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5.11: Distribución Hipergeométrica

  • Page ID
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    Objetivos de aprendizaje

    • Estudiar el uso de la distribución hipergeométrica

    La distribución hipergeométrica se utiliza para calcular las probabilidades cuando se toma un muestreo sin reemplazo. Por ejemplo, supongamos que primero muestres aleatoriamente una carta de una baraja de\(52\). Entonces, sin volver a poner la carta en la baraja muestres un segundo y luego (otra vez sin reemplazar cartas) una tercera. Ante este procedimiento de muestreo, cuál es la probabilidad de que exactamente dos de las cartas muestreadas sean ases (\(4\)de las\(52\) cartas en el mazo son ases). Puede calcular esta probabilidad usando la siguiente fórmula basada en la distribución hipergeométrica:

    \[ p =\dfrac{ (_{k}C_{x})(_{(n-k)}C_{(n-x)}) }{ _{n}C_{n}}\]

    donde

    • \(k\)es el número de “éxitos” en la población
    • \(x\)es el número de “éxitos” en la muestra
    • \(N\)es el tamaño de la población
    • \(n\)es el número muestreado
    • \(p\)es la probabilidad de obtener exactamente\(x\) éxitos
    • \(_kC_x\)es el número de combinaciones de\(k\) cosas tomadas\(x\) a la vez

    En este ejemplo,\(k = 4\) porque hay cuatro ases en la baraja,\(x = 2\) porque el problema pregunta sobre la probabilidad de obtener dos ases,\(N = 52\) porque hay\(52\) cartas en una baraja, y\(n = 3\) porque\(3\) las cartas fueron muestreadas. Por lo tanto,

    \[\begin{align} p &=\dfrac{(_4C_2) (_{(52-4)}C_{(3-2})}{_{52}C_3} \\[5pt] &= \dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}\dfrac{48!}{47!1!}}{\dfrac{52!}{49!3!}} = 0.013 \end{align}\]

    La media y desviación estándar de la distribución hipergeométrica son:

    \[mean = \dfrac{n\,k}{N}\]

    \[\sigma_{hypergeometric} = \sqrt{\dfrac{n\,k(N-k)(N-m)}{N^2(N-1)}}\]


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