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LibreTexts Español

6.2.3: Parábolas con cualquier vértice

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    Parábolas con vértice a (h, k)

    Tu tarea es encontrar el foco de la parábola\(\ (x+4)^{2}=-12(y-5)\). Dices que el foco es (−4, 5). Banu dice que el foco es (0, −3). Carlos dice que el foco es (−4, 2). ¿Cuál de ustedes es correcto?


    Parábolas con vértice a (h, k)

    Ya aprendiste que las parábolas no siempre tienen su vértice en (0, 0). En este concepto, abordaremos las parábolas donde está el vértice (h, k), aprenderemos a encontrar el foco, la directrix y la gráfica.

    Recordemos que la ecuación de una parábola es\(\ x^{2}=4 p y\) o\(\ y^{2}=4 p x\) y el vértice está en el origen. También, recordemos que la forma de vértice de una parábola es\(\ y=a(x-h)^{2}+k\). Combinando los dos, podemos encontrar la forma de vértice para cónicas.

    \ (\\ begin {aligned}
    y &=a (x-h) ^ {2} +k\ text {y} x^ {2} =4 p y & &\ text {Resuelve el primero para} (x-h) ^ {2}\\
    (x-h) ^ {2} &=\ frac {1} {a} (y-k) &\ text {Encontramos que} 4 p=\ frac {1} {a}\\
    (x-h) ^ {2} &=4 p (y-k) & &
    \ end { alineado}\)

    Si la parábola es horizontal, entonces la ecuación lo será\(\ (y-k)^{2}=4 p(x-h)\). Observe, que aunque se cambie la orientación, los\(\ k\) valores\(\ h\) y permanecen con los\(\ y\) valores\(\ x\) y, respectivamente.

    Encontrar el foco y la directrix son un poco más complicados. Utilice la tabla extendida a continuación para ayudarle a encontrar estos valores.

    f-d_b3ac315acf833d98d7c2644f157ac584ca4c02211b3f6cc51e7551d0+image_tiny+image_tiny.png

    Observe que la forma en que encontramos el foco y la directrix no cambia si\(\ p\) es positiva o negativa.

    Analicemos la ecuación\(\ (y-1)^{2}=8(x+3)\). Encontraremos el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix. Entonces, determinaremos si la función se abre arriba, abajo, izquierda o derecha.

    Primero, porque\(\ y\) es cuadrada, sabemos que la parábola se abrirá a la izquierda o a la derecha. Podemos concluir que la parábola se abrirá a la derecha porque 8 es positivo, es decir, eso\(\ p\) es positivo. A continuación, encuentra el vértice. Usando la ecuación general,\(\ (y-k)^{2}=4 p(x-h)\), el vértice es (−3, 1) y el eje de simetría es\(\ y=1\). \(\ 4 p=8\)Enfrentando, tenemos eso\(\ p=2\). Sumando\(\ p\) al\(\ x\) -valor del vértice, obtenemos el foco, (−1, 1). Restando\(\ p\) del\(\ x\) -valor del vértice, obtenemos la directrix,\(\ x=−5\).

    Vamos a graficar la parábola del problema anterior. Trazar el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix.

    Primero, graficar todos los valores críticos que encontramos anteriormente. Luego, determina un conjunto de puntos simétricos que están en la parábola para asegurarte de que tu curva sea correcta. Si\(\ x=5\), entonces\(\ y\) es -7 o 9. Esto significa que los puntos (5, −7) y (5, 9) están ambos en la parábola.

    f-d_9bc3269eabc39e875b0be0aba9925e940bacafe447fcb757c35d0fc3+image_tiny+image_tiny.png

    Es importante señalar que las parábolas con orientación horizontal no son funciones porque no pasan la prueba de línea vertical.

    El vértice de una parábola es (−2, 4) y la directrix es y=7. Encontremos la ecuación de la parábola.

    Primero, determinemos la orientación de esta parábola. Debido a que la directrix es horizontal, sabemos que la parábola se abrirá hacia arriba o hacia abajo (ver tabla/imágenes arriba). También sabemos que la directrix está por encima del vértice, haciendo que la parábola se abra hacia abajo y\(\ p\) será negativa (traza esto en un plano x−y si no está seguro).

    Para encontrar\(\ p\), podemos usar el vértice,\(\ (h,k)\) y la ecuación para una directrix horizontal,\(\ y=k−p\).

    \ (\\ begin {aligned}
    7 &=4-p\\
    3 &=-p\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ text {Recuerda,} p\ text {es negativo debido a la orientación hacia abajo de la parábola.} \\
    -3 &=p
    \ final {alineado}\)

    Ahora, usando la forma general,\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\), podemos encontrar la ecuación de esta parábola.

    \ (\\ comenzar {alineado}
    (x- (-2)) ^ {2} &=4 (-3) (y-4)\\
    (x+2) ^ {2} &=-12 (y-4)
    \ final {alineado}\)


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, se le pidió que determinara qué estudiante es correcto.

    Solución

    Esta parábola es de la forma\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\). De la mesa anterior en esta lección, podemos ver que el foco de una parábola de esta forma es\(\ (h, k+p)\). Entonces ahora tenemos que encontrar h, k, y p.

    Si comparamos\(\ (x+4)^{2}=-12(y-5)\) con\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\), vemos que:

    1. \(\ 4=-h \text { or } h=-4\)
    2. \(\ -12=4 p \text { or } p=-3\)
    3. \(\ 5=k\)

    De estos hechos podemos encontrar\(\ k+p=5+(-3)=2\).

    Por lo tanto, el foco de la parábola es\(\ (−4,2)\) y Carlos es correcto.

    Ejemplo 2

    Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de\(\ (x+5)^{2}=2(y+2)\).

    Solución

    El vértice es\(\ (-5,-2)\) y la parábola se abre porque\(\ p\) es positiva y\(\ x\) está cuadrada.

    \(\ 4 p=2\), haciendo\(\ p=\frac{1}{2}\). El foco es\(\ (-5,-2+2)\) o\(\ (-5,0)\), el eje de simetría es\(\ x=-5\), y la directrix es\(\ y=-2-\frac{1}{2}\) o\(\ y=-2 \frac{1}{2}\).

    Ejemplo 3

    Grafica la parábola del Ejemplo 2.

    Solución

    f-d_86c9ec8fd6a83cf8be727a86a5b7528b091c56ab523b48b8d9f2998b+imagen_thumb_postcard_tiny+imagen_thumb_postcard_tiny.png

    Ejemplo 4

    Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (−5, −1) y foco (−8, −1).

    Solución

    El vértice es (−5, −1), así\(\ h=−5\) y\(\ k=−1\). El foco es (−8, −1), lo que significa que esa parábola será horizontal. Esto lo sabemos porque los valores y del vértice y el foco son ambos -1. Por lo tanto,\(\ p\) se suma o resta a\(\ h\).

    \(\ (h+p, k) \rightarrow(-8,-1)\)podemos inferir eso\(\ h+p=-8 \rightarrow-5+p=-8\) y\(\ p=-3\)

    Por lo tanto, la ecuación es\(\ (y-(-1))^{2}=4(-3)(x-(-5)) \rightarrow(y+1)^{2}=-12(x+5)\)


    Revisar

    Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de las parábolas a continuación.

    1. \(\ (x+1)^{2}=-3(y-6)\)
    2. \(\ (x-3)^{2}=y-7\)
    3. \(\ (y+2)^{2}=8(x+1)\)
    4. \(\ y^{2}=-10(x-3)\)
    5. \(\ (x+6)^{2}=4(y+8)\)
    6. \(\ (y-5)^{2}=-\frac{1}{2} x\)
    7. Grafica la parábola de #1.
    8. Grafica la parábola de #2.
    9. Grafica la parábola de #4.
    10. Grafica la parábola de #5.

    Encuentra la ecuación de la parábola dado el vértice y ya sea el foco o directrix.

    1. vértice: (2, −1), enfoque: (2, −4)
    2. vértice: (−3, 6), directrix: x = 2
    3. vértice: (6, 10), directrix: y = 9.5
    4. Enfoque de desafío: (−1, −2), directrix: x = 3
    5. Extensión Reescribe la ecuación de la parábola, x 2 − 8x + 2y + 22 = 0, en forma estándar completando el cuadrado. Entonces, encuentra el vértice.

    Respuestas para problemas de revisión

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.2.


    El vocabulario

    Término Definición
    Forma de vértice La forma de vértice de una parábola es\(\ (x-h)^{2}=4 p(y-k)\) o\(\ (y-k)^{2}=4 p(x-h)\) dónde\(\ (h,k)\) está el vértice.

    Atribuciones de imagen

    1. [Figura 1]
      Crédito: Holly Fischer
      Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Main_Layers_of_the_Eye.png

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