3.2.4: Forma más simple de ecuaciones trigonométricas
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Desglose de expresiones complejas mediante identidades trigonométricas.
A veces las cosas son más simples de lo que parecen. Por ejemplo, las identidades trigonométricas a veces se pueden reducir a formas más simples aplicando otras reglas. Por ejemplo, ¿puedes encontrar una manera de simplificar\(\dfrac{\cos^3\theta =3\cos\theta +\cos^3\theta}{4}\)?
Ecuaciones Trigonométricas
En este momento de tu carrera escolar probablemente hayas visto funciones trigonométricas representadas de muchas maneras: relaciones entre las longitudes laterales de los triángulos rectos, como funciones de coordenadas como uno viaja a lo largo del círculo unitario y como funciones abstractas con gráficas. Ahora es el momento de hacer uso de las propiedades de las funciones trigonométricas para obtener conocimiento de las conexiones entre las propias funciones. Los patrones de estas conexiones se pueden aplicar para simplificar expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas.
Para ello, busca partes de la compleja expresión trigonométrica que podrían reducirse a menos funciones trigonométricas si una de las identidades que ya conoce se aplica a la expresión. A medida que aplica identidades, algunas expresiones trigonométricas complejas tienen partes que se pueden cancelar, otras se pueden reducir a menos funciones trigonométricas. Observe cómo se logra esto en los ejemplos a continuación.
Simplificación de expresiones
1. Simplifique la siguiente expresión usando las identidades trigonométricas básicas:\(\dfrac{1+\tan^2 x}{\csc 2x}\)
\ (\ begin {alineado}
\ dfrac {1+\ tan ^ {2} x} {\ csc ^ {2} x} &\ ldots\ left (1+\ tan ^ {2} x=\ seg ^ {2} x\ derecha)\ text {Identidad pitagórica}\
\ dfrac {\ sec ^ {2} x} {\ csc ^ {2} x} & lllpuntos\ izquierda (\ seg ^ {2} x=\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}\ texto {y}\ csc ^ {2} x=\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x}\ derecha)\ text {Identidad Recíproca}\\ dfrac {\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}} {\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x}} &=\ izquierda (\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}\ derecha)\ div\ izquierda (\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x} derecha)\
\\ izquierda (\ dfrac {1} {\ cos ^ {2} x}\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ dfrac {1} {\ sin ^ {2} x}\ derecha) &=\ dfrac {\ sen ^2 x} {\ cos^2 x}\\
&=\ tan ^ {2} x\ fila derecha\ texto {Identidad de cociente}
\ end {alineado}\)
2. Simplifique la siguiente expresión usando las identidades trigonométricas básicas:\(\dfrac{\sin ^2 x+\tan^2 x+\cos ^2 x }{\sec x}\)
\ (\ begin {alineado}
\ dfrac {\ sin ^ {2} x+\ tan ^ {2} x+\ cos ^ {2} x} {\ sec x} &\ ldots\ left (\ sin ^ {2} x+\ cos ^ {2} x=1\ derecha)\ text {Identidad pitagórica}\
\ dfrac {1+\ tan ^ {2} x}\ {sec x} &\ ldots\ izquierda (1+\ tan ^ {2} x=\ sec ^ {2} x\ derecha)\ text {Identidad pitagórica}\\
\ dfrac {\ seg ^ {2} x} {\ seg x} &=\ seg x
\ final {alineado}\)
3. Simplifique la siguiente expresión usando las identidades trigonométricas básicas:\(\cos x−\cos ^3 x\)
\ (\ begin {alineado}
&\ cos x-\ cos ^ {3} x\
&\ cos x\ izquierda (1-\ cos ^ {2} x\ derecha)\ quad\ ldots\ texto {Factor de salida}\ cos x\ texto {y}\ sin ^ {2} x=1-\ cos ^ {2} x\\ cos ^ {2} x\
&\ cos x\ izquierda (\ sin ^ {2} x\ derecha)
\ end {alineado}\)
Antes, se le pidió que simplificara\(\cos^3\theta =\dfrac{3 \cos\theta +\cos^3\theta}{4}\).
Solución
La forma más fácil de comenzar es reconocer la identidad de triple ángulo:
\(\cos^3\theta =\cos^3\theta −3\sin^2\theta \cos\theta\)
Sustituyendo esto en la ecuación original da:
\(\cos^3\theta =\dfrac{3\cos\theta +(\cos^3\theta −3\sin^2\theta cos\theta )}{4}\)
Observe que luego puede multiplicar por cuatro y restar un\(\cos^3\theta\) término:
\(3\cos^3\theta =3\cos\theta −3\sin^2\theta cos\theta\)
Y finalmente sacando un tres y dividiendo:
\(\cos^3\theta =\cos\theta −\sin^2\theta cos\theta\)
Después sacando a\(\cos \theta\) y dividiendo:
\(\cos^2\theta =1−\sin^2\theta\)
Simplificar\(\tan^3(x)\csc^3(x)\).
Solución
\(\begin{aligned} \tan^3(x) \csc^3(x)&\\&=\sin^3(x)\cos^3(x)\times \dfrac{ 1}{\sin^3(x)} \\ &=\dfrac{1}{\cos^3(x)} \\ &=sec^3(x) \end{aligned}\)
\(\cot^2(x)+1=\csc^2(x)\)Demuéstralo.
Solución
Comience con\(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\), y divida todo por\(sin^2(x)\):
\(\begin{aligned} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \\ &=\dfrac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)}+\dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\\&=\dfrac{1}{\sin^2(x)} \\&=1+\cot^2(x)=\csc^2(x)\end{aligned}\)
Simplificar\(\dfrac{\csc^2(x)−1}{\csc^2(x)}\).
Solución
\(\dfrac{\csc^2(x)−1}{\csc^2(x)}\)
Usando\(\cot^2(x)+1=\csc^2(x)\) eso se comprobó en #2, puedes encontrar la relación:\(cot^2(x)=\csc^2(x)−1\), puedes sustituirla en la expresión anterior para obtener:
\(\begin{aligned} \dfrac{\cot^2(x)}{\csc^2(x)} &=\dfrac{\dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}{\dfrac{1}{\sin^2(x)}} \\&=\cos^2(x)\end{aligned}\)
Revisar
Simplifica cada expresión trigonométrica tanto como sea posible.
- \(\sin(x) \cot(x)\)
- \(\cos(x) tan(x)\)
- \(\dfrac{1+\tan(x)}{1+\cot(x)}\)
- \(\dfrac{1−\sin^2(x)}{1+\sin(x)}\)
- \(\dfrac{\sin^2(x)}{1+\cos(x)}\)
- \((1+\tan^2(x))(\sec^2(x))\)
- \(\sin(x)(\tan(x)+\cot(x))\)
- \(\dfrac{\sec(x)}{\sin(x)}−\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
- \(\dfrac{\sin(x)}{\cot^2(x)}−\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\)
- \(\dfrac{1+\sin(x)}{cos(x)}−\sec(x)\)
- \(\dfrac{\sin^2(x)−\sin^4(x)}{\cos^2(x)}\)
- \(\dfrac{\tan(x)}{\csc^2(x)}+\dfrac{\tan(x)}{\sec^2(x)}\)
- \(\sqrt{1−\cos^2(x)}\)
- \((1−\sin^2(x))(\cos(x))\)
- \((\sec^2(x)+\csc^2(x))−(\tan^2(x)+\cot^2(x))\)
Reseña (Respuestas)
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vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Identidad trigonométrica | Una identidad trigonométrica es una ecuación que relaciona dos o más funciones trigonométricas. |
Recursos adicionales
Video: Ejemplo: Resolver una ecuación trigonométrica usando una sustitución trigonométrica y factorización