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# 11.2 Aritmética con números complejos

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La idea de un número complejo puede ser difícil de comprender, especialmente cuando empiezas a pensar en el valor absoluto. En el pasado puede haber pensado en el valor absoluto de un número como solo el número en sí o su versión positiva. ¿Cómo se debe pensar sobre el valor absoluto de un número complejo?

## Operaciones Aritméticas con Números Complejos

Los números complejos siguen las mismas reglas que los números reales para las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir. Hay algunas ideas importantes para recordar cuando se trabaja con números complejos:

1. Al simplificar, debes recordar combinar partes imaginarias con partes imaginarias y partes reales con partes reales. Por ejemplo,$$4+5 i+2-3 i=6+2 i$$

3. Los poderes de$$i$$ son:

• $$i=\sqrt{-1}$$
• $$i^{2}=-1$$
• $$i^{3}=-\sqrt{-1}=-i$$
• $$i^{4}=1$$
• $$i^{5}=i$$
• $$\ldots$$y el patrón se repite

Considera esta compleja expresión:

$$(2+3 i)(1-5 i)-3 i+8$$

Primero, multiplica los dos binomios y luego combina las partes imaginarias con partes imaginarias y las partes reales con partes reales.

$$=2-10 i+3 i-15 i^{2}-3 i+8$$

$$=10-10 i+15$$

$$=25-10 i$$

Tenga en cuenta que una potencia superior a 1 de$$i$$ puede simplificarse usando el patrón anterior.

El plano complejo se configura de la misma manera que el$$x, y$$ plano regular, excepto que los números reales se cuentan horizontalmente y los números complejos se cuentan verticalmente. El siguiente es el número$$4+3 i$$ trazado en el plano numérico complejo. Observe como el punto es de cuatro unidades por encima y tres unidades arriba.

El valor absoluto de un número complejo como$$|4+3 i|$$ se define como la distancia desde el número complejo hasta el origen. Se puede utilizar el Teorema de Pitágoras para obtener el valor absoluto. En este caso,$$|4+3 i|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$$.

## Ejemplos

##### Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo pensar sobre el valor absoluto de un número complejo. Una buena manera de pensar sobre el valor absoluto para todos los números es definirlo como la distancia de un número a cero. En el caso de números complejos donde un número individual es realmente una coordenada en un plano, cero es el origen.

##### Ejemplo 2

Calcula la siguiente potencia a mano y usa tu calculadora para apoyar tu trabajo.

$$(\sqrt{3}+2 i)^{3}$$

$$(\sqrt{3}+2 i) \cdot(\sqrt{3}+2 i) \cdot(\sqrt{3}+2 i)$$

$$=(3+4 i \sqrt{3}-4)(\sqrt{3}+2 i)$$

$$=(-1+4 i \sqrt{3})(\sqrt{3}+2 i)$$

$$=-\sqrt{3}-2 i+12 i-8 \sqrt{3}$$

$$=-9 \sqrt{3}+10 i$$

Un TI-84 se puede cambiar al modo imaginario y luego calcular exactamente lo que acaba de hacer. Tenga en cuenta que la calculadora dará una aproximación decimal para$$-9 \sqrt{3}$$.

##### Ejemplo 3

Simplifique la siguiente expresión compleja.

$$\frac{7-9 i}{4-3 i}+\frac{3-5 i}{2 i}$$

Para sumar fracciones es necesario encontrar un denominador común.

$$\frac{(7-9 i) \cdot 2 i}{(4-3 i) \cdot 2 i}+\frac{(3-5 i) \cdot(4-3 i)}{2 i \cdot(4-3 i)}$$

$$=\frac{14 i+18}{8 i+6}+\frac{12-20 i-9 i-15}{8 i+6}$$

$$=\frac{15-15 i}{8 i+6}$$

Por último, eliminar el componente imaginario del denominador mediante el uso del conjugado.

$$=\frac{(15-15 i) \cdot(8 i-6)}{(8 i+6) \cdot(8 i-6)}$$

$$=\frac{120 i-90+120+90 i}{100}$$

$$=\frac{30 i+30}{100}$$

$$=\frac{3 i+3}{10}$$

##### Ejemplo 4

Simplifica el siguiente número complejo.

$$i^{2013}$$

Al simplificar números complejos, no$$i$$ debe tener una potencia mayor a 1. Los poderes de$$i$$ repetición en un ciclo de cuatro partes:

$$i^{5}=i=\sqrt{-1}$$

$$i^{6}=i^{2}=-1$$

$$i^{7}=i^{3}=-\sqrt{-1}=-i$$

$$i^{8}=i^{4}=1$$

Por lo tanto, sólo hay que determinar dónde está 2013 en el ciclo. Para ello, determina el resto cuando dividas 2013 por 4. El resto es 1 así$$i^{2013}=i$$.

##### Ejemplo 5

Trace el siguiente número complejo en el plano de coordenadas complejas y determine su valor absoluto.

$$-12+5 i$$

Los lados del triángulo rectángulo son 5 y$$12,$$ que debes reconocer como pitagórico

triple con una hipotenusa de 13. $$|-12+5 i|=13$$.

##### Revisar

Simplifique los siguientes números complejos.

1. $$i^{252}$$

2. $$i^{312}$$

3. $$i^{411}$$

4. $$i^{2345}$$

Para cada uno de los siguientes, trazar el número complejo en el plano de coordenadas complejas y

determinar su valor absoluto.

5. $$6-8 i$$

6. $$2+i$$

7. $$4-2 i$$

8. $$-5 i+1$$

Dejar$$c=2+7 i$$ y$$d=3-5 i$$

9. Qué es$$c+d ?$$

10. Qué es$$c-d ?$$

11. Qué es$$c \cdot d ?$$

12. Qué es$$2 c-4 d ?$$

13. Qué es$$2 c \cdot 4 d ?$$

14. ¿Qué es$$\frac{c}{d}$$?

15. Qué es$$c^{2}-d^{2} ?$$

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