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5.7: Gráficas de Otras Funciones Trigonométricas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Si ya conoces la relación entre la ecuación y la gráfica de las funciones seno y coseno entonces las otras cuatro funciones se pueden encontrar identificando ceros, asíntotas y puntos clave. ¿Las cuatro nuevas funciones son transformaciones de las funciones seno y coseno?

Graficando Otras Funciones Trigonométricas

Secante y Cosecante

Dado que la secante es la inversa del coseno, las gráficas están muy estrechamente relacionadas.

Observe donde sea que el coseno sea cero, la secante tiene una asíntota vertical y dondecosx=1 luego secx=1 también. Estas dos piezas lógicas permiten graficar cualquier función secante de la forma:

f(x)=±asec(b(x+c))+d

El método es graficarlo como lo harías con un coseno y luego insertar asíntotas y las curvas secantes para que toquen la curva coseno en sus valores máximo y mínimo. Esta técnica es idéntica a graficar gráficas cosecantes. Simplemente use la gráfica sinusoidal para encontrar la ubicación y las asíntotas.

Tangente y Cotangente

Las gráficas tangente y cotangente son más difíciles porque son una relación de las funciones seno y coseno.

  • tanx=sinxcosx
  • cotx=cosxsinx

La manera de pensar a través de la gráfica def(x)=tanx es determinar primero sus asíntotas. Las asíntotas ocurren cuando el denominador, coseno, es cero. Esto sucede en±π2,±3π2 Lo siguiente a trazar son los ceros que ocurren cuando el numerador, seno, es cero. Esto sucede en0,±π,±,2π Desde el círculo unitario y trigonometría básica del triángulo rectángulo, ya conoces algunos valores detanx

  • tanπ4=1
  • tan(π4)=1

Al trazar toda esta información, se obtiene una muy buena idea de cómo se ve la gráfica de tangente y se puede rellenar el resto.

Observe que el periodo de tangenteπ no es2π, porque tenga un ciclo más corto.

La gráfica de cotangente se puede encontrar usando lógica idéntica como tangente. Ya sabescotx=1tanx Esto significa que la gráfica de cotangente tendrá ceros dondequiera que la tangente tenga asíntotas y asíntotas donde la tangente tenga ceros. También sabes que donde tangente es 1, cotangente también es 1. Así, la gráfica de cotangente es:

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó si las cuatro nuevas funciones son transformaciones de seno y coseno. Las cuatro nuevas funciones no son puramente transformaciones de las funciones seno y coseno. Sin embargo, secante y cosecante son transformaciones entre sí al igual que tangente y cotangente.

Ejemplo 2

Graficar la funciónf(x)=2csc(π(x1))+1

Grafica la función como si se tratara de una función sinusoidal. Luego inserte asíntotas donde la función sinusoidal cruce el eje sinusoidal. Por último añadir en las curvas cosecantes.

La amplitud es 2. La forma es seno negativo. La función se desplaza hacia arriba una unidad y hacia la derecha una unidad.

Tenga en cuenta que solo la porción azul de la gráfica representa la función dada.

Ejemplo 3

¿Cómo se escribe una función tangente como una función cotangente?

Hay dos formas principales de ir entre una función tangente y una función cotangente. El primer método se discutió en el Ejemplo A:f(x)=tanx=1cotx

El segundo enfoque implica dos transformaciones. Comience reflexionando a través del ejex o ely eje. Observe que esto produce un resultado idéntico. A continuación desplaza la función hacia la derecha o hacia la izquierda porπ2. Nuevamente esto produce un resultado idéntico. f(x)=tanx=cot(xπ2)

Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la función en la siguiente gráfica.

Si conecta los máximos y mínimos relativos de la función, produce una curva coseno desplazada con la que es más fácil trabajar.

La amplitud es3. El desplazamiento vertical es 2 hacia abajo. El periodo es 4 lo que implica queb=π2. La forma es coseno positivo y si eliges comenzar en nox=0 hay desplazamiento de fase.
f(x)=3csc(π2x)2

Ejemplo 5

¿Dónde están las asíntotas para tangentes y por qué ocurren?

Dado quetanx=sinxcosx las asíntotas ocurren siemprecosx=0 que sea±π2,±3π2,

Revisar

1. ¿Qué función puedes usar para ayudarte a hacer un bocetof(x)=secx? ¿Por qué?

2. ¿Qué función puedes usar para ayudarte a hacer un bocetog(x)=cscx? ¿Por qué?

Haz un boceto de cada uno de los siguientes de memoria.

3. f(x)=secx

4. g(x)=cscx

5. h(x)=tanx

6. k(x)=cotx

Grafica cada una de las siguientes.

7. f(x)=2csc(x)+1

8. g(x)=2csc(π2x)+1

9. h(x)=2csc(π2(x3))+1

10. j(x)=cot(π2x)+3

11. k(x)=sec(π3(x+1))4

12. m(x)=tan(x)+1

13. p(x)=2tan(xπ2)+1

14. Encuentra dos formas de escribirsecx en términos de otras funciones trigonométricas.

15. Encuentra dos formas de escribircscx en términos de otras funciones trigonométricas.


5.7: Gráficas de Otras Funciones Trigonométricas is shared under a CC BY-NC license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

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