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10.2 Ecuaciones polares de cónicas

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    Las coordenadas polares te permiten ampliar tu conocimiento de las cónicas en un nuevo contexto. Las calculadoras son una excelente herramienta para graficar cónicas polares. ¿Qué ajustes necesitas conocer para poder utilizar correctamente tu calculadora?

    Ecuaciones polares de cónicas

    Las ecuaciones polares se refieren\(r\) al radio en función del ángulo\(\theta\). Hay algunas ecuaciones polares típicas que deberías poder reconocer y graficar directamente desde su forma polar.

    La siguiente función polar es un círculo de radio\(\frac{a}{2}\) que pasa por el origen con un centro en ángulo\(\beta\).

    \(r=a \cdot \cos (\theta-\beta)\)

    Hay otras formas de representar un círculo como este usando identidades de cofunción y ángulos coterminales.

    Elipses, parábolas e hipérbolas tienen una ecuación polar general común. Al igual que con el círculo, existen otras formas de representar estas relaciones usando ángulos cofuncionales y coterminales; sin embargo, esta forma general es más fácil de usar porque cada parámetro puede interpretarse inmediatamente en una gráfica. Un parámetro es una constante en una ecuación general que toma un valor específico en una ecuación específica.

    \(r=\frac{k \cdot e}{1-e \cdot \cos (\theta-\beta)}\)

    Uno de los puntos focales de una cónica escrita de esta manera está siempre en el polo (el origen). El ángulo\(\beta\) indica el ángulo hacia el centro si la cónica es una elipse, la dirección de apertura si la cónica es una parábola y el ángulo lejos del centro si la cónica es una hipérbola. La excentricidad\(e\) debería decirte qué cónica es. La constante\(k\) es la distancia desde el foco en el polo hasta la directriz más cercana. Esta directriz se encuentra en la dirección opuesta indicada por\(\beta\).

    Hay muchas oportunidades para preguntas que involucran información parcial con cónicas polares. Algunas relaciones que a menudo son útiles para resolver estas preguntas son:

    • \(e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{P F}}{\overline{P D}} \rightarrow \overline{P F}=e \cdot \overline{P D}\)
    • Elipses:\(k=\frac{a^{2}}{c}-c\)
    • Hipérbolas:\(k=c-\frac{a^{2}}{c}\)

    Una excelente manera de descubrir nuevos tipos de gráficas en coordenadas polares es experimentar por tu cuenta con tu calculadora. Intenta llegar a ecuaciones y gráficas que se vean similares a las siguientes dos funciones polares.

    El círculo en azul tiene un centro en\(90^{\circ}\) y tiene un diámetro de 2. Su ecuación es\(r=2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)\).

    La elipse roja parece tener el centro en (2,0) con\(a=4\) y\(c=2\). Esto significa que la excentricidad es\(e=\frac{1}{2} .\) Para poder escribir la ecuación en forma polar todavía necesitas encontrar\(k\).

    \(k=\frac{a^{2}}{c}-c=\frac{4^{2}}{2}-2=8-2=6\)

    Así, la ecuación para la elipse es:

    \(r=\frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos (\theta)}\)

    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le preguntó sobre cómo usar su calculadora para graficar ecuaciones polares. La mayoría de las calculadoras tienen un modo de coordenadas polares. En\(\mathrm{TI}-84,\) el modo se puede cambiar a polar en el menú de modo. Esto cambia las características gráficas. Puedes elegir estar en radianes o grados y las gráficas tendrán el mismo aspecto. Cuando graficas un círculo del formulario\(r=8 \cdot \cos \theta\). deberías ver lo siguiente en tu calculadora.

    Cuando vayas a la configuración de la ventana debes notar que además de que\(X_{\min }, X_{\max }\) hay nuevos ajustes llamados\(\theta_{\min }, \theta_{\max }\) y\(\theta_{\text {step }}\).

    Si\(\theta_{\min }\) y\(\theta_{\max }\) no abarcan un periodo completo, es posible que acabes faltando parte de tu gráfica polar.

    El\(\theta_{\text {step }}\) controla qué tan precisa debe ser la gráfica. Si pones\(\theta_{\text {step }}\) a un número bajo como 0.1 la gráfica trazará extremadamente lentamente porque la calculadora está haciendo 3600 cálculos de coseno. Por otro lado si\(\theta_{\text {step }}=30\) entonces la calculadora hará menos cálculos produciendo un círculo aproximado, pero probablemente no lo suficientemente preciso para sus propósitos.

    Ejemplo 2

    Identificar el centro, focos, vértices y ecuaciones de las líneas directrix para las siguientes cónicas:

    \(r=\frac{20}{4-5 \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

    Primero, la ecuación polar necesita estar en forma de gráficos. Esto significa que el denominador tiene que parecerse\(1-e \cdot \cos (\theta-\beta)\).

    \(r=\frac{20}{4-5 \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{5}{1-\frac{5}{4} \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}=\frac{4 \cdot \frac{5}{4}}{1-\frac{5}{4} \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

    \(e=\frac{5}{4}, \quad k=4, \quad \beta=\frac{3 \pi}{4}=135^{\circ}\)

    Usando esta información y las relaciones que te recordaron en la guía, puedes configurar un sistema y resolver para\(a\) y\(c\).

    \(\begin{aligned} 4 &=c-\frac{a^{2}}{c} \\ \frac{5}{4} &=\frac{c}{a} \rightarrow \frac{4}{5}=\frac{a}{c} \rightarrow \frac{4 c}{5}=a \\ 4 &=c-\left(\frac{4 c}{5}\right)^{2} \cdot \frac{1}{c} \\ 4 &=c-\frac{16 c^{2}}{25 c} \\ 4 &=\frac{9 c}{25} \\ \frac{100}{9} &=c \\ \frac{80}{9} &=a \end{aligned}\)

    El centro es el punto\(\left(\frac{100}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) que es mucho más conveniente para escribir en coordenadas polares. La directriz más cercana es la línea\(r=4 \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). La otra directrix es la línea\(r=\left(2 \cdot \frac{100}{9}-4\right) \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). Un foco está en el polo, el otro foco es el punto\(\left(\frac{200}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\). Los vértices están en el centro más o menos\(a\) en el mismo ángulo:

    \(\left(\frac{100}{9} \pm \frac{80}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\)

    Al juntar toda esta información, la gráfica de la cónica es:

    Ejemplo 3

    Convierte la siguiente cónica de forma polar a forma rectangular.

    \(r=\frac{3}{2-\cos \theta}\)

    Hay muchas maneras de convertir de forma polar a forma rectangular. Deberías convertirte

    cómodo con el álgebra.

    \(\begin{aligned} r &=\frac{3}{2-\cos \theta} \\ r(2-\cos \theta) &=3 \\ 2 r-r \cdot \cos \theta &=3 \\ 2 r &=3+r \cdot \cos \theta=3+y \\ 4 r^{2} &=9+6 y+y^{2} \\ 4\left(x^{2}+y^{2}\right) &=9+6 y+y^{2} \\ 4 x^{2}+4 y^{2} &=9+6 y+y^{2} \\ 4 x^{2}+3 y^{3}+6 y &=9 \\ 4 x^{2}+3\left(y^{2}+2 y+1\right) &=9+3 \\ 4 x^{2}+3(y+1)^{2} &=12 \\ \frac{x^{2}}{3}+\frac{(y+1)^{2}}{4} &=1 \end{aligned}\)

    Ejemplo 4

    Grafica la siguiente cónica.

    \(r=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)

    Convertir a la forma cónica estándar.

    \(\begin{aligned} r &=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)} \\ r &=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}=\frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)} \\ k &=3, \quad e=\frac{1}{2}, \quad \beta=30^{\circ} \end{aligned}\)

    Ejemplo 5

    Traduce la siguiente forma cónica a polar.

    \((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25\)

    Expande la ecuación original y luego traduzca a coordenadas polares:

    \((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25\)

    \(x^{2}-6 x+9+y^{2}+8 y+16=25\)

    \(r^{2}-6 x+8 y=0\)

    \(r^{2}-6 r \cdot \cos \theta+8 r \cdot \sin \theta=0\)

    \(r-6 \cos \theta+8 \sin \theta=0\)

    \(r=6 \cos \theta-8 \sin \theta\)

    Revisar

    Convierte las siguientes cónicas de forma polar a forma rectangular. Después, identificar la cónica.

    1. \(r=\frac{5}{3-\cos \theta}\)

    2. \(r=\frac{4}{2-\cos \theta}\)

    3. \(r=\frac{2}{2-\cos \theta}\)

    4. \(r=\frac{3}{2-4 \cos \theta}\)

    5. \(r=5 \cos (\theta)\)

    Grafica las siguientes cónicas.

    6. \(r=\frac{5}{4-2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)}\)

    7. \(r=\frac{5}{3-7 \cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)

    8. \(r=\frac{3}{3-3 \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)

    9. \(r=\frac{1}{2-\cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)

    10. \(r=\frac{3}{6-3 \cos \left(\theta-45^{\circ}\right)}\)

    Traduce las siguientes cónicas a forma polar.

    11. \(\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)

    12. \((x-5)^{2}+(y+12)^{2}=169\)

    13. \(x^{2}+(y+1)^{2}=1\)

    14. \((x-1)^{2}+y^{2}=1\)

    15. \(-3 x^{2}-4 x+y^{2}-1=0\)


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