Factoriales y Notación Combinada
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Resultados de aprendizaje
- Evaluar un factorial.
- Utilice notación de combinación para aplicaciones de estadística.
Cuando necesitamos calcular probabilidades, a menudo necesitamos múltiples números descendentes. Por ejemplo, si hay una baraja de 52 cartas y queremos escoger cinco de ellas sin reemplazo, entonces hay 52 opciones para el primer pick, 51 opciones para el segundo pick ya que una carta ya ha sido escogida, 50 opciones para la tercera, 49 opciones para la cuarta y 48 para la quinta. Si queremos saber cuántos resultados diferentes hay, podemos usar lo que llamamos el principio de multiplicación y multiplicarlos:\(52\times51\times50\times49\times48\). Si quisiéramos recoger las 52 cartas una a la vez, entonces esta lista sería excesivamente larga. En cambio hay una notación que describe multiplicar todo el camino hasta el 1, llamado el factorial. Debe ser emocionante, ya que usamos el símbolo “!” para el factorial.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Calcular\(4!\)
Solución
Usamos la definición que dice comenzar en 4 y multiplicar hasta llegar a 1:
\[4!\:=\:4\times3\times2\times1\:=\:24 \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Si elegimos 5 cartas de una baraja de 52 cartas sin reemplazo y los mismos dos juegos de 5 cartas, pero en diferentes órdenes, se consideran diferentes, ¿cuántos juegos de 5 cartas hay?
Solución
A partir de la introducción, el número de conjuntos es solo:
\[52\times51\times50\times49\times48 \nonumber \]
Esto no es del todo un factorial ya que se detiene en 48; sin embargo, podemos pensar en esto como\(52!\) con\(47!\) removido de él. En otras palabras, necesitamos encontrar
\[\frac{52!}{47!} \nonumber \]
Podríamos simplemente multiplicar los números de la lista original, pero es una buena idea practicar con tu calculadora o computadora para encontrar esto usando el! símbolo. Cuando utilice la tecnología, debe obtener:
\[\frac{52!}{47!}=311,875,200 \nonumber \]
Combinaciones
Una de las aplicaciones más importantes de las factoriales son las combinaciones que cuentan el número de formas de seleccionar una colección más pequeña de una colección más grande cuando el orden no es importante. Por ejemplo si hay 12 personas en una habitación y quieres seleccionar un equipo de 4 de ellas, entonces el número de posibilidades usa combinaciones. Aquí está la definición:
Definición: Combinaciones
El número de formas de seleccionar k artículos sin reemplazo de una colección de n artículos cuando el pedido no importa es:
\[\binom{n}{r}\:=\:_nC_r\:=\:\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}\]
Observe que hay algunas anotaciones. La primera es más una notación matemática mientras que la segunda es la notación que usa una calculadora. Por ejemplo, en la calculadora TI 84+, la notación para el número de combinaciones al seleccionar 4 de una colección de 12 es:
\[12\:_nC_r\:4 \nonumber\]
Hay muchos sitios de internet que realizarán combinaciones. Por ejemplo el sitio de matemáticas es divertido te pide que lo pongas\(n\)\(r\) y también te declares si el orden es importante y se permite la repetición. Si haces clic para hacer ambos “no” entonces obtendrás las combinaciones.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Calcular
\[\binom{15}{11}=_{15}C_{11} \nonumber\]
Solución
Ya sea que use una calculadora de mano o una computadora, debe obtener el número:\(1365\)
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
La probabilidad de ganar la lotería Powerball si compras un boleto es:
\[P(win)=\frac{1}{_{69}C_5\times26} \nonumber \]
Calcula esta probabilidad.
Solución
Primero, calculemos\(_{69}C_5\). Usando una calculadora o computadora, deberías obtener 11,238,513. A continuación, multiplicar por 26 para obtener
\[11,238,513 \times 26=292,201,338 \nonumber \]
Así, hay una en 292,201,338 posibilidades de ganar la lotería Powerball si compras un boleto. También podemos escribir esto como decimal dividiendo:
\[P\left(win\right)=\frac{1}{292,201,338}=0.000000003422 \nonumber \]
Como puedes ver, tus posibilidades de ganar el Powerball son muy pequeñas.
Ejercicio
Un aula está llena de 28 alumnos y habrá un presidente de la clase y un “Congreso” de otros 4 seleccionados. El número de diferentes posibilidades de grupos de liderazgo es:
\[28\times_{27}C_4 \nonumber\]
Calcula este número para saber cuántas posibilidades diferentes de grupos de liderazgo hay.