3.4: Propiedades de Troncos

Las funciones log son inversas de funciones exponenciales. Esto significa que el dominio de uno es el rango del otro. Esto es sumamente útil a la hora de resolver una ecuación y lo desconocido está en un exponente. Antes de resolver ecuaciones, debe ser capaz de simplificar las expresiones que contienen registros. Se aplican las reglas de los exponentes, pero de formas no obvias. Para obtener un control conceptual sobre las propiedades de los registros, puede ser útil preguntar continuamente, ¿qué representa una expresión de registro? Por ejemplo, ¿qué$\log _{10} 1,000$ representa?

Propiedades de Log

Las expresiones exponenciales y logarítmicas tienen los mismos 3 componentes. Cada uno se escribe de una manera diferente para que se aísla una variable diferente. Las dos ecuaciones siguientes son equivalentes entre sí.

$b^{x}=a \leftrightarrow \log _{b} a=x$

La ecuación exponencial de la izquierda se lee "$b$al poder$x$ es”$a$. La ecuación logarítmica de la derecha se lee “log base$b$ of$a$ is$x$”.

Las dos bases más comunes para troncos son 10 y$e$. En el nivel Precálculo log por sí mismo implica log base 10 e$I n$ implica que base$e . I n$ se llama el logaritmo natural. Una restricción importante para todas las funciones de registro es que deben tener números estrictamente positivos en sus argumentos. Entonces, si presionas log -2 o log 0 en tu calculadora, te dará un error.

Hay tres propiedades básicas de los troncos que se correlacionan con las propiedades de los exponentes.

Adición/Multiplicación

$\log _{b} x+\log _{b} y=\log _{b}(x \cdot y)$
$b^{w+z}=b^{w} \cdot b^{z}$

Subtracción/División

$\log _{b} x-\log _{b} y=\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)$
$b^{w-z}=\frac{b^{w}}{b^{z}}$

Exponenciación

$\log _{b}\left(x^{n}\right)=n \cdot \log _{b} x$
$\left(b^{w}\right)^{n}=b^{w \cdot n}$

También hay algunos resultados estándar que deben memorizarse y deben servir como herramientas de referencia de línea base.

• $\log _{b} 1=0$
• $\log _{b} b=1$
• $\log _{b}\left(b^{x}\right)=x$
• $b^{\log _{b} x}=x$

Ejemplo

Ejemplo 1

Anteriormente se le preguntó qué$\log _{10} 1,000$ representa. Una expresión logarítmica representa un exponente. La expresión$\log _{10} 1,000$

representa el número 3.

$\log _{10} 1000=\log _{10} 10^{3}=3$

La razón para tener esto en cuenta es que puede solidificar las propiedades de los troncos. Por ejemplo, sumar exponentes implica que las bases se multiplican. Por lo tanto, sumar registros significa que las bases de los exponentes se multiplican.

Ejemplo 2

Escribe la expresión como logaritmo de un solo argumento.

$\log _{2} 12+\log _{4} 6-\log _{2} 24$

Tenga en cuenta que la expresión central es de una base diferente. Primero cámbielo a la base 2 volviendo a la forma exponencial.

$\begin{aligned} \log _{4} 6 &=x \leftrightarrow 4^{x}=6 \\ 2^{2 x} &=6 \leftrightarrow \log _{2} 6=2 x \\ x &=\frac{1}{2} \log _{2} 6=\log _{2} 6^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$

Así la expresión con la misma base es:

$\begin{aligned} \log _{2} 12+\log _{2} 6^{\frac{1}{2}}-\log _{2} 24 &=\log _{2}\left(\frac{12 \cdot \sqrt{6}}{24}\right) \\ &=\log _{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) \end{aligned}$

Ejemplo 3

Demostrar la siguiente identidad de registro:

$\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$

Comience dejando que el lado izquierdo de la ecuación sea igual a$x$. Luego, reescribe en forma exponencial, manipula y vuelve a escribir en forma logarítmica hasta que obtengas la expresión del lado izquierdo de la ecuación.

$\begin{aligned} \log _{a} b &=x \\ a^{x} &=b \\ a &=b^{\frac{1}{x}} \\ \log _{b} a &=\log _{b} b^{\frac{1}{z}}=\frac{1}{x} \\ x &=\frac{1}{\log _{b} a} \end{aligned}$

Por lo tanto,$\frac{1}{\log _{b} a}=\log _{a} b$ porque ambas expresiones son iguales a$x$.

Ejemplo 4

Vuelva a escribir la siguiente expresión bajo un solo registro.

$\begin{aligned} \ln e-\ln 4 x+2\left(e^{\ln x} \cdot \ln 5\right) &=\ln \left(\frac{e}{4 x}\right)+2 x \cdot \ln 5 \\ &=\ln \left(\frac{e}{4 x}\right)+\ln \left(5^{2 x}\right) \\ &=\ln \left(\frac{e \cdot 5^{2 x}}{4 x}\right) \end{aligned}$

Ejemplo 5

Verdadero o falso:

$\left(\log _{3} 4 x\right) \cdot\left(\log _{3} 5 y\right)=\log _{3}(4 x+5 y)$

Falso. Es cierto que la bitácora de un producto es la suma de troncos. No es cierto que el producto de los troncos sea el log de una suma.

Revisar

Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Explique.

1. $\frac{\log x}{\log y}=\log \left(\frac{x}{y}\right)$

2. $(\log x)^{n}=n \log x$

3. $\log x+\log y=\log x y$

Reescriba cada una de las siguientes expresiones bajo un solo registro y simplifique.

4. $\log 4 x+\log (2 x+4)$

5. $5 \log x+\log x$

6. $4 \log _{2} x+\frac{1}{2} \log _{2} 9-\log _{2} y$

7. $6 \log _{3} z^{2}+\frac{1}{4} \log _{3} y^{8}-2 \log _{3} z^{4} y$

Ampliar la expresión tanto como sea posible.

8. $\log _{4}\left(\frac{2 x^{3}}{5}\right)$

9. $\ln \left(\frac{4 x y^{2}}{15}\right)$

10. $\log \left(\frac{x^{2}(y z)^{3}}{3}\right)$

Traducir de forma exponencial a forma logarítmica.

11. $2^{x+1}+4=14$

Traducir de la forma logarítmica a la forma exponencial.

12. $\log _{2}(x-1)=12$

Demostrar las siguientes propiedades de logaritmos.

13. $\log _{b^{n}} x=\frac{1}{n} \log _{b} x$

14. $\log _{b^{n}} x^{n}=\log _{b} x$

15. $\log _{\frac{1}{6}} \frac{1}{x}=\log _{b} x$

...