2.6: La asimetría y la media, mediana y modo
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Considera el siguiente conjunto de datos.
4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10
Este conjunto de datos puede ser representado por el siguiente histograma. Cada intervalo tiene ancho uno, y cada valor se ubica en medio de un intervalo.
El histograma muestra una distribución simétrica de datos. Una distribución es simétrica si se puede dibujar una línea vertical en algún punto del histograma de tal manera que la forma a la izquierda y la derecha de la línea vertical sean imágenes especulares entre sí. La media, la mediana y el modo son cada uno siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son las mismas. Este ejemplo tiene un modo (unimodal), y el modo es el mismo que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modos (bimodal), los dos modos serían diferentes de la media y la mediana.
El histograma para los datos: 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8 no es simétrico. El lado derecho parece “picado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se llama sesgada a la izquierda porque se saca hacia la izquierda. Podemos medir formalmente la asimetría de una distribución así como podemos medir matemáticamente el peso central de los datos o su “speadness” general. La fórmula matemática para la asimetría es:
\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{t}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}.\nonumber\]
Cuanto mayor sea la desviación de cero indica un mayor grado de asimetría. Si la asimetría es negativa entonces la distribución es sesgada a la izquierda como en la Figura\(\PageIndex{13}\).
La media es 6.3, la mediana es 6.5 y el modo es siete. Observe que la media es menor que la mediana, y ambas son menores que el modo. Tanto la media como la mediana reflejan el sesgo, pero la media lo refleja más.
El histograma para los datos: 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10, tampoco es simétrico. Está sesgada a la derecha.
La media es 7.7, la mediana es 7.5 y el modo es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la modalidad es la más pequeña. Nuevamente, la media refleja más el sesgo.
Para resumir, generalmente si la distribución de datos está sesgada hacia la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que el modo. Si la distribución de los datos está sesgada hacia la derecha, el modo suele ser menor que la mediana, que es menor que la media.
Al igual que con la media, mediana y modo, y como veremos en breve, la varianza, existen fórmulas matemáticas que nos dan medidas precisas de estas características de la distribución de los datos. De nuevo mirando la fórmula de asimetría vemos que esta es una relación entre la media de los datos y las observaciones individuales en cubos.
\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}\nonumber\]
donde ss es la desviación estándar muestral de los datos,\(\mathrm{X}_{i}\), y\(\overline{x}\) es la media aritmética y\(n\) es el tamaño de la muestra.
Formalmente la media aritmética se conoce como el primer momento de la distribución. El segundo momento que veremos es la varianza, y la asimetría es el tercer momento. La varianza mide las diferencias cuadradas de los datos de la media y la asimetría mide las diferencias en cubos de los datos de la media. Si bien una varianza nunca puede ser un número negativo, la medida de asimetría puede y así es como determinamos si los datos están sesgados a derecha de izquierda. La asimetría para una distribución normal es cero, y cualquier dato simétrico debe tener asimetría cerca de cero. Los valores negativos para la asimetría indican datos que están sesgados a la izquierda y los valores positivos para la asimetría indican datos que están sesgados a la derecha. Por sesgada a la izquierda, queremos decir que la cola izquierda es larga con relación a la cola derecha. De manera similar, sesgada a la derecha significa que la cola derecha es larga con relación a la cola izquierda. La asimetría caracteriza el grado de asimetría de una distribución alrededor de su media. Si bien la media y la desviación estándar son cantidades dimensionales (por eso tomaremos la raíz cuadrada de la varianza) es decir, tener las mismas unidades que las cantidades medidas\(\mathrm{X}_{i}\), la asimetría se define convencionalmente de tal manera que la haga no dimensional. Es un número puro que caracteriza sólo la forma de la distribución. Un valor positivo de asimetría significa una distribución con una cola asimétrica que se extiende hacia más positiva\(X\) y un valor negativo significa una distribución cuya cola se extiende hacia más negativa\(X\). Una medida cero de asimetría indicará una distribución simétrica.
La asimetría y la simetría adquieren importancia cuando discutimos las distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores.