1.1: Definiciones de Estadística, Probabilidad y Términos Clave
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La ciencia de la estadística se ocupa de la recolección, análisis, interpretación y presentación de datos. Vemos y usamos datos en nuestra vida cotidiana.
En este curso, aprenderás a organizar y resumir datos. Organizar y resumir datos se llama estadística descriptiva. Dos formas de resumir los datos son graficando y usando números (por ejemplo, encontrando un promedio). Después de haber estudiado las distribuciones de probabilidad y probabilidad, utilizará métodos formales para sacar conclusiones a partir de datos “buenos”. Los métodos formales se denominan estadísticas inferenciales. La inferencia estadística utiliza la probabilidad para determinar qué tan seguros podemos tener de que nuestras conclusiones son correctas.
La interpretación efectiva de los datos (inferencia) se basa en buenos procedimientos para producir datos y un examen reflexivo de los datos. Te encontrarás con lo que parecerán ser demasiadas fórmulas matemáticas para interpretar datos. El objetivo de la estadística no es realizar numerosos cálculos utilizando las fórmulas, sino comprender sus datos. Los cálculos se pueden hacer usando una calculadora o una computadora. El entendimiento debe venir de ti. Si puedes comprender a fondo los conceptos básicos de las estadísticas, puedes tener más confianza en las decisiones que tomas en la vida.
Probabilidad
La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar la aleatoriedad. Se trata de la posibilidad (la probabilidad) de que ocurra un evento. Por ejemplo, si arrojas una moneda justa cuatro veces, los resultados pueden no ser dos cabezas y dos colas. No obstante, si lanzas la misma moneda 4 mil veces, los resultados serán cercanos a medias cabezas y medias colas. La probabilidad teórica esperada de cabezas en cualquier lanzamiento es\(\frac{1}{2}\) o 0.5. Aunque los resultados de algunas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Después de leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson quien arrojó una moneda 24 mil veces con un resultado de 12 mil 012 cabezas, uno de los autores arrojó una moneda 2 mil veces. Los resultados fueron 996 cabezas. La fracción\(\frac{996}{2000}\) es igual a 0.498 que está muy cerca de 0.5, la probabilidad esperada.
La teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar como el póquer. Las predicciones toman la forma de probabilidades. Para predecir la probabilidad de un terremoto, de lluvia, o si obtendrá una A en este curso, utilizamos probabilidades. Los médicos utilizan la probabilidad para determinar la posibilidad de que una vacuna cause la enfermedad que se supone que debe prevenir la vacunación. Un corredor de bolsa utiliza la probabilidad para determinar la tasa de rendimiento de las inversiones de un cliente. Podrías usar probabilidad para decidir comprar un boleto de lotería o no. En tu estudio de estadística, utilizarás el poder de las matemáticas a través de cálculos de probabilidad para analizar e interpretar tus datos.
Términos Clave
En estadística, generalmente queremos estudiar una población. Se puede pensar en una población como una colección de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población, seleccionamos una muestra. La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población más grande y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado del muestreo de una población.
Debido a que se necesita mucho tiempo y dinero para examinar a toda una población, el muestreo es una técnica muy práctica. Si deseas calcular el promedio general de calificaciones en tu escuela, tendría sentido seleccionar una muestra de alumnos que asisten a la escuela. Los datos recopilados de la muestra serían los promedios de calificaciones de los estudiantes. En las elecciones presidenciales se toman muestras de encuestas de opinión de mil a 2,000 personas. Se supone que el sondeo de opinión representa las opiniones de la gente de todo el país. Los fabricantes de bebidas carbonatadas enlatadas toman muestras para determinar si una lata de 16 onzas contiene 16 onzas de bebida carbonatada.
A partir de los datos de la muestra, podemos calcular una estadística. Un estadístico es un número que representa una propiedad de la muestra. Por ejemplo, si consideramos que una clase de matemáticas es una muestra de la población de todas las clases de matemáticas, entonces el número promedio de puntos obtenidos por los estudiantes en esa clase de matemáticas al final del trimestre es un ejemplo de una estadística. El estadístico es una estimación de un parámetro poblacional, en este caso la media. Un parámetro es una característica numérica de toda la población que puede estimarse mediante una estadística. Dado que consideramos que todas las clases de matemáticas son la población, entonces el número promedio de puntos obtenidos por alumno sobre todas las clases de matemáticas es un ejemplo de un parámetro.
Una de las principales preocupaciones en el campo de la estadística es la precisión con la que una estadística estima un parámetro. La precisión realmente depende de qué tan bien represente la muestra a la población. La muestra debe contener las características de la población para que sea una muestra representativa. Nos interesa tanto el estadístico muestral como el parámetro poblacional en estadística inferencial. En un capítulo posterior, utilizaremos el estadístico muestral para probar la validez del parámetro poblacional establecido.
Una variable, o variable aleatoria, usualmente anotada con mayúsculas como\(X\) y\(Y\), es una característica o medida que se puede determinar para cada miembro de una población. Las variables pueden ser numéricas o categóricas. Las variables numéricas toman valores con unidades iguales como el peso en libras y el tiempo en horas. Las variables categóricas colocan a la persona o cosa en una categoría. Si dejamos\(X\) igualar el número de puntos obtenidos por un estudiante de matemáticas al final de un trimestre, entonces\(X\) es una variable numérica. Si dejamos\(Y\) ser la afiliación partidista de una persona, entonces algunos ejemplos de\(Y\) incluyen republicano, demócrata e independiente. \(Y\)es una variable categórica. Podríamos hacer algunas matemáticas con valores de\(X\) (calcular el número promedio de puntos obtenidos, por ejemplo), pero no tiene sentido hacer matemáticas con valores de\(Y\) (calcular una afiliación partidista promedio no tiene sentido).
Los datos son los valores reales de la variable. Pueden ser números o pueden ser palabras. Datum es un valor único.
Dos palabras que aparecen a menudo en las estadísticas son medias y proporciones. Si tomaras tres exámenes en tus clases de matemáticas y obtuvieras puntuaciones de 86, 75 y 92, calcularías tu puntaje medio sumando los tres puntajes de los exámenes y dividiéndolo por tres (tu puntaje promedio sería de 84.3 a un decimal). Si, en tu clase de matemáticas, hay 40 estudiantes y 22 son hombres y 18 son mujeres, entonces la proporción de estudiantes varones es\(\frac{22}{40}\) y la proporción de mujeres estudiantes lo es\(\frac{18}{40}\). La media y la proporción se discuten con más detalle en capítulos posteriores.
NOTA
Las palabras "media" y "promedio" a menudo se usan indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es práctica común. El término técnico es “media aritmética”, y “promedio” es técnicamente una ubicación central. Sin embargo, en la práctica entre los no estadísticos, el “promedio” es comúnmente aceptado para la “media aritmética”.
Ejemplo 1.1
Determinar a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio (media) de dinero que los estudiantes universitarios de primer año gastan en ABC College en útiles escolares que no incluyen libros. Encuestamos aleatoriamente a 100 estudiantes de primer año en la universidad. Tres de esos estudiantes gastaron $150, $200 y 225 dólares, respectivamente.
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Solución 1.1
La población es todos los estudiantes de primer año que asisten a ABC College este trimestre.
La muestra podría ser todos los estudiantes matriculados en una sección de un curso inicial de estadística en ABC College (aunque esta muestra puede no representar a toda la población).
El parámetro es la cantidad promedio (media) de dinero gastado (excluyendo libros) por los estudiantes universitarios de primer año en ABC College este término: la media de la población.
La estadística es la cantidad promedio (media) de dinero gastado (excluyendo libros) por estudiantes universitarios de primer año en la muestra.
La variable podría ser la cantidad de dinero gastado (excluyendo libros) por un estudiante de primer año. Let\(X\) = la cantidad de dinero gastado (excluyendo libros) por un estudiante de primer año que asiste a ABC College.
Los datos son los montos en dólares gastados por los estudiantes de primer año. Ejemplos de los datos son $150, $200 y $225.
Ejercicio 1.1
Determinar a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio (media) de dinero que gastan en uniformes escolares cada año las familias con niños en Knoll Academy. Encuestamos aleatoriamente a 100 familias con niños en la escuela. Tres de las familias gastaron 65, 75 y 95 dólares, respectivamente.
Ejemplo 1.2
Determinar a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio.
Se realizó un estudio en una universidad local para analizar los GPA acumulados promedio de los estudiantes egresados el año pasado. Rellene la letra de la frase que mejor describa cada uno de los ítems a continuación.
1. Población ____ 2. Estadística ____ 3. Parámetro ____ 4. Muestra ____ 5. Variable ____ 6. Datos ____
- todos los estudiantes que asistieron a la universidad el año pasado
- el promedio acumulado de un estudiante que se graduó de la universidad el año pasado
- 3.65, 2.80, 1.50, 3.90
- un grupo de alumnos egresados de la universidad el año pasado, seleccionados al azar
- el promedio acumulado promedio de los estudiantes egresados de la universidad el año pasado
- todos los alumnos que egresaron de la universidad el año pasado
- el promedio acumulado promedio de los estudiantes del estudio que egresaron de la universidad el año pasado
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Solución 1.2
1. f; 2. g; 3. e; 4. d; 5. b; 6. c
Ejemplo 1.3
Determinar a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio.
Como parte de un estudio diseñado para probar la seguridad de los automóviles, la Junta Nacional de Seguridad en el Transporte recopiló y revisó datos sobre los efectos de un accidente automovilístico en maniquí de prueba. Aquí está el criterio que utilizaron:
| Velocidad a la que se estrellaron los autos | Ubicación de “drive” (es decir, dummies) |
| 35 millas/hora | Asiento Delantero |
Autos con maniquíes en los asientos delanteros se estrellaron contra una pared a una velocidad de 35 millas por hora. Queremos saber la proporción de maniquíes en el asiento del conductor que habrían tenido lesiones en la cabeza, si hubieran sido conductores reales. Comenzamos con una simple muestra aleatoria de 75 autos.
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Solución 1.3
La población es todos los autos que contienen maniquíes en el asiento delantero.
La muestra son los 75 autos, seleccionados por una simple muestra aleatoria.
El parámetro es la proporción de maniquí conductor (si hubieran sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la población.
El estadístico es la proporción de maniquí conductor (si hubieran sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la muestra.
La variable\(X\) = el número de maniquí conductor (si hubieran sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza.
Los datos son: sí, tuvo lesión en la cabeza, o no, no lo hizo.
Ejemplo 1.4
Determinar a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio.
A una compañía de seguros le gustaría determinar la proporción de todos los médicos que han estado involucrados en una o más demandas por mala praxis. La compañía selecciona al azar 500 médicos de un directorio profesional y determina el número en la muestra que han estado involucrados en una demanda por mala praxis.
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Solución 1.4
La población es todos los médicos que figuran en el directorio profesional.
El parámetro es la proporción de médicos que han estado involucrados en una o más demandas por mala praxis en la población.
La muestra son los 500 médicos seleccionados al azar del directorio profesional.
El estadístico es la proporción de médicos que han estado involucrados en una o más demandas por mala praxis en la muestra.
La variable\(X\) = el número de médicos que han estado involucrados en una o más demandas por mala praxis.
Los datos son: sí, estuvo involucrado en una o más demandas por mala praxis, o no, no lo fue.