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3.14: Espacios de funciones

  • Page ID
    151558
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    Teoría Básica

    Nuestro punto de partida es un espacio de medida positiva\( (S, \mathscr{S}, \mu) \). Eso\( S \) es un conjunto,\( \mathscr{S} \) es un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \), y\( \mu \) es una medida positiva sobre\( (S, \mathscr{S}) \). Como es habitual, los casos especiales más importantes son

    • Espacio euclidiano:\( S \) es un subconjunto medible de Lebesgue de\( \R^n \) para algunos\( n \in \N_+ \),\( \mathscr{S} \) es el\( \sigma \) -álgebra de los subconjuntos medibles de\( S \) Lebesgue y\( \mu = \lambda_n \) es\( n \) -dimensional medida de Lebesgue.
    • Espacio discreto:\( S \) es un conjunto contable,\( \mathscr{S} = \mathscr P(S) \) es la colección de todos los subconjuntos de\( S \), y\( \mu = \# \) es la medida de conteo.
    • Espacio de probabilidad:\( S \) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio,\( \mathscr{S} \) es el\( \sigma \) álgebra de eventos y\( \mu = \P \) es una medida de probabilidad.

    En secciones anteriores, definimos la integral de ciertas funciones medibles\( f: S \to \R \) con respecto a\( \mu \), y estudiamos propiedades de la integral. En esta sección, estudiaremos espacios vectoriales de funciones que se definen en términos de ciertas condiciones de integrabilidad. Estos espacios funcionales son de fundamental importancia en todas las áreas de análisis, incluyendo la probabilidad. En particular, los resultados de esta sección reaparecerán en forma de espacios de variables aleatorias en nuestro estudio de valor esperado.

    Definiciones y Propiedades Básicas

    Consideremos una declaración sobre los elementos de\(S \), por ejemplo, una ecuación o una desigualdad con\( x \in S \) como variable libre. (Técnicamente tal declaración es un predicado sobre\( S \).) Porque\( A \in \mathscr{S} \), decimos que el enunciado se mantiene\( A \) si es cierto para cada uno\( x \in A \). Decimos que la declaración se sostiene en casi todas partes sobre\( A \) (con respecto a\( \mu \)) si existe\( B \in \mathscr{S} \) con\( B \subseteq A \) tal que la declaración se mantenga\( B \) y\( \mu(A \setminus B) = 0 \).

    \( f, \, g: S \to \R \)Las funciones medibles son equivalentes si\( f = g \) casi en todas partes\( S \), en cuyo caso escribimos\( f \equiv g \). La relación\( \equiv \) es una relación de equivalencia sobre la colección de funciones medibles desde\( S \) hasta\( \R \). Es decir, si\( f, \, g, \, h: S \to \R \) son medibles entonces

    1. \( f \equiv f \), la propiedad reflexiva.
    2. Si\( f \equiv g \) entonces\( g \equiv f \), la propiedad simétrica.
    3. Si\( f \equiv g \) y\( g \equiv h \) entonces\( f \equiv h \), la propiedad transitiva.

    Así, las funciones equivalentes son indistinguibles desde el punto de vista de la medida\( \mu \). Al igual que con cualquier relación de equivalencia,\( \equiv \) divide el conjunto subyacente (en este caso la colección de funciones medibles de valor real en\( S \)) en clases de equivalencia de elementos mutuamente equivalentes. Como veremos, muchas veces vemos estas clases de equivalencia como los objetos básicos de estudio. Nuestra siguiente tarea es definir medidas del tamaño de una función; éstas se convertirán en normas en nuestros espacios.

    Supongamos que eso\( f: S \to \R \) es medible. Para\( p \in (0, \infty) \)\[ \|f\|_p = \left(\int_S \left|f\right|^p \, d\mu\right)^{1/p} \] definimos También definimos\( \|f\|_\infty = \inf\left\{b \in [0, \infty]: |f| \le b \text{ almost everywhere on } S \right\}\).

    Dado que\( \left|f\right|^p \) es una función no negativa, medible para\( p \in (0, \infty) \),\( \int_S \left|f\right|^p \, d\mu \) existe en\( [0, \infty] \), y por lo tanto también lo hace\( \|f\|_p \). Claramente\( \|f\|_\infty \) también existe en\( [0, \infty] \) y se conoce como el supremo esencial de\( f \). Un número\( b \in [0, \infty] \) tal que\( |f| \le b \) casi en todas partes\( S \) es un vínculo esencial de\( f \) y así, adecuadamente, el supremo esencial de\( f \) es el infimum de los límites esenciales de\( f \). Así, hemos definido\( \|f\|_p \) para todos\( p \in (0, \infty] \). La definición para\( p = \infty \) es especial, pero veremos que es la adecuada.

    Para\( p \in (0, \infty] \), vamos a\( L^p \) denotar la colección de funciones medibles\( f: S \to \R \) tales\( \|f\|_p \lt \infty \)

    Entonces para\( p \in (0, \infty) \),\( f \in L^p \) si y solo si\( |f|^p \) es integrable. El símbolo\( L \) es en honor a Henri Lebesgue, quien primero desarrolló la teoría. Si queremos indicar la dependencia del espacio de medida subyacente, escribimos\( L^p(S, \mathscr{S}, \mu) \). Por supuesto,\( L^1 \) es simplemente el conjunto de funciones que son integrables con respecto a\( \mu \). Nuestro objetivo es estudiar los espacios\( L^p \) para\( p \in (0, \infty] \). Comenzamos con algunas propiedades simples.

    Supongamos que eso\( f: S \to \R \) es medible. Entonces para\( p \in (0, \infty] \),

    1. \( \|f\|_p \ge 0 \)
    2. \( \|f\|_p = 0 \)si y sólo si\( f = 0 \) casi en todas partes\( S \), así que eso\( f \equiv 0 \).
    Prueba
    1. Esto es obvio a partir de las definiciones.
    2. Para\( p \in (0, \infty) \), esto se desprende de propiedades de la integral que ya tenemos. Primero por supuesto,\(\int_S 0^p \, d\mu = \int_S 0 \, d\mu = 0\) entonces\( \|0\|_p = 0 \). Por el contrario si\( \|f\|_p = 0 \) entonces\( \int_S \left|f\right|^p \, d\mu = 0 \) y por lo tanto\( \left|f\right|^p = 0 \) casi en todas partes\( S \) y así\( f = 0 \) casi en todas partes en\( S \) Supongamos\( p = \infty \). Claramente\( \|0\|_\infty = 0 \). Por el contrario supongamos que\( \|f\|_\infty = 0 \). Entonces para cada uno\( n \in \N_+ \) existe\( b_n \in [0, \infty) \) con\( n_n \to 0 \) como\( n \to \infty \) y\( |f| \le b_n \) casi en todas partes en\( S \). De ahí\( f = 0 \) que casi en todas partes en\( S \).

    Supongamos que\( f: S \to \R \) es medible y\( c \in \R \). Entonces\( \|c f\|_p = |c| \|f\|_p \) para\( p \in (0, \infty] \).

    Prueba

    Nuevamente, cuando\( p \in (0, \infty) \), este resultado se desprende fácilmente de propiedades de la integral que ya tenemos:\[ \int_S \left|c f\right|^p \, d\mu = \left|c\right|^p \int_S \left|f\right|^p \, d\mu \] Tomando la raíz\( p \) th de ambos lados da el resultado. Porque\( p = \infty \), el resultado es trivialmente cierto si\( c = 0 \). Pues\( c \ne 0 \), tenga en cuenta que\( b \in [0, \infty] \) es un vínculo esencial de\( |f| \) si y sólo si\( |c| b \) es un obligado esencial si\( |c f | \).

    En particular, si\( f \in L^p \) y\( c \in \R \) entonces\( c f \in L^p \).

    Índices conjugados y desigualdad de Hölder

    Ciertos pares de nuestros espacios funcionales resultan ser duales o complementarios entre sí en cierto sentido. Para entender esto, necesitamos la siguiente definición.

    \( p, \, q \in (1, \infty) \)Se dice que los índices son conjugados si\( 1/p + 1/q = 1 \). Además,\( 1 \) y\( \infty \) son índices conjugados.

    Para justificación del último caso, tenga en cuenta que si\( p \in (1, \infty) \), entonces el índice se conjuga a\( p \) es\[ q = \frac{1}{1 - 1/p} \] y\( q \uparrow \infty \) como\( p \downarrow 1 \). Tenga en cuenta que\( p = q = 2 \) son índices conjugados, y este es el único caso en el que los índices son los mismos. En última instancia, la importancia de los índices conjugados deriva de la siguiente desigualdad:

    Si\( x, \, y \in (0, \infty) \) y si\( p, \, q \in (1, \infty) \) son índices conjugados, entonces\[ x y \le \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} y^q \] Por otra parte, la igualdad ocurre si y sólo si\( x^p = y^q \).

    Prueba 1

    De las propiedades de la función logaritmo natural,\[ \ln(x y) = \ln(x) + \ln(y) = \frac{1}{p}\ln\left(x^p\right) + \frac{1}{q} \ln\left(y^q\right) \] Pero la función logaritmo natural es cóncava y\( 1/p + 1/q = 1 \) así\[ \ln(x y) = \frac{1}{p}\ln\left(x^p\right) + \frac{1}{q}\ln\left(y^q\right) \le \ln\left(\frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} y^q\right) \] Tomando exponenciales tenemos\[ x y \le \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} y^q \]

    Prueba 2

    Fijar\( y \in (0, \infty) \) y definir\( f: (0, \infty) \to \R\) por\[ f(x) = \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} y^q - x y, \quad x \in (0, \infty) \] Entonces\( f^\prime(x) = x^{p-1} - y\) y\( f^{\prime\prime}(x) = (p - 1) x^{p-2} \) para\( x \in (0, \infty) \). De ahí\( f \) que tenga un único punto crítico en\( x = y^{1/(p-1)} = y^{q/p} \) y\( f^{\prime\prime}(x) \gt 0 \) para\( x \in (0, \infty) \). De ello se deduce que el valor mínimo de\( f \) on\( (0, \infty) \) ocurre en\( y^{q/p} \) y\(f\left(y^{q/p}\right) = 0\). De ahí\( f(x) \ge 0 \) para\( x \in (0, \infty) \) con igualdad sólo en\( x = y^{q/p} \) (es decir,\( x^p = y^q \)).

    nuestro siguiente resultado importante es la desigualdad de Hölder, llamada así por Otto Hölder, que indica claramente la importancia de los índices conjugados.

    Supongamos que\( f, \, g: S \to \R \) son medibles\( p \) y que y\( q \) son índices conjugados. Entonces\[ \|f g\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q \]

    Prueba

    El resultado es obvio si\( \|f\|_p = \infty \) o\( \|g\|_q = \infty \), así supongamos que\( f \in L^p \) y\( g \in L^q \). Para nuestro primer caso, supongamos que\( p = 1 \) y\( q = \infty \). Tenga en cuenta que\( \left|g\right| \le \|g\|_\infty \) casi en todas partes en\( S \). De ahí\[ \int_S \left|fg\right| \, d\mu = \int_S \left|f\right| \left|g\right| \, d\mu \le \|g\|_\infty \int_S \left|f\right| \, d\mu = \|f\|_1 \|g\|_\infty \] para el segundo caso, supongamos\( p, \, q \in (1, \infty) \). Por parte (b) de la propiedad positiva, el resultado se mantiene si\( \|f\|_p = 0 \) o\( \|g\|_q = 0 \), así supongamos que\( \|f\|_p \gt 0 \) y\( \|g\|_q \gt 0 \). Por la aditividad de la integral sobre dominios disjuntos, podemos restringir las integrales al conjunto\( \{x \in S: f(x) \ne 0, g(x) \ne 0\} \), o simplemente asumir eso\( f \ne 0 \) y así\( g \ne 0 \) sucesivamente\( S \). A partir de la desigualdad básica,\[ \left|f g\right| \le \frac{1}{p} \left|f\right|^p + \frac{1}{q} \left|g\right|^q \] Supongamos primero eso\( \|f\|_p = \|g\|_q = 1 \). A partir de las propiedades crecientes y de linealidad de la integral,\[ \int_S \left|f g\right| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int_S \left|f\right|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int_S \left|g\right|^q \, d\mu = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \] Para el caso general donde\( \|f\|_p \gt 0 \) y\( \|g\|_q \gt 0 \), let\( f_1 = f \big/ \|f\|_p \) y\( g_1 = g \big/ \|g\|_q \). Entonces\( \left\|f_1\right\|_p = \left\|g_1\right\|_q = 1 \) así\( \left\|f_1 g_1 \right\|_1 \le 1 \). Entonces, por la propiedad de escalado,\[ \left\|f_1 g_1\right\|_1 = \frac{\|f g\|_1}{\|f\|_p \|g\|_q} \le 1 \]

    En particular, si\( f \in L^p \) y\( g \in L^q \) entonces\( f g \in L^1 \). El caso especial más importante de la desigualdad de Hölder es cuando\( p = q = 2 \), en cuyo caso tenemos la desigualdad Cauchy-Schwartz, llamada así por Augustin Louis Cauchy y Karl Hermann Schwarz:\[ \|f g\|_1 \le \|f\|_2 \|g\|_2 \]

    Desigualdad de Minkowski

    Nuestro siguiente resultado importante es la desigualdad de Minkowski, llamada así por Hermann Minkowski. Esta desigualdad ayudará a mostrar que\( L^p \) es un espacio vectorial y que\( \| \cdot \|_p \) es una norma (hasta equivalencia) cuando\( p \ge 1 \).

    Supongamos que\( f, \, g: S \to \R \) son medibles y eso\( p \in [1, \infty] \). Entonces\[ \|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p \]

    Prueba

    Nuevamente, el resultado es trivial si\( \|f\|_p = \infty \) o\( \|g\|_p = \infty \), así supongamos que\( f, \, g \in L^p \). Cuando\( p = 1 \), el resultado es la desigualdad de triángulo simple para la integral:\[ \|f + g\|_1 = \int_S \left|f + g\right| \, d\mu \le \int_S \left(\left|f\right| + \left|g\right|\right) \, d\mu = \int_S \left|f\right| \, d\mu + \int_S \left|g\right| \, d\mu = \|f\|_1 + \|g\|_1 \] Para el caso\( p = \infty \), tenga en cuenta que si\( a \in [0, \infty] \) es un límite esencial para\( f \) y\( b \in [0, \infty] \) es un límite esencial para\( g \) entonces\( a + b \) es un límite esencial para\( f + g \). De ahí\( \|f + g\|_\infty \le \|f\|_\infty + \|g\|_\infty \). Para el último caso, supongamos que\( p \in (1, \infty) \) y dejar que\( q \) sea el índice conjugado a\( p \). Entonces\[ \left|f + g\right|^p = \left|f + g\right|^{p-1} \left|f + g\right| \le \left|f + g\right|^{p-1}\left(\left|f\right| + \left|g\right|\right) = \left|f + g\right|^{p-1}\left|f\right| + \left|f+g\right|^{p-1} \left|g\right| \] Integrar sobre\( S \) y usar el aditivo y aumentar las propiedades de la integral da\[ \|f + g\|_p^p \le \int_S \left|f + g\right|^{p-1} \left|f\right| \, d\mu + \int_S \left|f + g\right|^{p-1} \left|g\right| \, d\mu\] Pero por la desigualdad de Höder,\[ \int_S \left|f + g\right|^{p-1} \left|f\right| \, d\mu \le \|\left|f+g\right|^{p-1}\|_q \|f\|_p, \; \int_S \left|f + g\right|^{p-1} \left|g\right| \, d\mu \le \|\left|f+g\right|^{p-1}\|_q \|g\|_p\] Combinando esto con la desigualdad anterior tenemos\[ \|f+g\|_p^p \le \|\left|f + g\right|^{p-1}\|_q \left(\|f\|_p + \|g\|_p\right) \] Pero\( (p - 1) q = p \) y\( 1/q = (p - 1) / p \) así\[ \|\left|f+g\right|^{p-1}\|_q = \left(\int_S \left|f + g\right|^{(p-1)q} \, d\mu \right)^{1/q} = \left(\int_S \left|f + g\right|^p \, d\mu\right)^{(p - 1)/p} = \|f + g\|_p^{p-1}\] De ahí tienen\[ \|f+g\|_p^p \le \|f + g\|_p^{p-1} \left(\|f\|_p + \|g\|_p\right) \] y por lo tanto\( \|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p \).

    Espacios Vectoriales

    Ahora podemos discutir varios espacios vectoriales de funciones. Primero, sabemos por nuestro trabajo anterior con espacios de medida, que el conjunto\( \mathscr{V} \) de todas las funciones medibles\( f: S \to \R \) es un espacio vectorial bajo nuestras definiciones estándar (puntuales) de suma y múltiplo escalar. Los espacios que estamos estudiando en esta sección son subespacios:

    \( L^p \)es un subespacio de\( \mathscr{V} \) para cada\( p \in [1, \infty] \).

    Prueba

    Solo tenemos que demostrar que\( L^p \) se cierra bajo suma y multiplicación escalar. De la propiedad positiva, si\( f \in L^p \) y\( c \in \R \) entonces\( c f \in L^p \). De la desigualdad de Minkowski, si\( f, \, g \in L^p \) entonces\( f + g \in L^p \).

    Sin embargo, generalmente queremos identificar funciones que son iguales en casi todas partes en\( S \) (con respecto a\( \mu \)). Recordando la relación de equivalencia\( \equiv \) definida anteriormente, aquí están las definiciones:

    Dejar\( [f] \) denotar la clase de equivalencia de\( f \in \mathscr{V} \) bajo la relación de equivalencia\( \equiv \), y dejar\( \mathscr{U} = \left\{[f]: f \in \mathscr{V}\right\} \). Si\( f, \, g \in \mathscr{V} \) y\( c \in \R \) definimos

    1. \( [f] + [g] = [f + g]\)
    2. \(c [f] = [c f] \)

    Entonces\( \mathscr{U} \) es un espacio vectorial.

    Prueba

    sabemos por nuestro trabajo anterior que estas definiciones son consistentes en el sentido de que no dependen de los representantes particulares de las clases de equivalencia. Eso es si\( f_1 \equiv f \) y\( g_1 \equiv g \) entonces\( f_1 + g_1 \equiv f + g \) y\( c f_1 \equiv c f \). Ese\( \mathscr{U} \) es un espacio vectorial luego se deduce del hecho de que\( \mathscr{V} \) es un espacio vectorial.

    Ahora podemos definir los espacios vectoriales de Lebesgue con precisión.

    Para\( p \in [1, \infty] \), vamos\( \mathscr{L}^p = \left\{[f]: f \in L^p\right\} \). Para\( f \in \mathscr{V} \) definir\( \left\|[f]\right\|_p = \|f\|_p \). Entonces\( \mathscr{L}^p \) es un subespacio de\( \mathscr{U} \) y\( \| \cdot \|_p \) es una norma sobre\( \mathscr{L}^p \). Es decir, para\( f, g \in L^p \) y\( c \in \R \)

    1. \( \|f\|_p \ge 0 \)y\( \|f\|_p = 0 \) si y sólo si\( f \equiv 0 \), la propiedad positiva
    2. \( \| c f \|_p = \left|c\right| \|f\|_p \), la propiedad de escalado
    3. \( \|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p \), el triángulo de la desigualdad
    Prueba

    Ese\( \mathscr{L}^p \) es un subespacio de\( \mathscr{U} \) sigue inmediatamente del hecho de que\( L^p \) es un subespacio de\( \mathscr{V} \). El hecho de que\( \| \cdot \| \) sea una norma sobre\( \mathscr{L}^p \) también se desprende de nuestro trabajo anterior.

    Precisamente hemos expresado estos resultados, pero por otro lado, no queremos ser demasiado pedantes. Es más natural e intuitivo trabajar simplemente con el espacio\( \mathscr{V} \) y los subespacios\( L^p \) para\( p \in [1, \infty] \), y solo recuerda que las funciones que son iguales en casi todas partes\( S \) son consideradas como el mismo vector. Este será nuestro punto de vista para el resto de esta sección.

    Cada norma en un espacio vectorial conduce naturalmente a una métrica. Es decir, medimos la distancia entre vectores como la norma de su diferencia. Declarado en términos de la norma\( \| \cdot \|_p \), aquí están las propiedades de la métrica on\( L^p \).

    Para\( f, \, g, \, h \in L^p \),

    1. \( \|f - g\|_p \ge 0 \)y\( \|f - g\|_p = 0 \) si y sólo si\( f \equiv g \), la propiedad positiva
    2. \( \|f - g\|_p = \|g - f\|_p \), la propiedad simétrica
    3. \( \|f - h\|_p \le \|f - g\|_p + \|g - h\|_p \), la desigualdad del triángulo

    Una vez que tenemos una métrica, naturalmente tenemos un criterio de convergencia.

    Supongamos que\( f_n \in L^p \) para\( n \in \N_+ \) y\( f \in L^p \). Entonces por definición,\( f_n \to f \) como\( n \to \infty \) en\( L^p \) si y sólo si\( \|f_n - f\|_p \to 0 \) como\( n \to \infty \).

    Los límites son únicos, hasta la equivalencia. (Es decir, los límites son únicos en\( \mathscr{L}^p \).)

    Supongamos otra vez eso\( f_n \in L^p \) para\( n \in \N_+ \). Recordemos que esta secuencia se dice que es una secuencia de Cauchy si por cada\( \epsilon \gt 0 \) existe\( N \in \N_+ \) tal que si\( n \gt N \) y\( m \gt N \) entonces\( \|f_n - f_m\|_p \lt \epsilon \). No hace falta decir que el criterio de Cauchy lleva el nombre de nuestro omnipresente amigo Augustin Cauchy. Se dice que un espacio métrico en el que cada secuencia de Cauchy converge (a un elemento del espacio) está completo. Intuitivamente, se espera que una secuencia de Cauchy converja, por lo que un espacio completo es literalmente uno al que no le faltan elementos que deberían estar ahí. Un espacio vectorial completo y normado se llama espacio Banach, en honor del matemático polaco Stefan Banach. Los espacios Banach son de fundamental importancia en el análisis, en gran parte por el siguiente resultado:

    \( L^p \)es un espacio Banach para todos\( p \in [1, \infty] \).

    El Espacio\( L^2 \)

    La norma\( \| \cdot \|_2 \) es especial porque corresponde a un producto interno.

    Para\( f, \, g \in L^2 \), definir\[ \langle f, g \rangle = \int_S f g \, d\mu \]

    Nótese que la integral está bien definida por la desigualdad Cauchy-Schwarz. Al igual que con todas nuestras otras definiciones, esta es consistente con la relación de equivalencia. Es decir, si\( f \equiv f_1 \) y\( g \equiv g_1 \) entonces\( f g \equiv f_1 g_1 \) así\( \int_S f g \, d\mu = \int_S f_1 g_1 \, d\mu \) y por lo tanto\( \langle f, g \rangle = \langle f_1, g_1 \rangle \). Obsérvese también que\( \langle f, f \rangle = \|f\|_2^2 \) para\( f \in L^2 \), por lo que esta definición genera la 2-norma.

    \( L^2 \)es un espacio interno de producto. Es decir, si\( f, \, g, \, h \in L^2 \) y\( c \in \R \) entonces

    1. \( \langle f, f \rangle \ge 0 \)y\( \langle f, f \rangle = 0 \) si y sólo si\( f \equiv 0 \), la propiedad positiva
    2. \( \langle f, g \rangle = \langle g, f \rangle \), la propiedad simétrica
    3. \( \langle c f, g \rangle = c \langle f, g \rangle \), la propiedad de escalado
    4. \( \langle f + g, h \rangle = \langle f, g \rangle + \langle f, h \rangle \), la propiedad aditiva
    Prueba

    La parte (a) es una reafirmación de la propiedad positiva de la norma\( \| \cdot \|_2 \). La parte (b) es obvia y las partes (c) y (d) siguen de la linealidad de la integral.

    A partir de las partes (c) y (d), el producto interno es lineal en el primer argumento, con el segundo argumento fijo. Por la propiedad simétrica (b), se deduce que el producto interno también es lineal en el segundo argumento con el primer argumento fijo. Es decir, el producto interno es bi-lineal. Un completo. espacio interno de producto es conocido como un espacio Hilbert, llamado así por el matemático alemán David Hilbert. Así, el siguiente resultado sigue inmediatamente de los dos anteriores.

    \( L^2 \)es un espacio Hilbert.

    Todos los espacios internos del producto conducen naturalmente al concepto de ortogonalidad; no\( L^2 \) es la excepción.

    Las funciones\( f, \, g \in L^2 \) son ortogonales si\( \langle f, g \rangle = 0 \), en cuyo caso escribimos\( f \perp g \). Equivalentemente\( f \perp g \) si\[ \int_S f g \, d\mu = 0 \]

    Por supuesto, todos los teoremas básicos de los espacios generales de productos internos se mantienen\( L^2 \). Por ejemplo, el siguiente resultado es el teorema de Pitágoras, llamado por supuesto por Phythagoras.

    Si\( f, \, g \in L^2 \) y\( f \perp g \) entonces\( \|f + g\|_2^2 = \|f\|_2^2 + \|g\|_2^2 \).

    Prueba

    La prueba solo usa propiedades básicas del producto interno en (17). No se\( L^2 \) utilizan propiedades especiales de. Si\( f, \, g \in L^2 \) y\( f \perp g \) entonces\[ \|f + g\|^2 = \langle f + g, f + g \rangle = \langle f, f \rangle + 2 \langle f, g \rangle + \langle g, g \rangle = \| f \|^2 + \| g \|^2 \]

    Ejemplos y Casos Especiales

    Espacios Discretos

    Recordemos nuevamente que el espacio de medida\( (S, \mathscr S, \#) \) es discreto si\( S \) es contable,\( \mathscr S = \mathscr P(S)\) es el\( \sigma \) -álgebra de todos los subconjuntos de\( S \), y por supuesto,\( \# \) es la medida de conteo. En este caso, recordemos que las integrales son sumas. La exposición nos resultará más familiar si usamos la notación de secuencias en lugar de funciones. Por lo tanto, dejar\( x: S \to \R \), y denotar el valor de\( x \) at\( i \in S \) por en\( x_i \) lugar de\( x(i) \). Para\( p \in [1, \infty) \), la\( p \) -norma es\[ \|x\|_p = \left(\sum_{i \in S} \left|x\right|_i^p\right)^{1/p} \] Por otro lado,\( \|x\|_\infty = \sup\{x_i: i \in S\} \). El único conjunto nulo para\( \# \) es\( \emptyset \), por lo que la relación de equivalencia\( \equiv \) es simplemente igualdad, y así los espacios\( L^p \) y\( \mathscr{L}^p \) son los mismos. Porque\( p \in [1, \infty) \),\( x \in L^p \) si y sólo si\[ \sum_{i \in S} \left|x\right|_i^p \lt \infty \] Cuando\( p \in \N_+ \) (como suele ser el caso), esta condición significa que\( \sum_{i \in S} x_i^p \) es absolutamente convergente. Por otro lado,\( x \in L^\infty \) si y sólo si\( x \) está acotado. Cuando\( S = \N_+ \), a menudo\( L^p \) se denota el espacio\( l^p \). El producto interno\( L^2 \) es\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i \in S} x_i y_i, \quad x, \, y \in L^2 \] Cuando\( S = \{1, 2, \ldots, n\} \),\( L^2 \) es simplemente el espacio vectorial\( \R^n \) con la suma habitual, la multiplicación escalar, el producto interno y la norma que estudiamos en álgebra lineal elemental. Los vectores ortogonales son perpendiculares en el sentido habitual.

    Espacios de probabilidad

    Supongamos que\( (S, \mathscr S, \P) \) es un espacio de probabilidad, de modo que ese\( S \) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio,\( \mathscr{S} \) es el\( \sigma \) -álgebra de eventos, y\( \P \) es una medida de probabilidad en el espacio muestral\( (S, \mathscr{S}) \). Por supuesto, una función medible\( X: S \to \R \) es simplemente una variable aleatoria de valor real. Para\( p \in [1, \infty) \), la integral\( \int_S \left|x\right|^p \, d\P \) es el valor esperado de\( \left|X\right|^p \), y se denota\(\E\left(\left|X\right|^p\right) \). Así, en este caso,\( L^p \) es la colección de variables aleatorias de valor real\( X \) con\( \E\left(\left|X\right|^p\right) \lt \infty \). Estudiaremos estos espacios con más detalle en el capítulo sobre el valor esperado.


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