8.0: Introducción a los intervalos de confianza
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Supongamos que estaba tratando de determinar la renta media de un departamento de dos dormitorios en su ciudad. Podrías buscar en la sección de clasificados del periódico, anotar varias rentas listadas y promediarlas juntas. Habrías obtenido una estimación puntual de la media verdadera. Si estás tratando de determinar el porcentaje de veces que haces una canasta al disparar una básquetbol, podrías contar el número de tiros que haces y dividirlo por el número de tiros que intentaste. En este caso, habría obtenido una estimación de puntos para la proporción verdadera del parámetro\(p\) en la función binomial de densidad de probabilidad.
Utilizamos datos de muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la estadística se llama estadística inferencial. Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro poblacional. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino cercano a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos estimaciones de intervalos, llamadas intervalos de confianza. Lo que nos proporciona la estadística más allá de un simple promedio, o estimación puntual, es una estimación a la que podemos adjuntar una probabilidad de precisión, lo que llamaremos un nivel de confianza. Hacemos inferencias con un nivel de probabilidad conocido.
En este capítulo, aprenderás a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderás una nueva distribución, la T-T del estudiante, y cómo se usa con estos intervalos. A lo largo del capítulo, es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional el que se fija.
Si trabajaste en el departamento de marketing de una compañía de entretenimiento, te podría interesar el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, podrías realizar una encuesta y calcular la media de la muestra,\(\overline x\), y la desviación estándar de la muestra,\(s\). Se utilizaría\(\overline x\) para estimar la media poblacional y\(s\) estimar la desviación estándar poblacional. La media muestral,\(\overline x\), es la estimación puntual para la media poblacional,\(\mu\). La desviación estándar de la muestra\(s\),, es la estimación puntual para la desviación estándar de la población,\(\sigma\).
\(\overline x\)y cada uno\(s\) se llama estadística.
Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en lugar de ser solo un número, es un intervalo de números. El intervalo de números es un rango de valores calculados a partir de un conjunto dado de datos de muestra. Es probable que el intervalo de confianza incluya el parámetro de población desconocido.
Supongamos, para el ejemplo de iTunes, no conocemos la media poblacional\(\mu\), pero sí sabemos que la desviación estándar poblacional es\(\sigma = 1\) y nuestro tamaño muestral es de 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación estándar de la distribución muestral de las medias muestrales es
\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{100}}=0.1.\nonumber\]
La regla empírica, que aplica a la distribución normal, dice que en aproximadamente 95% de las muestras, la media muestral,\(\overline x\), estará dentro de dos desviaciones estándar de la media poblacional\ mu. Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones estándar es\((2)(0.1) = 0.2\). Es probable que la media\(\overline x\) de la muestra esté dentro de 0.2 unidades de\(\mu\).
Debido a que\(\overline x\) está dentro de 0.2 unidades de\(\mu\), lo cual es desconocido, entonces\(\mu\) es probable que esté dentro de 0.2 unidades de\(\overline x\) con 95% de probabilidad. La media poblacional\(\mu\) está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones estándar\((2)(0.1)\) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones estándar. En otras palabras,\(\mu\) está entre\(\overline{x}-0.2\) y\(\overline{x}+0.2\) en 95% de todas las muestras.
Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produjo una media de muestra\(\overline{x}=2\). Luego con 95% de probabilidad la media de la población desconocida\(\mu\) está entre
\[\overline{x}-0.2=2-0.2=1.8 \text { and } \overline{x}+0.2=2+0.2=2.2 \nonumber\]
Decimos que estamos 95% seguros de que la población desconocida media número de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1.8 y 2.2. El intervalo de confianza del 95% es (1.8, 2.2). Tenga en cuenta que platicamos en términos de 95% de confianza utilizando la regla empírica. La regla empírica para dos desviaciones estándar es solo aproximadamente 95% de la probabilidad bajo la distribución normal. Para ser precisos, dos desviaciones estándar bajo una distribución normal es en realidad 95.44% de la probabilidad. Para calcular el nivel exacto de confianza del 95% usaríamos 1.96 desviaciones estándar.
El intervalo de confianza del 95% implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1.8, 2.2) contiene la media verdadera\(\mu\), o nuestra muestra produjo una\(\overline x\) que no está dentro de 0.2 unidades de la media verdadera\(\mu\). La segunda posibilidad ocurre para solo el 5% de todas las muestras (95% menos 100% = 5%).
Recuerde que se crea un intervalo de confianza para un parámetro de población desconocido como la media poblacional,\(\mu\).
Para el intervalo de confianza para una media la fórmula sería:
\[\mu=\overline{X} \pm Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber\]
O escrito de otra manera como:
\[\overline{X}-Z_{\alpha} \sigma /_{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}+Z_{\alpha} \sigma / \sqrt{n}\nonumber\]
Dónde\(\overline x\) está la media de la muestra. \(Z_{\alpha}\)está determinado por el nivel de confianza deseado por el analista, y\(\sigma / \sqrt{n}\) es la desviación estándar de la distribución muestral para las medias que nos da el Teorema del Límite Central.