del cuadrado más grande es:
4 pulgadas×2=8 pulgadas.
A continuación, encuentra el área de ambas plazas y compara.
Área del cuadrado más pequeño Área del cuadrado más grande
A = lw A = lw
A = (4 pulgadas) (4 pulgadas) A = (8 pulgadas) (8 pulgadas)
A=16 en 2 A=64 en 2
Después, compara las dos áreas. Quieres saber cómo se compara el área del cuadrado más grande con el área del cuadrado más pequeño. Escribe una relación comparando las dos áreas.
64 en 2 /16 en 2 =4
La respuesta es 4.
El área del cuadrado más grande es 4 veces mayor que el área del cuadrado más pequeño.
Esto lleva a una regla a la hora de comparar áreas de figuras similares. La relación de áreas de figuras similares es el cuadrado del factor de escala.
Ejemplos
Ejemplo 4.8.2.1
Antes, te dieron un problema sobre Kaitlyn y su interés por Nevada.
Solución
Primero, establecer una proporción. La escala en el dibujo dice que 1/2 pulgadas=20 millas, por lo tanto la proporción es:
0.5 pulgadas/20 millas
A continuación, escriba la relación que representa la longitud. Sabes que la longitud de la báscula es de 8 pulgadas. La longitud desconocida es x.
0.5 pulgadas/20 millas=8 pulgadas/x millas
Luego, multiplica cruzada para resolver para x.
0.5/20=8/x
0.5x=20×8
0.5x=160
Luego, divide ambos lados por 0.5 para resolver para x.
0.5x=160
0.5x/0.5=160/0.5
x=320
La respuesta es 320.
El ancho de Nevada es de 320 millas.
Después, escribe la relación que representa la longitud. Sabes que la longitud de la báscula es de 12.25 pulgadas. La longitud desconocida es x.
0.5 pulgadas/20 millas=12.25 pulgadas/x millas
Entonces, multiplicar cruzadamente para resolver para x.
0.5/20=12.25/x
0.5x=20×12.25
0.5x=245
Luego, divide ambos lados por 0.5 para resolver para x.
0.5x=245
0.5x/0.5=245/0.5
x=490
La respuesta es 490.
La longitud de Nevada es de 490 millas.
Por último, encuentra la zona de Nevada.
A = lw
A= (320 millas) (490 millas)
A=156,800 millas cuadradas
La respuesta es 156,800.
El área de Nevada es de 156,800 mi 2.
Ejemplo 4.8.2.2
Si la báscula es de 0.5 pulgadas=100 millas, ¿cuántas pulgadas son 500 millas?
Solución
Primero, establecer la proporción a resolver.
0.5 pulgadas/100 millas=x pulgadas/500 millas
A continuación, cruzar multiplicar.
0.5100=x500
100x=0.5×500
100x=250
Luego, divídalo por 100 para resolver por x.
100x=250
100x/100=250/100
x=2.5
La respuesta es 2.5.
La distancia en el mapa será de 2.5 pulgadas.
Ejemplo 4.8.2.3
Si 1′′=2000 millas, encuentre cada distancia real con una medición de escala de 3′′.
Solución
Primero, establecer una proporción. La escala en el dibujo dice que 1 pulgadas=2000 millas, por lo tanto la proporción es:
1 pulgada/2000 millas
A continuación, escribe la segunda relación. Sabes que la longitud de la báscula es de 3 pulgadas. La longitud desconocida es x.
1 pulgadas/2000 millas=3 pulgadas/x millas
Entonces, multiplicar cruzadamente para resolver para x.
1/2000=3/x
1x=2000×3
x=6000
La respuesta es 6000.
La distancia real es de 6000 millas.
Ejemplo 4.8.2.4
Si 1′′=2000 millas, encuentre cada distancia real con una medición de escala de 12′′.
Solución
Primero, establecer una proporción. La escala en el dibujo dice que 1 pulgadas=2000 millas, por lo tanto la proporción es:
1 pulgada/2000 millas
A continuación, escribe la segunda relación. Sabes que la longitud de la escala es de 0.5′′ pulgadas. La longitud desconocida es x.
1 pulgadas/2000 millas=0.5 pulgadas/x millas
Entonces, multiplicar cruzadamente para resolver para x.
1/2000=0.5/x
1x=2000×0.5
x=1000
La respuesta es 1000.
La distancia real es de 1000 millas.
Ejemplo 4.8.2.5
Si 1′′=2000 millas, encuentre cada distancia real con una medición de escala de 1/4′′.
Solución
Primero, establecer una proporción. La escala en el dibujo dice que 1 pulgadas=2000 millas, por lo tanto la proporción es:
1 pulgada/2000 millas
A continuación, escribe la segunda relación. Sabes que la longitud de la escala es de 0.25′′ pulgadas. La longitud desconocida es x.
1 pulgadas/2000 millas=0.25 pulgadas/x millas
Entonces, multiplicar cruzadamente para resolver para x.
1/2000=0.25/x
1x=2000×0.25
x=500
La respuesta es 500.
La distancia real es de 500 millas.
Revisar
Usando la escala de 1 pulgada = 5.5 millas, averigua el número de pulgadas necesarias para mapear cada número de millas. Usa proporciones para averiguar tus respuestas.
1. 16.5 millas
2. 11 millas
3. 27.5 millas
4. 8.25 millas
5. 33 millas
6. 60.5 millas
7. 13.75 millas
Usando la escala 0.5 pulgadas=100 millas, calcular el número de millas reales representadas por cada medición de escala.
8. 1′′
9. 2′′
10. 3′′
11. 1/4′′
12. 3/4′′
13. 1 (1/2) ′′
14. 2 (1/2) ′′
15. 5 (1/2) ′′
16. 7′′
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 4.9.
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Proporción | Una proporción es una ecuación que muestra dos proporciones equivalentes. |
| Dibujo a Escala | Un dibujo a escala es un dibujo que se realiza con una escala para que pequeñas unidades de medida específicas representen unidades de medida más grandes. |
| Similar | Dos figuras son similares si tienen la misma forma, pero no necesariamente del mismo tamaño. |
Recursos adicionales
Vídeo:
PLIX Interactive: Búsqueda de mapas: Desierto
Práctica: Encontrar escala o dimensiones reales
Aplicación en el mundo real: Intersecciones heladas