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LibreTexts Español

6.2.3: Parábolas con cualquier vértice

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Parábolas con vértice a (h, k)

Tu tarea es encontrar el foco de la parábola\ (x+4)^{2}=-12(y-5). Dices que el foco es (−4, 5). Banu dice que el foco es (0, −3). Carlos dice que el foco es (−4, 2). ¿Cuál de ustedes es correcto?


Parábolas con vértice a (h, k)

Ya aprendiste que las parábolas no siempre tienen su vértice en (0, 0). En este concepto, abordaremos las parábolas donde está el vértice (h, k), aprenderemos a encontrar el foco, la directrix y la gráfica.

Recordemos que la ecuación de una parábola es\ x^{2}=4 p y o\ y^{2}=4 p x y el vértice está en el origen. También, recordemos que la forma de vértice de una parábola es\ y=a(x-h)^{2}+k. Combinando los dos, podemos encontrar la forma de vértice para cónicas.

\ (\\ begin {aligned}
y &=a (x-h) ^ {2} +k\ text {y} x^ {2} =4 p y & &\ text {Resuelve el primero para} (x-h) ^ {2}\\
(x-h) ^ {2} &=\ frac {1} {a} (y-k) &\ text {Encontramos que} 4 p=\ frac {1} {a}\\
(x-h) ^ {2} &=4 p (y-k) & &
\ end { alineado}\)

Si la parábola es horizontal, entonces la ecuación lo será\ (y-k)^{2}=4 p(x-h). Observe, que aunque se cambie la orientación, los\ k valores\ h y permanecen con los\ y valores\ x y, respectivamente.

Encontrar el foco y la directrix son un poco más complicados. Utilice la tabla extendida a continuación para ayudarle a encontrar estos valores.

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Observe que la forma en que encontramos el foco y la directrix no cambia si\ p es positiva o negativa.

Analicemos la ecuación\ (y-1)^{2}=8(x+3). Encontraremos el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix. Entonces, determinaremos si la función se abre arriba, abajo, izquierda o derecha.

Primero, porque\ y es cuadrada, sabemos que la parábola se abrirá a la izquierda o a la derecha. Podemos concluir que la parábola se abrirá a la derecha porque 8 es positivo, es decir, eso\ p es positivo. A continuación, encuentra el vértice. Usando la ecuación general,\ (y-k)^{2}=4 p(x-h), el vértice es (−3, 1) y el eje de simetría es\ y=1. \ 4 p=8Enfrentando, tenemos eso\ p=2. Sumando\ p al\ x -valor del vértice, obtenemos el foco, (−1, 1). Restando\ p del\ x -valor del vértice, obtenemos la directrix,\ x=−5.

Vamos a graficar la parábola del problema anterior. Trazar el vértice, el eje de simetría, el enfoque y la directrix.

Primero, graficar todos los valores críticos que encontramos anteriormente. Luego, determina un conjunto de puntos simétricos que están en la parábola para asegurarte de que tu curva sea correcta. Si\ x=5, entonces\ y es -7 o 9. Esto significa que los puntos (5, −7) y (5, 9) están ambos en la parábola.

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Es importante señalar que las parábolas con orientación horizontal no son funciones porque no pasan la prueba de línea vertical.

El vértice de una parábola es (−2, 4) y la directrix es y=7. Encontremos la ecuación de la parábola.

Primero, determinemos la orientación de esta parábola. Debido a que la directrix es horizontal, sabemos que la parábola se abrirá hacia arriba o hacia abajo (ver tabla/imágenes arriba). También sabemos que la directrix está por encima del vértice, haciendo que la parábola se abra hacia abajo y\ p será negativa (traza esto en un plano x−y si no está seguro).

Para encontrar\ p, podemos usar el vértice,\ (h,k) y la ecuación para una directrix horizontal,\ y=k−p.

\ (\\ begin {aligned}
7 &=4-p\\
3 &=-p\ quad\ quad\ quad\ quad\ quad\ text {Recuerda,} p\ text {es negativo debido a la orientación hacia abajo de la parábola.} \\
-3 &=p
\ final {alineado}\)

Ahora, usando la forma general,\ (x-h)^{2}=4 p(y-k), podemos encontrar la ecuación de esta parábola.

\ (\\ comenzar {alineado}
(x- (-2)) ^ {2} &=4 (-3) (y-4)\\
(x+2) ^ {2} &=-12 (y-4)
\ final {alineado}\)


Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que determinara qué estudiante es correcto.

Solución

Esta parábola es de la forma\ (x-h)^{2}=4 p(y-k). De la mesa anterior en esta lección, podemos ver que el foco de una parábola de esta forma es\ (h, k+p). Entonces ahora tenemos que encontrar h, k, y p.

Si comparamos\ (x+4)^{2}=-12(y-5) con\ (x-h)^{2}=4 p(y-k), vemos que:

  1. \ 4=-h \text { or } h=-4
  2. \ -12=4 p \text { or } p=-3
  3. \ 5=k

De estos hechos podemos encontrar\ k+p=5+(-3)=2.

Por lo tanto, el foco de la parábola es\ (−4,2) y Carlos es correcto.

Ejemplo 2

Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de\ (x+5)^{2}=2(y+2).

Solución

El vértice es\ (-5,-2) y la parábola se abre porque\ p es positiva y\ x está cuadrada.

\ 4 p=2, haciendo\ p=\frac{1}{2}. El foco es\ (-5,-2+2) o\ (-5,0), el eje de simetría es\ x=-5, y la directrix es\ y=-2-\frac{1}{2} o\ y=-2 \frac{1}{2}.

Ejemplo 3

Grafica la parábola del Ejemplo 2.

Solución

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Ejemplo 4

Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (−5, −1) y foco (−8, −1).

Solución

El vértice es (−5, −1), así\ h=−5 y\ k=−1. El foco es (−8, −1), lo que significa que esa parábola será horizontal. Esto lo sabemos porque los valores y del vértice y el foco son ambos -1. Por lo tanto,\ p se suma o resta a\ h.

\ (h+p, k) \rightarrow(-8,-1)podemos inferir eso\ h+p=-8 \rightarrow-5+p=-8 y\ p=-3

Por lo tanto, la ecuación es\ (y-(-1))^{2}=4(-3)(x-(-5)) \rightarrow(y+1)^{2}=-12(x+5)


Revisar

Encuentra el vértice, foco, eje de simetría y directrix de las parábolas a continuación.

  1. \ (x+1)^{2}=-3(y-6)
  2. \ (x-3)^{2}=y-7
  3. \ (y+2)^{2}=8(x+1)
  4. \ y^{2}=-10(x-3)
  5. \ (x+6)^{2}=4(y+8)
  6. \ (y-5)^{2}=-\frac{1}{2} x
  7. Grafica la parábola de #1.
  8. Grafica la parábola de #2.
  9. Grafica la parábola de #4.
  10. Grafica la parábola de #5.

Encuentra la ecuación de la parábola dado el vértice y ya sea el foco o directrix.

  1. vértice: (2, −1), enfoque: (2, −4)
  2. vértice: (−3, 6), directrix: x = 2
  3. vértice: (6, 10), directrix: y = 9.5
  4. Enfoque de desafío: (−1, −2), directrix: x = 3
  5. Extensión Reescribe la ecuación de la parábola, x 2 − 8x + 2y + 22 = 0, en forma estándar completando el cuadrado. Entonces, encuentra el vértice.

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.2.


El vocabulario

Término Definición
Forma de vértice La forma de vértice de una parábola es\ (x-h)^{2}=4 p(y-k) o\ (y-k)^{2}=4 p(x-h) dónde\ (h,k) está el vértice.

Atribuciones de imagen

  1. [Figura 1]
    Crédito: Holly Fischer
    Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Main_Layers_of_the_Eye.png

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