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# 5.2: Funciones de Probabilidad Continua

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Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Usamos la notación de funciones$$f(x)$$. El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función$$f(x)$$ para que el área entre ésta y el eje x sea igual a una probabilidad. Dado que la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones continuas de probabilidad, PROBABILIDAD = ÁREA.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Considera la función$$f(x) = \frac{1}{20}$$ para$$0 \leq x \leq 20$$. $$x =$$un número real. La gráfica de$$f(x) = \frac{1}{20}$$ es una línea horizontal. Sin embargo, ya que$$0 \leq x \leq 20$$,$$f(x)$$ se restringe a la porción entre$$x = 0$$ y$$x = 20$$, inclusive.

$f(x) = \frac{1}{20} \text{ for } 0 \leq x \leq 20.$

La gráfica de$$f(x) = \frac{1}{20}$$ es un segmento de línea horizontal cuando$$0 \leq x \leq 20$$.

El área entre$$f(x) = \frac{1}{20}$$ donde$$0 \leq x \leq 20$$ y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura =$$\frac{1}{20}$$.

$AREA = 20 \left(\frac{1}{20} \right) = 1$

Supongamos que queremos encontrar el área entre$$f(x) = \frac{1}{20}$$ y el eje x donde$$0 < x < 2$$.

$AREA = (2 - 0) \left(\dfrac{1}{20} \right) = 0.1$

$$(2 - 0) = 2 = \text{base of a rectangle}$$

RECORDATORIO: área de un rectángulo = (base) (altura).

El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0.1, que se puede escribir matemáticamente como$$P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1$$.

Supongamos que queremos encontrar el área entre$$f(x) = \frac{1}{20}$$ y el eje x donde$$4 < x < 15$$.

$$\text{AREA} = (15 – 4)(\frac{1}{20}) = 0.55$$

$$\text{AREA} = (15 – 4)(\frac{1}{20}) = 0.55$$

$$(15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}(15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}$$

El área corresponde a la probabilidad$$P(4 < x < 15) = 0.55$$.

Supongamos que queremos encontrar$$P(x = 15)$$. En una gráfica x-y,$$x = 15$$ hay una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o ancho cero). Por lo tanto,$$P(x = 15) = (\text{base})(\text{height}) = (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0$$

$$P(X \leq x)$$(se puede escribir como$$P(X < x)$$ para distribuciones continuas) se llama la función de distribución acumulativa o CDF. Observe el símbolo “menor o igual a”. Podemos usar el CDF para calcular$$P(X > x)$$. El CDF da “área a la izquierda” y$$P(X > x)$$ da “área a la derecha”. Calculamos$$P(X > x)$$ para distribuciones continuas de la siguiente manera:$$P(X > x) = 1 – P(X < x)$$.

Etiquete la gráfica con$$f(x)$$ y$$x$$. Escala los$$y$$ ejes$$x$$ y con el máximo$$x$$ y$$y$$ los valores. $$f(x) = \frac{1}{20}$$,$$0 \leq x \leq 20$$.

Para calcular la probabilidad que$$x$$ se encuentra entre dos valores, mira la siguiente gráfica. Sombra la región entre$$x = 2.3$$ y$$x = 12.7$$. Después calcula el área sombreada de un rectángulo.

$P(2.3 < x < 12.7) = (\text{base})(\text{height}) = (12.7−2.3)\left(\dfrac{1}{20}\right) = 0.52$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Considera la función$$f(x) = \frac{1}{8}$$ para$$0 \leq x \leq 8$$. Dibuja la gráfica de$$f(x)$$ y encuentra$$P(2.5 < x < 7.5)$$.

Responder

$$P (2.5 < x < 7.5) = 0.625$$

## Resumen

La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades para variables aleatorias continuas. El área bajo la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable caiga entre esos dos valores. En otras palabras, el área bajo la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a$$P(a < x < b)$$. La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como área. Si$$X$$ es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf),$$f(x)$$, se utiliza para dibujar la gráfica de la distribución de probabilidad. El área total bajo la gráfica de$$f(x)$$ es uno. El área bajo la gráfica de$$f(x)$$ y entre los valores a y b da la probabilidad$$P(a < x < b)$$.

La función de distribución acumulativa (cdf) de$$X$$ se define por$$P(X \leq x)$$. Es una función de$$x$$ que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a$$x$$.

## Revisión de Fórmula

Función de densidad de probabilidad (pdf)$$f(x)$$:

• $$f(x) \geq 0$$
• El área total bajo la curva$$f(x)$$ es uno.

Función de distribución acumulativa (cdf):$$P(X \leq x)$$

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