2.1: Distribución por muestreo de la media muestral

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 149447

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Las pruebas inferenciales utilizan la media muestral ($\bar{x}$) para estimar la media poblacional ($μ$). Normalmente, utilizamos los datos de una sola muestra, pero hay muchas muestras posibles del mismo tamaño que podrían extraerse de esa población. Como vimos en el capítulo anterior, la media muestral ($\bar{x}$) es una variable aleatoria con distribución propia.

La distribución de la media muestral tendrá una media igual a µ.
Tendrá una desviación estándar (error estándar) igual a$\frac{\sigma}{\sqrt {n}}$

Debido a que nuestras inferencias sobre la media poblacional se basan en la media de la muestra, nos enfocamos en la distribución de la media muestral. ¿Es normal? ¿Y si nuestra población normalmente no está distribuida o no sabemos nada sobre la distribución de nuestra población?

El Teorema del Límite Central (CLT)

El Teorema del Límite Central establece que la distribución muestral de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal a medida que aumente el tamaño de la muestra

Entonces, si no tenemos una distribución normal, o no sabemos nada de nuestra distribución, el CLT nos dice que la distribución de las medias muestrales (x̄) se volverá normal distribuida a medida que n (tamaño de la muestra) aumente. ¿Qué tan grande tiene que ser n? Una regla general nos dice que n ≥ 30.

El Teorema del Límite Central nos dice que independientemente de la forma de nuestra población, la distribución muestral de la media muestral será normal a medida que aumente el tamaño de la muestra.

Distribución de muestreo de la proporción muestral

La proporción poblacional ($p$) es un parámetro que se estima tan comúnmente como la media. Es tan importante entender la distribución de la proporción muestral, como la media. Con proporciones, el elemento o bien tiene la característica que te interesa o el elemento no tiene la característica. La proporción muestral ($\hat {p}$) se calcula mediante

\[ \hat {p} = \frac{x}{n} \label{sampleproption}\]

donde$x$ es el número de elementos en su población con la característica y n es el tamaño de la muestra.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: sample proportion

Estás estudiando el número de árboles de cavidad en el Bosque Nacional Monongahela para hábitat de vida silvestre. Tiene un tamaño de muestra de n = 950 árboles y, de esos árboles, x = 238 árboles con cavidades. Calcular la proporción muestral.

Un árbol de forma natural hueco en la base del árbol. (CC BY 2.0; Lauren “Lolly” Weinhold).

Solución

Esta es una simple aplicación de la ecuación\ ref {sampleproption}:

\[\hat {p} = \frac {238}{950} =0.25 \nonumber\]

La distribución de la proporción muestral tiene una media de $$\ mu_ {\ hat {p}} = p\]

y tiene una desviación estándar de $$\ sigma_ {\ hat {p}} =\ sqrt {\ frac {p (1-p)} {n}}.\]

La proporción muestral se distribuye normalmente si$n$ es muy grande y no$\hat{p}$ es cercana a 0 o 1. También podemos utilizar la siguiente relación para evaluar la normalidad cuando el parámetro que se estima es p, la proporción poblacional:

\[n\hat {p} (1- \hat {p}) \ge 10\]