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# 5.3: Cálculos de probabilidad para variables aleatorias normales generales

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Objetivos de aprendizaje

Si$$X$$ es alguna variable aleatoria normal normalmente distribuida entonces Figura también se$$\PageIndex{1}$$ puede utilizar para calcular una probabilidad de la forma P(a&lt;X&lt;b)" role="presentation" style="position:relative;" tabindex="0">$$P(a<X<b)$$por medio de la siguiente igualdad.

Si$$X$$ es una variable aleatoria normalmente distribuida con media$$\mu$$ y desviación estándar$$\sigma$$, entonces$P(a<X<b)=P\left ( \frac{a-\mu }{\sigma }<Z<\frac{b-\mu }{\sigma } \right )$ donde$$Z$$ denota una variable aleatoria normal estándar. $$a$$puede ser cualquier número decimal o$$-\infty$$;$$b$$ puede ser cualquier número decimal o$$\infty$$.

Los nuevos puntos finales (a&#x2212;&#x3BC;)&#x2215;&#x3C3;" role="presentation" style="position:relative;" tabindex="0">$$\frac{(a-\mu )}{\sigma }$$y (a&#x2212;&#x3BC;)&#x2215;&#x3C3;" role="presentation" style="position:relative;" tabindex="0">$$\frac{(b-\mu )}{\sigma }$$son los$$z$$ -scores de$$a$$ y$$b$$ como se define en el Capítulo 2.

La figura$$\PageIndex{2}$$ ilustra el significado de la igualdad geométricamente: las dos regiones sombreadas, una bajo la curva de densidad para$$X$$ y la otra debajo de la curva de densidad para$$Z$$, tienen la misma área. Sin embargo, en lugar de dibujar ambas curvas de campana, siempre dibujaremos una sola curva genérica en forma de campana con un$$x$$ eje -eje y un$$z$$ eje debajo de él.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$X$$ ser una variable aleatoria normal con media$$\mu =10$$ y desviación estándar$$\sigma =2.5$$. Calcula las siguientes probabilidades.

1. $$P(X<14)$$.
2. $$P(8<X<14)$$.

Solución:

1. Ver Figura$$\PageIndex{3}$$ “Cálculos de Probabilidad para una Variable Aleatoria Normal General”. \begin{align*} P(X<14) &= P\left ( Z<\frac{14-\mu }{\sigma } \right )\\ &= P\left ( Z<\frac{14-10}{2.5} \right )\\ &= P(Z<1.60)\\ &= 0.9452 \end{align*}
1. Ver Figura$$\PageIndex{4}$$ “Cálculos de Probabilidad para una Variable Aleatoria Normal General”. \begin{align*} P(8<X<14) &= P\left ( \frac{8-10}{2.5}<Z<\frac{14-10}{2.5} \right )\\ &= P\left ( -0.80<Z<1.60 \right )\\ &= 0.9452-0.2119\\ &= 0.7333 \end{align*}

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Las vidas de la banda de rodadura de un determinado neumático de automóvil se distribuyen normalmente con$$37,500$$ millas medias y millas de desviación$$4,500$$ estándar. Encuentre la probabilidad de que la vida útil de la banda de rodadura de una llanta seleccionada al azar esté entre$$30,000$$ y$$40,000$$ millas.

Solución:

Dejar$$X$$ denotar la vida de la banda de rodadura de un neumático seleccionado al azar. Para facilitar el trabajo con los números elegiremos miles de millas como unidades. Así$$\mu =37.5,\; \sigma =4.5$$, y el problema es computar P(30&lt;X&lt;40)." role="presentation" style="position:relative;" tabindex="0">$$P(30<X<40)$$. La figura$$\PageIndex{5}$$ “Cálculos de probabilidad para el desgaste de la banda de rodadura de los neumáticos” ilustra el siguiente cálculo

\begin{align*} P(30<X<40) &= P\left ( \frac{30-\mu }{\sigma }<Z<\frac{40-\mu }{\sigma } \right )\\ &= P\left ( \frac{30-37.5}{4.5}<Z<\frac{40-37.5}{4.5} \right )\\ &= P\left ( -1.67<Z<0.56\right )\\ &= 0.7123-0.0475\\ &= 0.6648 \end{align*}

Obsérvese que las dos$$z$$ puntuaciones se redondearon a dos decimales para utilizar la Figura$$\PageIndex{1}$$ “Probabilidad Normal Acumulada”.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Los puntajes en un examen estandarizado de ingreso a la universidad (CEE) se distribuyen normalmente con media$$510$$ y desviación estándar$$60$$. Una universidad selectiva considera para la admisión solo a los aspirantes con puntajes superiores a CEE$$650$$. Encontrar porcentaje de todas las personas que tomaron el CEE que cumplen con el requisito CEE de la universidad para su consideración para la admisión.

Solución:

Dejar$$X$$ denotar la puntuación realizada en el CEE por un individuo seleccionado al azar. Entonces$$X$$ se distribuye normalmente con media$$510$$ y desviación estándar$$60$$. La probabilidad de que se$$X$$ encuentre en un intervalo determinado es la misma que la proporción de todas las puntuaciones de los exámenes que se encuentran en ese intervalo. Así la solución al problema es$$P(X>650)$$, expresada como porcentaje. La figura$$\PageIndex{6}$$ “Cálculos de probabilidad para las puntuaciones de los exámenes” ilustra el siguiente cálculo:

\begin{align*} P(X>650) &= P\left ( Z>\frac{650-\mu }{\sigma } \right )\\ &= P\left ( Z>\frac{650-510}{60} \right )\\ &= P(Z>2.33)\\ &= 1-0.9901\\ &= 0.0099 \end{align*}

La proporción de todos los puntajes de CEE que superan$$650$$ es$$0.0099$$, por lo tanto$$0.99\%$$ o sobre$$1\%$$ hacer.

llave para llevar

• Las probabilidades para una variable aleatoria normal general se calculan usando Figura$$\PageIndex{1}$$ después de convertir$$x$$ -valores a$$z$$ -scores.