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Precálculo
5: Funciones trigonométricas
5.6: Desplazamiento de fase de funciones sinusoidales

5.6: Desplazamiento de fase de funciones sinusoidales

Última actualización

30 oct 2022
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- 5.5: Frecuencia y Periodo de Funciones Sinusoidales
- 5.7: Gráficas de Otras Funciones Trigonométricas

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Una función periódica que no inicia en el eje sinusoidal o en un máximo o un mínimo se ha desplazado horizontalmente. Este movimiento horizontal permite diferentes puntos de partida ya que una onda sinusoidal no tiene un principio o un final.

¿Cuáles son otras cinco formas de escribir la función? $f(x)=2 \cdot \sin x ?$

Desplazamiento de fase de funciones sinusoidales

La función sinusoidal general es:

$f(x)=\pm a \cdot \sin (b(x+c))+d$

La constante $c$ controla el desplazamiento de fase. El desplazamiento de fase es el desplazamiento horizontal hacia la izquierda o hacia la derecha para funciones periódicas. Si $c=\frac{\pi}{2}$ entonces la onda sinusoidal se desplaza a la izquierda por $\frac{\pi}{2}$ . Si $c=-3$ entonces la onda sinusoidal se desplaza a la derecha por $3 .$ Esta es la dirección opuesta a la que cabría esperar, pero es consistente con las reglas de transformaciones para todas las funciones.

Para graficar una función como $f(x)=3 \cdot \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1,$ primero encontrar el inicio y el final de un periodo. Después esboza solo esa parte del eje sinusoidal. Finalmente, trazar los 5 puntos importantes para una gráfica coseno teniendo en cuenta la amplitud. A continuación se muestra la gráfica.

Generalmente siempre $b$ se escribe para ser positivo. Si te encuentras con una situación en la que $b$ es negativa, usa tu conocimiento de las funciones pares e impares para reescribir la función.

$\cos (-x)=\cos (x)$
$\sin (-x)=-\sin (x)$

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que escribiera $f(x)=2 \cdot \sin x$ de cinco formas distintas. La función se $f(x)=2 \cdot \sin x$ puede reescribir un número infinito de formas.

\ (
2\ cdot\ sin x=-2\ cdot\ cos\ izquierda (x+\ frac {\ pi} {2}\ derecha) =2\ cdot\ cos\ izquierda (x-\ frac {\ pi} {2}\ derecha) =-2\ cdot\ sin (x-\ pi) =2\ cdot\ sin (x-8\ pi)
\)

Todo depende de dónde elijas empezar y de si ves una gráfica positiva o negativa de seno o coseno.

Ejemplo 2

Dada la siguiente gráfica, identificar modelos algebraicos equivalentes de seno y coseno.

O esta es una función sinusoidal desplazada a la derecha por $\frac{\pi}{4}$ o una gráfica coseno desplazada a la izquierda $\frac{5 \pi}{4}$ .

$f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(x+\frac{5 \pi}{4}\right)$

Ejemplo 3

A los $t=5$ minutos William sube 2 pies para sentarse en el punto más bajo de la noria que tiene un diámetro de 80 pies. Una hora completa después finalmente se le suelta del volante después de hacer sólo una sola revolución. Durante esa hora se preguntó cómo modelar su estatura a lo largo del tiempo en una gráfica y ecuación.

Dado que el periodo es de 60 lo que funciona extremadamente bien con el $360^{\circ}$ en círculo, este problema se mostrará en grados.

\ (
\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ text {Tiempo (minutos)} &\ texto {Altura (pies)}\
\\ hline 5 & 2\
\ hline 20 & 42\
\ hline 35 & 82\
\ hline 50 & 42\
\ hline 65 & 2\\ hline
\ hline
\ end {array}
\)

William elige ver un coseno negativo en la gráfica. Identifica que la amplitud es de 40 pies. El desplazamiento vertical del eje sinusoidal es de 42 pies. El desplazamiento horizontal es de 5 minutos a la derecha

El periodo es de 60 (no 65) minutos lo que implica $b=6$ cuando se grafica en grados.

$60=\frac{360}{b}$

Así, una ecuación sería:

$f(x)=-40 \cdot \cos (6(x-5))+42$

Ejemplo 4

Las tablas de mareas reportan los tiempos y profundidades de las mareas bajas y altas. Aquí está parte del reporte de mareas de Salem, Massachusetts fechado el 19 de septiembre de 2006.

\ (
\ begin {array} {|c|c|c|}
\ hline 10:15\ mathrm {AM} & 9\ mathrm {ft} &\ text {Marea Alta}\
\ hline 4:15\ mathrm {PM} & 1\ mathrm {ft}. &\ text {Marea Baja}\
\\ hline 10:15\ mathrm {PM} & 9\ mathrm {ft} &\ text {Marea Alta}\
\ hline
\ end {array}
\)

Encuentra una ecuación que predice la altura en función del tiempo. Elige cuándo $t=0$ con cuidado.

Hay dos lugares lógicos para establecer $t=0$ . El primero es a la medianoche de la noche anterior y el segundo es a las 10:15 AM. La primera opción ilustra un desplazamiento de fase que es el foco de este concepto, pero la segunda opción produce una ecuación más simple. Establecer $t=0$ para ser a la medianoche y elegir unidades para estar en minutos.

\ (
\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline\ text {Tiempo (horas: minutos)} &\ texto {Tiempo (minutos)} &\ text {Marea (pies)}\
\\ hline 10:15 & 615 & 9\
\ hline 16:15 & 975 & 1\\
\ hline 22:15 & 1335 & 9\\
\ hline &\ frac {615+975} {2} =795 & 5\\
\ hline &\ frac {1335+975} {2} =1155 & 5\\
\ hline
\ end {array}
\)

Estos números parecen indicar una curva coseno positiva. La amplitud es 4 y el desplazamiento vertical es 5. El desplazamiento horizontal es 615 y el periodo es 720.

$720=\frac{2 \pi}{b} \rightarrow b=\frac{\pi}{360}$

Así, una ecuación es:

$f(x)=4 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{360}(x-615)\right)+5$

Ejemplo 5

Usa la ecuación del Ejemplo 4 para saber cuándo estará exactamente la marea $8 \mathrm{ft}$ en septiembre $19^{t h}$ .

Este problema te da el $y$ y te pide que encuentres el $x$ . Posteriormente aprenderás a resolver esto algebraicamente, pero por ahora usa la potencia del botón de intersección en tu calculadora para intersectar la función con la línea $y=8$ . Recuerda encontrar todos los $x$ valores entre 0 y 1440 para dar cuenta de la totalidad de las 24 horas.

Hay cuatro veces dentro de las 24 horas cuando la altura es exactamente de 8 pies. Puedes convertir estos tiempos a horas y minutos si lo prefieres.

$t \approx 532.18$ (8:52), 697.82 (11:34), 1252.18 (20:52), 1417.82 (23:38)

Revisar

Grafica cada una de las siguientes funciones.

1. $f(x)=2 \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)-1$

2. $g(x)=-\sin (x-\pi)+3$

3. $h(x)=3 \cos (2(x-\pi))$

4. $k(x)=-2 \sin (2 x-\pi)+1$

5. $j(x)=-\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

Dar una posible ecuación sinusoidal para cada una de las gráficas a continuación.

Dar una posible función coseno para cada una de las gráficas a continuación.

10.

11.

La temperatura durante un cierto período de 24 horas se puede modelar con una función sinusoidal. A las 3:00, la temperatura para el periodo alcanza un mínimo de $22^{\circ} \mathrm{F}$ . At $15: \mathrm{OO}$ , la temperatura para el periodo alcanza un máximo de $40^{\circ} F$

12. Encuentra una ecuación que predice la temperatura en función del tiempo en minutos. Elige $t=0$ ser medianoche.

13. Utilice la ecuación de #12 para predecir la temperatura a $4: 00 \mathrm{PM}$ .

14. Usa la ecuación de #12 para predecir la temperatura a las 8:00 AM.

15. Usa la ecuación de #12 para predecir el (los) tiempo (s) que será (n) $32^{\circ} \mathrm{F}$ .

...