4.4: Trigonometría de Triángulo Recto

La trigonometría es el estudio de los triángulos. Si conoces los ángulos de un triángulo y la longitud de un lado, puedes usar las propiedades de triángulos y proporciones similares para resolver completamente los lados faltantes.

Imagínese tratando de medir la altura de un asta de bandera. Sería muy difícil medir verticalmente porque podría ser de varios pisos de altura. En su lugar, camine a 10 pies de distancia y observe que el asta de bandera hace un ángulo de 65 grados con los pies. Usando esta información, ¿cuál es la altura del asta de bandera?

Funciones trigonométricas

Las seis funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Opp significa el lado opuesto al ángulo$\theta,$ hyp significa hipotenusa y adj significa lado adyacente al ángulo$\theta$.

$\begin{aligned} \sin \theta &=\frac{o p p}{h y p} \\ \cos \theta &=\frac{a d j}{h y p} \\ \tan \theta &=\frac{o p p}{a d j} \\ \cot \theta &=\frac{a d j}{o p p} \\ \sec \theta &=\frac{h y p}{a d j} \\ \csc \theta &=\frac{h y p}{o p p} \end{aligned}$

La razón por la que existen estas funciones trigonométricas es porque dos triángulos con los mismos ángulos interiores tendrán longitudes laterales que siempre son proporcionales. Las funciones trigonométricas se utilizan mediante la identificación de dos piezas conocidas de información en un triángulo y una desconocida, configurando y resolviendo para lo desconocido. Las calculadoras son importantes porque las operaciones de pecado, cos y bronceado ya están programadas en. Los otros tres (cot, sec y csc) no suelen estar en las calculadoras porque existe una relación recíproca entre ellas y tan, cos y sec.

$\sin \theta=\frac{o p p}{h y p}=\frac{1}{\csc \theta}$
$\cos \theta=\frac{a d j}{h y p}=\frac{1}{\sec \theta}$
$\tan \theta=\frac{o p p}{a d j}=\frac{1}{\cot \theta}$

Ten en cuenta que tu calculadora puede estar en modo grados o en modo radián. Asegúrese de que puede alternar hacia adelante y hacia atrás para que siempre esté en las unidades adecuadas para cada problema.

Tenga en cuenta que las imágenes a lo largo de este concepto no están dibujadas a escala. Si te dieran el siguiente triángulo y te pidieran resolver por lado$b$, usarías seno para encontrar$b$.

$\begin{aligned} \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) &=\frac{b}{14} \\ b &=14 \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \approx 10.9 \mathrm{in} \end{aligned}$

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, le preguntaron sobre la altura de un asta de bandera del que se encuentra a 10 pies de distancia. Se nota que el asta de bandera hace un$65^{\circ}$ ángulo con los pies.

Si estás a 10 pies de la base de un asta de bandera y asumes que el asta hace un$90^{\circ}$ ángulo con el suelo, puedes usar el siguiente triángulo para modelar la situación.

$\begin{aligned} \tan 65^{\circ} &=\frac{x}{10} \\ x &=10 \tan 65^{\circ} \approx 21.4 f t \end{aligned}$

Ejemplo 2

Resuelve para ángulo$A$.

Este problema se puede resolver usando pecado, cos o bronceado porque se dan todas las longitudes opuestas, adyacentes e hipotenusas.

El argumento, o entrada, de una función sin es siempre un ángulo. El arcsin, o$\sin ^{-1} \theta,$ función en la calculadora tiene un argumento que es una relación de los lados del triángulo.

$\begin{aligned} \sin A &=\frac{5}{13} \\ \sin ^{-1}(\sin A) &=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \\ A &=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \approx 0.39 \text { radian } \approx 22.6^{\circ} \end{aligned}$

Ejemplo 3

Dado un triángulo rectángulo con$a=12$ in$, m \angle B=20^{\circ},$ y$m \angle C=90^{\circ}$, encontrar la longitud de la hipotenusa.

Es útil dibujar un diagrama para representar los datos dados en una pregunta.

$\begin{aligned} \cos 20^{\circ} &=\frac{12}{c} \\ c &=\frac{12}{\cos 20^{\circ}} \approx 12.77 \mathrm{in} \end{aligned}$

Ejemplo 4

Dado$\triangle A B C$ donde$B$ es un ángulo recto,$m \angle C=18^{\circ},$ y$c=12 .$ ¿qué es$a$?

Dibujando este triángulo, parece:

$\begin{aligned} \tan 18^{\circ} &=\frac{12}{a} \\ a &=\frac{12}{\tan 18^{\circ}} \approx 36.9 \end{aligned}$

Ejemplo 5

Dado$\triangle M N O$ donde$O$ es un ángulo recto,$m=12$, y$n=14$. ¿Cuál es la medida del ángulo$M$?
Dibujando el triángulo, parece:

$\begin{aligned} \tan M &=\frac{12}{14} \\ M &=\tan ^{-1}\left(\frac{12}{14}\right) \approx 0.7 \text { radian } \approx 40.6^{\circ} \end{aligned}$

Revisar

Para$1-15$, se da información sobre los lados y/o ángulos del triángulo rectángulo$A B C$. Resuelve completamente el triángulo (encuentra todos los lados y ángulos faltantes) a 1 decimal.

Número de problema	$A$	$B$	$C$	$a$	$b$	$c$
1.	$90^{\circ}$				4	7
2.	$90^{\circ}$		$37^{\circ}$	18
3.		$90^{\circ}$	$15^{\circ}$		32
4.			$90^{\circ}$	6		11
5.	$90^{\circ}$	$12^{\circ}$		19
6.		$90^{\circ}$			17	10
7.	$90^{\circ}$	$10^{\circ}$			2
8.	$4^{\circ}$	$90^{\circ}$		0.3
9.	$\frac{\pi}{2}$radián		1 radián			15
10.			$\frac{\pi}{2}$radián	12	15
11.			$\frac{\pi}{2}$radián		9	14
12.	$\frac{\pi}{4}$radián	$\frac{\pi}{4}$radián			5
13.	$\frac{\pi}{2}$radián			26	13
14.		$\frac{\pi}{2}$radián			19	16
15.			$\frac{\pi}{2}$radián	10		$10 \sqrt{2}$