Poderes y Raíces
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Resultados de aprendizaje
- Elevar un número a una potencia usando la tecnología.
- Toma la raíz cuadrada de un número usando la tecnología.
- Aplicar el orden de las operaciones cuando hay root o una potencia.
Puede ser un desafío cuando intentamos usar la tecnología por primera vez para elevar un número a una potencia o tomar una raíz cuadrada de un número. En esta sección, repasaremos algunos punteros sobre cómo tomar con éxito poderes y raíces de un número. También continuaremos nuestra práctica con el orden de las operaciones, recordando que mientras no haya paréntesis, los exponentes siempre vienen antes que todas las demás operaciones. Veremos que tomar una potencia de un número surge en probabilidad y echar raíces surge en encontrar desviaciones estándar.
Poderes
Casi todas las calculadoras, computadoras y teléfonos inteligentes pueden tomar poderes de un número. Solo hay que recordar que el símbolo “^” se utiliza para significar “al poder de”. También necesitamos recordar usar paréntesis si necesitamos forzar otra aritmética a venir antes de la exponenciación.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Evaluar:\(1.04^5\) y redondear a dos decimales.
Solución
Esto definitivamente requiere el uso de la tecnología. La mayoría de las calculadoras, ya sean calculadoras manuales o computadoras, utilizan el símbolo “^” (turno 6 en el teclado) para la exponenciación. Tecleamos en:
\[1.04^5 = 1.2166529\nonumber \]
Se nos pide redondear a dos decimales. Dado que el tercer decimal es un 6 que es 5 o mayor, redondeamos para obtener:
\[1.04^5\approx1.22\nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Evaluar:\(2.8^{5.3\times0.17}\) y redondear a dos decimales.
Solución
Primero tenga en cuenta que en una computadora usamos “*” (turno 8) para representar la multiplicación. Si pusiéramos 2.8 ^ 5.3 * 0.17 en la calculadora, obtendríamos la respuesta equivocada, ya que realizará la exponenciación antes de la multiplicación. Dado que la pregunta original tiene la multiplicación dentro del exponente, tenemos que forzar a la calculadora a realizar primero la multiplicación. Podemos asegurar que la multiplicación ocurra primero incluyendo paréntesis:
\[2.8 ^{5.3 \times 0.17} = 2.52865\nonumber \]
Ahora redondea a decimales para obtener:
\[2.8^{5.3\times0.17}\approx2.53\nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Si queremos encontrar la probabilidad de que si lanzamos un dado de seis lados cinco veces que los dos primeros rollos sean cada uno un 1 o un 2 y los últimos tres rollos de troqueles sean pares, entonces la probabilidad es:
\[\left(\frac{1}{3}\right)^2\:\times\left(\frac{1}{2}\right)^3\nonumber \]
¿Cuál es esta probabilidad redondeada a tres decimales?
Solución
Nos encontramos con:
\[(1 / 3) ^ 2 (1 / 2) ^ 3 \approx 0.013888889\nonumber \]
Ahora redondea a tres decimales para obtener
\[\left(\frac{1}{3}\right)^2\:\times\left(\frac{1}{2}\right)^3 \approx0.014\nonumber \]
Raíces Cuadradas
Las raíces cuadradas aparecen a menudo en las estadísticas, especialmente cuando estamos viendo desviaciones estándar. Necesitamos poder usar una calculadora o computadora para calcular una raíz cuadrada de un número. Hay dos enfoques que suelen funcionar. El primer enfoque es usar el\(\sqrt{\:\:}\) símbolo en la calculadora si hay uno. Para una computadora, el uso de sqrt () suele funcionar. Por ejemplo si pones 10*sqrt (2) en la barra de búsqueda de Google, te mostrará 14.1421356. Una segunda forma que funciona para prácticamente cualquier calculadora, ya sea una calculadora de mano o una calculadora de computadora, es darse cuenta de que la raíz cuadrada de un número es lo mismo que el número a la potencia 1/2. Para no tener que envolver 1/2 entre paréntesis, es más fácil escribir el número a la potencia 0.5.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Evalúa\(\sqrt{42}\) y redondea tu respuesta a dos decimales.
Solución
Dependiendo de la tecnología que estés usando ingresarás el símbolo de raíz cuadrada y luego el número 42 y luego cerrarás los paréntesis si se presentan y luego pulsa enter. Si está utilizando una computadora, puede usar sqrt (42). La tercera forma que funcionará para ambos es entrar:
\[42^{0.5} \approx 6.4807407\nonumber \]
Luego debe redondear a dos decimales. Dado que 0 es menor que 5, redondeamos hacia abajo para obtener:
\[\sqrt{42}\approx6.48\nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
La “puntuación z” es para el valor de 28 para una distribución muestral con tamaño de muestra 60 proveniente de una población con una media de 28.3 y la desviación estándar 5 se define por:
\[z=\frac{28-28.3}{\frac{5}{\sqrt{60}}}\nonumber \]
Encuentra la puntuación z redondeada a dos decimales.
Solución
Tenemos que tener cuidado con el orden de las operaciones a la hora de ponerlo en la calculadora. Entramos en:
\[ (28 - 28.3)/(5 / 60 ^\wedge 0.5) = -0.464758\nonumber \]
Por último, redondeamos a 2 decimales. Dado que 4 es menor que 5, redondeamos hacia abajo para obtener:
\[z=\frac{28-28.3}{\frac{5}{\sqrt{60}}}=-0.46\nonumber \]
Ejercicio
El error estándar, que es un promedio de lo lejos que están las medias de la muestra de la media poblacional, se define por:
\[\sigma_\bar x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\nonumber \]
donde\(\sigma_\bar x\) está el error estándar,\(\sigma \) es la desviación estándar, y\(n\) es el tamaño de la muestra. Encuentra el error estándar si la desviación estándar de la población\(\sigma \),, es 14 y el tamaño muestral,\(n\), es 11.