Orden de Operaciones

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Resultados de aprendizaje

Utilizar el orden de las operaciones para realizar correctamente la aritmética de varios pasos
Aplicar el orden de operaciones a cuestiones complejas relacionadas con la estadística.

Cuando se nos dan múltiples operaciones aritméticas dentro de un cálculo, hay un orden establecido en el que debemos hacerlas en base a cómo se escribe la expresión. Comprender estas reglas es especialmente importante cuando se utiliza una calculadora, ya que las calculadoras están programadas para seguir estrictamente el orden de las operaciones. Esto surge en cada tema de la estadística, por lo que conocer el orden de las operaciones es una habilidad esencial para que todos los estudiantes exitosos de estadística tengan.

PEMDAS

El orden de operaciones es el siguiente:

P arentesis
E xponentes
M ultiplicación y D ivision
Una ddición y sustracción S

Cuando hay empate, la regla es ir de izquierda a derecha.

Observe que la multiplicación y la división se enumeran juntas como ítem 3. Si ves multiplicación y división en la misma expresión la regla es ir de izquierda a derecha. De igual manera, si ves suma y resta en la misma expresión la regla es de ir de izquierda a derecha. Lo mismo ocurre con dos de los mismos operadores aritméticos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Evaluar:\(20-6\div3+\left(2\times3^2\right)\)

Solución

Comenzamos con lo que hay dentro de los paréntesis:\(2+3^2\). Dado que los exponentes viene antes de la suma, encontramos\(3^2=9\) primero. Ahora tenemos

\[20-6\div3+\left(2\times9\right) \nonumber\]

Seguimos dentro de los paréntesis y realizamos la multiplicación:\(2\times9=18\).

Esto da

\[20-6\div3+18 \nonumber\]

Dado que la división viene antes de la suma y resta, a continuación calculamos\(6\div3=2\) para obtener

\[20-2+18 \nonumber\]

Dado que la resta y la suma están empatadas, vamos de izquierda a derecha. Calculamos:\(20-2=18\) para obtener

\[18+18\:=36 \nonumber\]

La clave para llegar a la respuesta correcta es ir despacio y anotar cada paso en la aritmética.

Paréntesis ocultos

Puedes pensar que como siempre tienes una calculadora o computadora a mano, no necesitas preocuparte por el orden de las operaciones. Desafortunadamente, la forma en que se escriben las expresiones no es lo mismo que la forma en que se ingresan a una computadora o calculadora. En particular, los exponentes deben ser tratados con cuidado al igual que las barras de fracciones.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Evaluar\(2.1^{6-2}\)

Solución

Primero, tenga en cuenta que usamos el símbolo “^” para decirle a una computadora o calculadora que exponencie. Si ingresaras 2.1^6-2 en una computadora, te daría la respuesta de 83.766121 que no es correcta, ya que la computadora primero exponciará y luego restará. Dado que la resta está dentro del exponente, se debe realizar primero. Para indicarle a una calculadora o computadora que realice primero la resta, usamos paréntesis:

2.1^ (6 - 2) = 19.4481

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): z-scores

La “puntuación z” se define por:

\[z=\frac{x-\mu}{\sigma} \nonumber\]

Encuentra la puntuación z redondeada a un decimal si:

\[x=2.323,\:\mu=1.297,\:\sigma=0.241 \nonumber\]

Solución

Una vez más, si ponemos estos números en la fórmula de puntuación z y usamos una computadora o calculadora ingresando\(3.323\:-\:1.297\:\div\:0.241\) obtendremos -0.259 que es la respuesta incorrecta. En cambio, necesitamos saber que la barra de fracciones separa el numerador y el denominador, por lo que la resta debe hacerse primero. Nosotros computamos

\[\frac{2.323-1.297}{0.241}\:=\left(2.323-1.297\right)\div0.241=\:4.25726141 \nonumber\]

Ahora redondea a un decimal para obtener 4.3. Observe que si redondeó antes de hacer la aritmética, obtendría exactamente 5 que es muy diferente. 4.3 es más preciso.

Ejercicio

Supongamos que la ecuación de la línea de regresión para el número de pares de calcetines que posee una persona\(y\),, con base en el número de pares de zapatos\(x\),, la persona posee es

\[\hat y=6+2x \nonumber\]

Utilice esta línea de regresión para predecir el número de pares de calcetines que una persona posee para una persona que posee 4 pares de zapatos.