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5.8: Gráficas de funciones trigonométricas inversas

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Para que las inversas de funciones sean funciones, la función original debe pasar la prueba de línea horizontal. Aunque ninguna de las funciones trigonométricas pasa la prueba de línea horizontal, puede restringir sus dominios para que puedan pasar. Entonces los inversos se producen igual que con las funciones normales. Una vez que se tienen las funciones inversas básicas, se aplican las reglas de transformación normales.

¿Por qué es$$\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right) \neq 370^{\circ}$$? ¿No cancelan el arcsin y el pecado?

Gráficas de funciones trigonométricas inversas

Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas pasa la prueba de línea horizontal, debe restringir sus dominios antes de encontrar inversos de estas funciones. Esto es como la forma$$y=\sqrt{x}$$ es la inversa de$$y=x^{2}$$ cuando restringes el dominio a$$x \geq 0$$

Considera la gráfica sinusoidal:

Como regla general, las restricciones al dominio son o bien el intervalo$$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$ o$$[0, \pi]$$ para mantener las cosas simples. En este caso el seno se restringe a$$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$$ como se muestra arriba. Para encontrar la inversa, refleje la porción en negrita a través de la línea$$y=x$$. La curva azul que aparece a continuación muestra$$f(x)=\sin ^{-1} x$$.

El resultado de esta inversión es que el arcoseno solo producirá ángulos entre$$-\frac{\pi}{2}$$ y$$\frac{\pi}{2}$$.

La curva azul a continuación muestra$$f(x)=\cos ^{-1} x ?$$

La porción de coseno que se ajusta a la prueba de línea horizontal es el intervalo$$[0, \pi]$$. Para encontrar la inversa, esa porción se refleja a través de la línea$$y=x$$.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó por qué seno y arcoseno no siempre se cancelan. ya que arcsine solo produce ángulos entre$$-\frac{\pi}{2}$$ y$$\frac{\pi}{2}$$ o$$-90^{\circ}$$$$+90^{\circ}$$ al resultado de$$\sin ^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right)$$ es$$10^{\circ}$$ que es coterminal a$$370^{\circ}$$.

Ejemplo 2

Graficar la función$$f(x)=2 \cos ^{-1}(x-1)$$

Ya que$$f(x)=\cos ^{-1} x$$ se graficó antes, ahora solo necesitas desplazarlo a la derecha una unidad y estirarlo verticalmente por un factor de 2. Intersectó el$$x$$ eje en 1 antes y ahora se cruzará en 2. Alcanzó una altura de$$\pi$$ antes y ahora alcanzará una altura de$$2 \pi$$.

Ejemplo 3

Evalúe la siguiente expresión con y sin calculadora utilizando triángulos rectos y su conocimiento de las funciones trigonométricas inversas.

$$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)$$

Para poder calcular esto de manera efectiva es mejor escribir la expresión explícitamente solo en términos de funciones que su calculadora sí tiene. Tenga en cuenta que algunas calculadoras tienen ambos$$\sin ^{-1} x$$ y$$(\sin x)^{-1}$$

• $$\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)=\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)$$
• $$\cot (\theta)=\frac{1}{\tan \theta}$$

$$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=\frac{1}{\tan \left(\sin ^{-1}\left(-\frac{5}{13}\right)\right)}=-\frac{12}{5}$$

Comienza con tu conocimiento que$$\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)$$ describe un ángulo en el tercer o cuarto cuadrante porque esos son los dos cuadrantes donde cosecante es negativo. ya que$$\csc ^{-1} \theta$$ tiene rango$$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$$, sólo produce ángulos en el cuadrante I o cuadrante IV. Este triángulo debe entonces estar en el cuarto cuadrante. Todo lo que necesitas hacer es dibujar el triángulo e identificar la relación cotangente.

La cotangente es adyacente sobre el opuesto.

$$\cot \left(\csc ^{-1}\left(-\frac{13}{5}\right)\right)=-\frac{12}{5}$$

Ejemplo 4

¿Cuál es la gráfica de$$y=\tan ^{-1} x ?$$

Grafique la porción de tangente que se ajuste a la prueba de línea horizontal y refleje a través de la línea$$y=x$$. Tenga en cuenta que la gráfica de arctan es en azul.

Ejemplo 5

¿Cuál es la gráfica de$$y=\csc ^{-1} x$$

Grafique la porción de cosecante que se ajuste a la prueba de línea horizontal y refleje a través de la línea$$y=x$$.

Tenga en cuenta que$$f(x)=\csc ^{-1} x$$ está en azul.

Revisar

1. Gráfica$$f(x)=\cot ^{-1} x$$.

2. Gráfica$$g(x)=\sec ^{-1} x$$.

Nombra cada una de las siguientes gráficas.

3.

4.

5.

6.

7.

Grafique cada una de las siguientes funciones utilizando su conocimiento de las transformaciones de funciones.

8. $$h(x)=3 \sin ^{-1}(x+1)$$

9. $$k(x)=2 \sin ^{-1}(x)+\frac{\pi}{2}$$

10. $$m(x)=-\cos ^{-1}(x-2)$$

11. $$j(x)=\cot ^{-1}(x)+\pi$$

12. $$p(x)=-2 \tan ^{-1}(x-1)$$

13. $$q(x)=\csc ^{-1}(x-2)$$

14. $$r(x)=-\sec ^{-1}(x)+4$$

15. $$t(x)=\csc ^{-1}(x+1)-\frac{3 \pi}{2}$$

16. $$v(x)=2 \sec ^{-1}(x+2)+\frac{\pi}{2}$$

17. $$w(x)=-\cot ^{-1}(x)-\frac{\pi}{2}$$

18. $$\sec \left(\tan ^{-1}\left[\frac{3}{4}\right]\right)$$
19. $$\cot \left(\csc ^{-1}\left[\frac{13}{12}\right]\right)$$
20. $$\csc \left(\tan ^{-1}\left[\frac{4}{3}\right]\right)$$