1.7: Percentiles
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Objetivos de aprendizaje
- Definir percentiles
- Utilice tres fórmulas para calcular percentiles
Un puntaje de prueba en sí mismo suele ser difícil de interpretar. Por ejemplo, si aprendiste que tu puntuación en una medida de timidez estaba\(35\) fuera de una posible\(50\), no tendrías idea de lo tímido que eres comparado con otras personas. Más relevante es el porcentaje de personas con puntuaciones de timidez más bajas que las tuyas. Este porcentaje se llama percentil. Si\(65\%\) de los puntajes estuvieran por debajo del suyo, entonces su puntaje sería el\(65^{th}\) percentil.
Dos definiciones simples de percentil
No existe una definición universalmente aceptada de un percentil. Usando el\(65^{th}\) percentil como ejemplo, el\(65^{th}\) percentil puede definirse como la puntuación más baja que es mayor que la\(65\%\) de las puntuaciones. Esta es la forma en que lo definimos anteriormente y vamos a llamar a esto "”\(\text{Definition 1}\). El\(65^{th}\) percentil también se puede definir como la puntuación más pequeña que es mayor o igual a la\(65\%\) de las puntuaciones. A esto lo llamaremos "”\(\text{Definition 2}\). Desafortunadamente, estas dos definiciones pueden conducir a resultados dramáticamente diferentes, especialmente cuando hay relativamente pocos datos. Además, ninguna de estas definiciones es explícita sobre cómo manejar el redondeo. Por ejemplo, ¿qué rango se requiere para ser mayor que el\(65\%\) de los puntajes cuando el número total de puntajes es\(50\)? Esto es complicado debido a que\(65\%\)\(50\) es\(32.5\). ¿Cómo encontramos el número más bajo que sea mayor que\(32.5\) de los puntajes? Una tercera forma de calcular percentiles (presentada a continuación) es un promedio ponderado de los percentiles calculados de acuerdo con las dos primeras definiciones. Esta tercera definición maneja el redondeo con más gracia que las otras dos y tiene la ventaja de que permite que la mediana se defina convenientemente como el\(50^{th}\) percentil.
Tercera Definición
A menos que se especifique lo contrario, cuando nos referimos al “percentil”, nos referiremos a esta tercera definición de percentiles. Empecemos con un ejemplo. Considera el\(25^{th}\) percentil para los\(8\) números en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Observe que a los números se les dan rangos que van desde\(1\) para el número más bajo hasta\(8\) para el número más alto.
| Número | 3 | 5 | 7 | 8 | 9 | 11 | 13 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rango | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
El primer paso es calcular el rango (\(R\)) del\(25^{th}\) percentil. Esto se hace usando la siguiente fórmula:
\[R = P/100 \times (N + 1)\]
donde\(P\) está el percentil deseado (\(25\)en este caso) y\(N\) es el número de números (\(8\)en este caso). Por lo tanto,
\[R = 25/100 \times (8 + 1) = 9/4 = 2.25\]
Si\(R\) es un número entero, el\(P^{th}\) percentil es el número con rango\(R\). Cuando no\(R\) es un entero, calculamos el\(P^{th}\) percentil por interpolación de la siguiente manera:
- Definir\(IR\) como la porción entera de\(R\) (el número a la izquierda del punto decimal). Para este ejemplo,\(IR=2\).
- Definir\(FR\) como la porción fraccionaria de\(R\). Para este ejemplo,\(FR=0.25\).
- Encuentra las puntuaciones con Rank\(IR\) y con Rank\(IR+1\). Para este ejemplo, esto significa el puntaje con Rango\(2\) y el puntaje con Rango\(3\). Los puntajes son\(5\) y\(7\).
- Interpolar multiplicando la diferencia entre las puntuaciones por\(FR\) y sumar el resultado a la puntuación más baja. Para estos datos, esto es\((0.25)(7 - 5) + 5 = 5.5\).
Por lo tanto, el\(25^{th}\) percentil es\(5.5\). Si hubiéramos utilizado la primera definición (la puntuación más pequeña mayor que\(25\%\) de las puntuaciones), el\(25^{th}\) percentil habría sido\(7\). Si hubiéramos utilizado la segunda definición (la puntuación más pequeña mayor o igual que\(25\%\) de las puntuaciones), el\(25^{th}\) percentil habría sido\(5\).
Para un segundo ejemplo, considere las puntuaciones de los\(20\) quiz que se muestran en la Tabla\(\PageIndex{2}\).
| Número | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 | 9 | 10 | 10 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rango | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Vamos a calcular el\(25^{th}\) y los\(85^{th}\) percentiles. Para el\(25^{th}\),
\[R = 25/100 \times (20 + 1) = 21/4 = 5.25\]
\[IR=5\; and\; FR=0.25\]
Dado que el puntaje con un rango de\(IR\) (que es\(5\)) y el puntaje con un rango de\(IR+1\) (que es\(6\)) son ambos iguales a\(5\), el\(25^{th}\) percentil es\(5\). En términos de la fórmula:
\[25^{th}\; \text{percentile} = (0.25) \times (5 - 5) + 5 = 5\]
Para el\(85^{th}\) percentil,
\[R = 85/100 \times (20 + 1) = 17.85.\]
\[IR = 17\; and\; FR = 0.85\]
Precaución: generalmente\(FR\) no equivale al percentil a computar como lo hace aquí.
El puntaje con un rango de\(17\) es\(9\) y el puntaje con un rango de\(18\) es\(10\). Por lo tanto, el\(85^{th}\) percentil es:
\[(0.85)(10 - 9) + 9 = 9.85\]
Considera el\(50^{th}\) percentil de los números\(2, 3, 5, 9\).
\[R = 50/100 \times (4 + 1) = 2.5\]
\[IR=2\; and\; FR=0.5\]
El puntaje con un rango de\(IR\) es\(3\) y el puntaje con un rango de\(IR+1\) es\(5\). Por lo tanto, el\(50^{th}\) percentil es:
\[(0.5)(5 - 3) + 3 = 4\]
Por último, considere el\(50^{th}\) percentil de los números\(2, 3, 5, 9, 11\).
\[R = 50/100 \times (5 + 1) = 3\]
\[IR=3\; and\; FR=0\]
Siempre que\(FR=0\), simplemente encuentras el número con rango\(IR\). En este caso, el tercer número es igual a\(5\), por lo que el\(50^{th}\) percentil es\(5\). También obtendrás la respuesta correcta si aplicas la fórmula general:
\[50^{th}\; \text{percentile} = (0.00) (9 - 5) + 5 = 5\]
Colaboradores y Atribuciones
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- David M. Lane