3.7: Funciones logísticas
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El crecimiento exponencial aumenta sin ataduras. Esto es razonable para algunas situaciones; sin embargo, para las poblaciones suele haber algún tipo de límite superior. Esto puede ser causado por limitaciones en alimentos, espacio u otros recursos escasos. El efecto de este límite superior limitante es una curva que crece exponencialmente al principio y luego se ralentiza y apenas crece en absoluto. Este tipo de crecimiento se llama crecimiento logístico. ¿Cuáles son algunas otras situaciones en las que el crecimiento logístico sería un modelo apropiado?
Funciones logísticas
El crecimiento logístico se puede describir con una ecuación logística. La ecuación logística es de la forma:\(f(x)=\frac{c}{1+a \cdot b^{x}}\)
Las letras\(a, b\) y\(c\) son constantes que se pueden cambiar para que coincidan con la situación que se modela. Tendrás que resolver por\(a\) y\(b\) con la información que te sea dada en cada problema. La constante\(c\) es particularmente importante porque es el límite para el crecimiento. Esto también se conoce como la capacidad de carga.
La siguiente función logística tiene una capacidad de carga de 2 que se puede observar directamente a partir de su gráfica.
\(f(x)=\frac{2}{1+0.1^{x}}\)
Una nota importante sobre la función logística es que tiene un punto de inflexión. De la gráfica anterior se puede observar que en el punto (0,1) la gráfica pasa de curvar hacia arriba (cóncava hacia arriba) a curvar hacia abajo (cóncava hacia abajo). Este cambio de curvatura se estudiará más en el cálculo, pero por ahora es importante saber que el punto de inflexión ocurre a medio camino entre la capacidad de carga y el\(x\) eje.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó para qué situaciones es apropiado el modelo logístico. El modelo logístico es apropiado siempre que el recuento total tenga un límite superior y el crecimiento inicial sea exponencial. Ejemplos son la propagación de rumores y enfermedades en una población limitada y el crecimiento de bacterias o población humana cuando los recursos son limitados.
Se está difundiendo un rumor en una escuela que tiene una población estudiantil total de 1200. Cuatro personas conocen el rumor cuando empieza y tres días después trescientas personas conocen el rumor. ¿De cuántas personas en la escuela conocen el rumor para el cuarto día?
En una población limitada, el recuento de personas que conocen un rumor es un ejemplo de una situación que se puede modelar utilizando la función logística. La población es de 1200 por lo que esta será la capacidad de carga.
Información identificativa:\(c=1200 ;(0,4) ;(3,300)\). Primero, usa el punto (0,4) para resolver para\(a\).
\(\begin{aligned} \frac{1200}{1+a \cdot b^{0}} &=4 \\ \frac{1200}{1+a} &=4 \\ \frac{1200}{4} &=1+a \\ a &=299 \end{aligned}\)
A continuación, utilice el punto (3,300) para resolver para\(b\).
\(\begin{aligned} \frac{1200}{1+299 \cdot b^{3}} &=300 \\ 4 &=1+299 b^{3} \\ \frac{3}{299} &=b^{3} \\ 0.21568 & \approx b \end{aligned}\)
La ecuación de modelado en\(x=4\):
\(f(x)=\frac{1200}{1+299 \cdot 0.21568^{x}} \rightarrow f(4) \approx 729\)personas
Un patrón de crecimiento similar existirá con cualquier tipo de enfermedad infecciosa que se propague rápidamente y sólo pueda infectar a una persona o animal una vez.
Un tipo especial de algas se cultiva en tanques gigantes de plástico transparente y se puede cosechar para hacer biocombustible. A las algas se les da mucha comida, agua y luz solar para crecer rápidamente y el único recurso limitante es el espacio en el tanque. Las algas se cosechan cuando 95% del tanque está lleno dejando el tanque 5% lleno de algas para reproducirse y rellenar el tanque. Actualmente el tiempo entre cosechas es de veinte días y la rentabilidad es 90% cosecha. ¿Recomendarías un horario de cosecha más óptimo?
Identificar cantidades conocidas y modelar el crecimiento de las algas.
Cantidades conocidas: (0,0.05)\(;(20,0.95) ; c=1\) o\(100 \%\)
\(\begin{aligned} 0.05 &=\frac{1}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{1}{0.05} \\ a &=19 \\ 0.95 &=\frac{1}{1+19 \cdot b^{20}} \\ 1+19 \cdot b^{20} &=\frac{1}{0.95} \\ b^{20} &=\frac{\left(\frac{1}{0.95}-1\right)}{19} \\ b & \approx 0.74495 \end{aligned}\)
El modelo para el crecimiento de algas es:
\(f(x)=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}}\)
La pregunta pregunta sobre el horario óptimo de cosecha. Actualmente la cosecha es de 90% por 20 días o una tasa unitaria de 4.5% por día. Si acortas el tiempo entre cosechas donde las algas están creciendo de manera más eficiente, entonces potencialmente esta tasa unitaria podría ser mayor. Supongamos que deja el 15% de las algas en el tanque y cosechas cuando alcanza el 85%. ¿Cuánto tiempo tardará eso en rendir 70%?
\(\begin{aligned} 0.15 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{1} & \approx 4.10897 \\ 0.85 &=\frac{1}{1+19 \cdot(0.74495)^{x}} \\ x_{2} & \approx 15.8914 \end{aligned}\)
\(x_{2}-x_{1} \approx 15.8914-4.10897 \approx 11.78\)
Se necesitan alrededor de 12 días para que los lotes produzcan 70% de cosecha que es una tasa unitaria de aproximadamente 6% por día. Esto supone un incremento significativo en la eficiencia. Un programa de cosecha que maximiza el tiempo donde la curva logística es más pronunciada crea el crecimiento global de algas más rápido.
Determinar el modelo logístico dado\(c=12\) y los puntos (0,9) y (1,11)
Los dos puntos dan dos ecuaciones, y el modelo logístico tiene dos variables. Usa estos puntos para resolver por\(a\) y\(b\).
\(\begin{aligned} 9 &=\frac{12}{1+a \cdot b^{0}} \\ 1+a &=\frac{12}{9} \\ a &=\frac{1}{3} \\ 11 &=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b^{1}} \\ 1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot b &=\frac{12}{11} \\ b &=0 . \overline{27}=\frac{3}{11} \end{aligned}\)
Así, el modelo aproximado es:
\(f(x)=\frac{12}{1+\left(\frac{1}{3}\right) \cdot\left(\frac{3}{11}\right)^{x}}\)
Determinar el modelo logístico dado\(c=7\) y los puntos (0,2) y (3,5)
Los dos puntos dan dos ecuaciones, y el modelo logístico tiene dos variables. Usa estos dos puntos para
resolver por\(a\) y\(b\).
\(\begin{aligned} 2 &=\frac{7}{1+a} \\ 1+a &=\frac{7}{2} \\ a &=2.5 \\ 5 &=\frac{7}{1+(2.5) \cdot b^{3}} \\ 1+(2.5) \cdot b^{3} &=\frac{7}{5} \\ b^{3} &=0.16 \\ b & \approx 0.5429 \end{aligned}\)
Así, el modelo aproximado es:
\(f(x)=\frac{7}{1+(2.5) \cdot(0.5429)^{x}}\)
Revisar
Para 1-5, determinar el modelo logístico dada la capacidad de carga y dos puntos.
1. \(c=12 ;(0,5) ;(1,7)\)
2. \(c=200 ;(0,150) ;(5,180)\)
3. \(c=1500 ;(0,150) ;(10,1000)\)
4. \(c=1000000 ;(0,100000) ;(-40,20000)\)
5. \(c=30000000 ;(-60,10000) ;(0,8000000)\)
Para\(6-8,\) usar la función logística\(f(x)=\frac{32}{1+3 e^{-x}}\)
6. ¿Cuál es la capacidad de carga de la función?
7. ¿Cuál es la\(y\) -intercepción de la función?
8. Usa tus respuestas a 6 y 7 junto con al menos dos puntos en la gráfica para hacer un boceto de la función.
Para\(9-11,\) usar la función logística\(g(x)=\frac{25}{1+4 \cdot 0.2^{x}}\)
9. ¿Cuál es la capacidad de carga de la función?
10. ¿Cuál es la\(y\) -intercepción de la función?
11. Usa tus respuestas a 9 y 10 junto con al menos dos puntos en la gráfica para hacer un boceto de la función.
Para\(12-14,\) usar la función logística\(h(x)=\frac{4}{1+2 \cdot 0.68^{x}}\)
12. ¿Cuál es la capacidad de carga de la función?
13. ¿Cuál es la\(y\) -intercepción de la función?
14. Usa tus respuestas a 12 y 13 junto con al menos dos puntos en la gráfica para hacer un boceto de la función.
15. Dar un ejemplo de una función logística que está disminuyendo (modelos decaimiento). En general, ¿cómo se puede saber a partir de la ecuación si la función logística está aumentando o disminuyendo?