2.5: Media Geométrica

La media (Aritmética), la mediana y el modo son todas medidas del “centro” de los datos, el “promedio”. Todos ellos están a su manera tratando de medir el punto “común” dentro de los datos, aquel que es “normal”. En el caso de la media aritmética esto se resuelve encontrando el valor a partir del cual todos los puntos son distancias lineales iguales. Podemos imaginar que todos los valores de datos se combinan a través de la adición y luego se distribuyen de nuevo a cada punto de datos en cantidades iguales. La suma de todos los valores es lo que se redistribuye en cantidades iguales de tal manera que la suma total sigue siendo la misma.

La media geométrica redistribuye no la suma de los valores sino el producto de multiplicar todos los valores individuales y luego redistribuirlos en porciones iguales de tal manera que el producto total permanezca igual. Esto se puede ver a partir de la fórmula para la media geométrica,\(\tilde{x}\): (Pronunciada\(x\) -tilde)

\[\tilde{x}=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\nonumber\]

donde\(\pi\) está otro operador matemático, que nos dice multiplicar todos los\(x_{i}\) números de la misma manera que la sigma griega mayúscula nos dice que sumemos todos los\(x_{i}\) números. Recuerde que un exponente fraccionario está llamando a la enésima raíz del número por lo tanto un exponente de 1/3 es la raíz cubo del número.

La media geométrica responde a la pregunta, “si todas las cantidades tuvieran el mismo valor, ¿cuál tendría que ser ese valor para lograr el mismo producto?” La media geométrica recibe su nombre por el hecho de que cuando se redistribuyen de esta manera los lados forman una forma geométrica para la que todos los lados tienen la misma longitud. Para ver esto, tomemos el ejemplo de los números 10, 51.2 y 8. La media geométrica es el producto de multiplicar estos tres números juntos (4,096) y tomar la raíz cubo porque hay tres números entre los que se va a distribuir este producto. Así, la media geométrica de estos tres números es 16. Esto describe un cubo 16x16x16 y tiene un volumen de 4,096 unidades.

La media geométrica es relevante en Economía y Finanzas para hacer frente al crecimiento: crecimiento de mercados, en inversión, población y otras variables el crecimiento en el que hay interés. Imagínese que nuestra caja de 4.096 unidades (quizás dólares) es el valor de una inversión después de tres años y que los rendimientos de inversión en porcentajes fueron los tres números en nuestro ejemplo. La media geométrica nos proporcionará la respuesta a la pregunta, cuál es la tasa promedio de retorno: 16 por ciento. La media aritmética de estos tres números es de 23.6 por ciento. La razón de esta diferencia, 16 versus 23.6, es que la media aritmética es aditiva y por lo tanto no da cuenta del interés sobre el interés, interés compuesto, incrustado en el proceso de crecimiento de la inversión. El mismo tema surge cuando se pide la tasa promedio de crecimiento de una población o ventas o penetración en el mercado, etc., conociendo las tasas anuales de crecimiento. La fórmula para la tasa de retorno media geométrica, o cualquier otra tasa de crecimiento, es:

\[r_{s}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\nonumber\]

La manipulación de la fórmula para la media geométrica también puede proporcionar un cálculo de la tasa promedio de crecimiento entre dos periodos conociendo solo el valor inicial a0a0 y el valor final anan y el número de periodos, nn. La siguiente fórmula proporciona esta información:

\[\left(\frac{a_{n}}{a_{0}}\right)^{\frac{1}{n}}=\tilde{x}\nonumber\]

Por último, observamos que la fórmula para la media geométrica requiere que todos los números sean positivos, mayores que cero. La razón, por supuesto, es que la raíz de un número negativo no está definida para su uso fuera de la teoría matemática. Sin embargo, hay formas de evitar este problema. En el caso de las tasas de retorno y otros problemas simples de crecimiento podemos convertir los valores negativos en valores equivalentes positivos significativos. Imagínese que los rendimientos anuales de los últimos tres años son +12%, -8% y +2%. Utilizando los equivalentes multiplicadores decimales de 1.12, 0.92 y 1.02, nos permite calcular una media geométrica de 1.0167. Al restar 1 de este valor se obtiene la media geométrica de +1.67% como tasa neta de crecimiento poblacional (o rendimiento financiero). A partir de este ejemplo podemos ver que la media geométrica nos proporciona esta fórmula para calcular la tasa geométrica (media) de retorno para una serie de tasas anuales de rendimiento:

\[r_{s}=\tilde{x}-1\nonumber\]

donde\(r_{s}\) es la tasa promedio de retorno y\(\tilde{x}\) es la media geométrica de los rendimientos durante algún número de periodos de tiempo. Tenga en cuenta que la duración de cada periodo de tiempo debe ser la misma.

Como regla general se deben convertir los valores porcentuales a su multiplicador equivalente decimal. Es importante reconocer que cuando se trata de porcentajes, la media geométrica de los valores porcentuales no es igual a la media geométrica de los equivalentes del multiplicador decimal y es la media geométrica equivalente del multiplicador decimal la que es relevante.