4.3: Probabilidad condicional

Supongamos que quiere averiguar si debe comprar un auto nuevo. Cuando vas por primera vez a buscar, encuentras dos autos que más te gustan. En tu mente son iguales, y así cada uno tiene un 50% de probabilidad de que lo escojas. Entonces empiezas a mirar las reseñas de los autos y te das cuenta de que el primer auto ha tenido 40% de ellos necesitando ser reparados en el primer año, mientras que el segundo auto solo tiene el 10% de los autos que necesitan ser reparados en el primer año. Podrías usar esta información para ayudarte a decidir qué auto quieres comprar realmente. Ambos autos ya no tienen un 50% de posibilidades de ser el auto que elijas. De hecho, podrías calcular la probabilidad de que compres cada auto, que es una probabilidad condicional. Probablemente no harías esto, pero te da un ejemplo de lo que es una probabilidad condicional.

Las probabilidades condicionales son probabilidades calculadas después de que se da la información. Aquí es donde quieres encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A después de saber que el evento B ha sucedido. Si sabes que B ha sucedido, entonces no necesitas considerar el resto del espacio muestral. Solo necesitas los resultados que componen el evento B. El evento B se convierte en el nuevo espacio de muestra, que se llama el espacio de muestra restringido, R. Si siempre escribes un espacio de muestra restringido al hacer probabilidades condicionales y lo usas como tu espacio de muestra, no tendrás problemas con condicional probabilidades. La notación para probabilidades condicionales es\(P(A, \text { given } B)=P(A | B)\). El evento que sigue a la línea vertical es siempre el espacio muestral restringido.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) conditional probabilities

1. Supongamos que tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 5, dado que el primer dado es un 2?
2. Supongamos que tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de 7, dado que el primer dado es un 4?
3. Supongamos que tira dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el segundo dado un 2, dado que la suma es un 9?
4. Supongamos que eliges una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de conseguir una Spade, dado que la carta es un Jack?
5. Supongamos que eliges una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un As, dado que la carta es una Reina?

Solución

a. ya que sabes que el primer dado es un 2, entonces este es tu espacio de muestra restringido, entonces

R = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}

Fuera de este espacio muestral restringido, la forma de obtener una suma de 5 es {(2,3)}. Así

\(P(\text { sum of } 5 | \text { the first die is a } 2)=\dfrac{1}{6}\)

b. ya que sabes que el primer dado es un 4, este es tu espacio de muestra restringido, entonces

R = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

Fuera de este espacio muestral restringido, la forma de obtener una suma de 7 es {(4,3)}. Así

\(P(\text { sum of } 7 | \text { the first die is a } 4)=\dfrac{1}{6}\)

c. Como sabes que la suma es un 9, este es tu espacio muestral restringido, entonces

R = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}

Fuera de este espacio de muestra restringido no hay forma de obtener el segundo dado un 2. Así

\(P(\text { second die is a } 2 | \text { sum is } 9)=0\)

d. Como sabes que la tarjeta es un Jack, este es tu espacio de muestra restringido, entonces

R = {JS, JC, JD, JH}

Fuera de este espacio de muestreo restringido, la forma de obtener una Spade es {JS}. Así

\(P(\text { Spade } | \mathrm{Jack})=\dfrac{1}{4}\)

e. on: Como sabes que la tarjeta es una Reina, entonces este es tu espacio de muestra restringido, entonces

R = {QS, QC, QD, QH}

Fuera de este espacio de muestra restringido, no hay forma de obtener un As, por lo tanto

\(P(\text { Ace | Queen })=0\)

Si miras los resultados de Ejemplo\(\PageIndex{7}\) parte d y Ejemplo\(\PageIndex{1}\) parte b, notarás que obtienes la misma respuesta. Esto significa que saber que el primer dado es un 4 no cambió la probabilidad de que la suma sea un 7. Este conocimiento agregado no te ayudó de ninguna manera. Es como si esa información no se diera en absoluto. No obstante, si comparas Ejemplo\(\PageIndex{7}\) parte b y Ejemplo\(\PageIndex{1}\) parte a, notarás que no son la misma respuesta. En este caso, sabiendo que el primer dado es un 2 sí cambió la probabilidad de obtener una suma de 5. En el primer caso, los eventos suma de 7 y el primer morir es un 4 se denominan eventos independientes. En el segundo caso, los eventos suma de 5 y el primer dado es un 2 se denominan eventos dependientes.

Los eventos A y B se consideran eventos independientes si el hecho de que ocurra un evento no cambia la probabilidad de que ocurra el otro evento. Es decir, los eventos A y B son independientes si el hecho de que B haya sucedido no afecta la probabilidad de que ocurra el evento A y el hecho de que A haya sucedido no afecta la probabilidad de que ocurra el evento B. De lo contrario, los dos eventos son dependientes. En símbolos, A y B son independientes si

\(P(A | B)=P(A) \text { or } P(B | A)=P(B)\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) independent events

1. Supongamos que tira dos dados. ¿Los eventos son “suma de 7” y “primero morir es un 3” independientes?
2. Supongamos que tira dos dados. ¿Los eventos son independientes “suma de 6” y “primero morir es un 4”?
3. Supongamos que eliges una carta de una baraja. ¿Los eventos “Jack” y “Spade” son independientes?
4. Supongamos que eliges una carta de una baraja. ¿Los eventos “Corazón” y tarjeta “Roja” son independientes?
5. Supongamos que tiene dos hijos vía nacimientos separados. ¿Son independientes los eventos “el primero es un niño” y “el segundo es una niña”?
6. Supongamos que lanzas una moneda 50 veces y obtienes una cabeza cada vez, ¿cuál es la probabilidad de conseguir una cabeza en el siguiente flip?

Solución

a. para determinar si son independientes, es necesario ver si\(P(A | B)=P(A)\). No importa qué evento sea A o B, así que solo asigne uno como A y uno como B.

Que A = suma de 7 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} y B = primer dado es un 3 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}\(P(A | B)\) significa que asumes que B ha sucedido. El espacio de muestra restringido es B,

R = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}

En este espacio muestral restringido, la manera de que A suceda es {(3,4)}, entonces

\(P(A | B)=\dfrac{1}{6}\)

El\(P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

\(P(A | B)=P(A)\)Así, “suma de 7” y “primer morir es un 3” son eventos independientes.

b. para determinar si son independientes, es necesario ver si\(P(A | B)=P(A)\). No importa qué evento sea A o B, así que solo asigne uno como A y uno como B.

Dejar A = suma de 6 = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} y B = primer dado es a 4 = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}, entonces

\(P(A)=\dfrac{5}{36}\)

Para\(P(A | B)\), el espacio de muestra restringido es B,

R = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

En este espacio muestral restringido, la manera de que A suceda es {(4,2)}, entonces

\(P(A | B)=\dfrac{1}{6}\).

En este caso, “suma de 6” y “primer morir es un 4” son dependientes ya que\(P(A | B) \neq P(A)\).

c. Para determinar si son independientes, es necesario ver si\(P(A | B)=P(A)\). No importa qué evento sea A o B, así que solo asigne uno como A y uno como B.

Dejar A = Jack = {JS, JC, JD, JH} y B = Spade {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, AS}

\(P(A)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}\)

Para\(P(A | B)\), el espacio de muestra restringido es B,

R = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, KS, AS}

En este espacio de muestreo restringido, la forma en que sucede A es {JS}, entonces

\(P(A | B)=\dfrac{1}{13}\)

En este caso, “Jack” y “Spade” son independientes desde entonces\(P(A | B)=P(A)\).

d. para determinar si son independientes, es necesario ver si\(P(A | B)=P(A)\). No importa qué evento sea A o B, así que solo asigne uno como A y uno como B.

Deja A = Corazón = {2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AH} y B = Tarjeta roja = {2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, QD, KD, AD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AH}, entonces

\(P(A)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\)

Para\(P(A | B)\), el espacio de muestra restringido es B,

R = {2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, QD, KD, AD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AH}

En este espacio muestral restringido, la forma en que A puede suceder es 13,

\(P(A | B)=\dfrac{13}{26}=\dfrac{1}{2}\).

En este caso, la tarjeta “Corazón” y “Roja” son dependientes, ya que\(P(A | B) \neq P(A)\).

e. En este caso, en realidad no es necesario hacer ningún cálculo. El género de un hijo no afecta el género del segundo hijo, los eventos son independientes.

f. Dado que un giro de la moneda no afecta al siguiente volteo (la moneda no recuerda lo que hizo la vez anterior), la probabilidad de obtener una cabeza en el siguiente flip sigue siendo la mitad.

Regla de multiplicación:

Dos fórmulas más útiles: Si dos eventos son dependientes, entonces\(P(A \text { and } B)=P(A) * P(B | A)\)

Si dos eventos son independientes, entonces\(P(A \text { and } B)=P(A)^{*} P(B)\)

Si resuelves la primera ecuación para\(P(B | A)\), obtienes\(P(B | A)=\dfrac{P(A \text { and } B)}{P(A)}\), que es una fórmula para calcular una probabilidad condicional. Sin embargo, es más fácil encontrar una probabilidad condicional usando el espacio muestral restringido y contando a menos que el espacio muestral sea grande.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\) Multiplication rule

1. Supongamos que eliges tres cartas de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean Queens si las cartas no son reemplazadas después de ser elegidas?
2. Supongamos que escoges tres cartas de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean Queens si las cartas son reemplazadas después de ser escogidas y antes de que se escoja la siguiente carta?

Solución

a. Este espacio de muestra es demasiado grande para escribir, por lo que usar la regla de multiplicación tiene sentido. Dado que las cartas no son reemplazadas, entonces la probabilidad cambiará para la segunda y tercera cartas. Son eventos dependientes. Esto significa que en el segundo sorteo hay una Reina menos y una carta menos, y en el tercer sorteo hay dos Reinas menos y 2 cartas menos.

P (3 Queens) = P (Q el 1er y Q el 2do y Q el 3er)

= P (Q el 1º) * P (Q el 2nd|Q el 1º) * P (Q en 3rd|1ra y 2da Q)

\(=\dfrac{4}{52} * \dfrac{3}{51} * \dfrac{2}{50}\)

\(=\dfrac{24}{132600}\)

b. nuevamente, el espacio muestral es demasiado grande para escribir, por lo que usar la regla de multiplicación tiene sentido. Dado que las cartas se vuelven a poner, un sorteo no tiene ningún efecto en el siguiente sorteo y todas son independientes.

P (3 Reinas) = P (Reina en 1ra y Reina en 2da y Reina en 3ra)

= P (Reina el 1º) * P (Reina el 2do) * P (Reina el 3er)

\(=\dfrac{4}{52} * \dfrac{4}{52} * \dfrac{4}{52}\)

\(=\left(\dfrac{4}{52}\right)^{3}\)

\(=\dfrac{64}{140608}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\) application problem

La Organización Mundial de la Salud (OMS) realiza un seguimiento de cuántos incidentes de lepra hay en el mundo. Utilizando las regiones de la OMS y los grupos de ingresos de los Bancos Mundiales, se puede preguntar si un nivel de ingresos y una región de la OMS dependen entre sí en términos de predecir dónde está la enfermedad. Se recolectaron datos sobre casos de lepra en diferentes países para el año 2011 y se presenta un resumen en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) (“Lepra: Number of”, 2013).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Número de casos de lepra

Región OMS	Grupo de Ingresos del Banco Mundial				Total de fila
	Ingresos altos	Ingreso Medio Superior	Ingreso Medio Inferior	Bajos ingresos
Américas	174	36028	615	0	36817
Mediterránea Oriental	54	6	1883	604	2547
Europa	10	0	0	0	10
Pacífico Occidental	26	216	3689	1155	5086
África	0	39	1986	15928	17953
Sudeste Asiático	0	0	149896	10236	160132
Total de Columna	264	36289	158069	27923	222545

1. Encuentra la probabilidad de que una persona con lepra sea de las Américas.
2. Encuentra la probabilidad de que una persona con lepra sea de un país de altos ingresos.
3. Encontrar la probabilidad de que una persona con lepra sea de las Américas y de un país de altos ingresos.
4. Encuentra la probabilidad de que una persona con lepra sea de un país de altos ingresos, dado que son de las Américas.
5. Encontrar la probabilidad de que una persona con lepra sea de un país de bajos ingresos.
6. Encuentra la probabilidad de que una persona con lepra sea de África.
7. Encuentra la probabilidad de que una persona con lepra sea de África y de un país de bajos ingresos.
8. Encuentra la probabilidad de que una persona con lepra sea de África, dado que es de un país de bajos ingresos.
9. ¿Son los eventos que una persona con lepra es de “África” y “país de bajos ingresos” eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?
10. ¿Los eventos que una persona con lepra es de “América” y “país de altos ingresos” son eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?

Solución

a. hay 36817 casos de lepra en las Américas de 222,545 casos a nivel mundial. Entonces,

\(P(\text { Americas })=\dfrac{36817}{222545} \approx 0.165\)

Hay alrededor de 16.5% de probabilidades de que una persona con lepra viva en un país de las Américas.

b. hay 264 casos de lepra en países de altos ingresos de 222,545 casos a nivel mundial. Entonces,

\(P(\text { high-income })=\dfrac{264}{222545} \approx 0.0001\)

Hay alrededor de 0.1% de probabilidades de que una persona con lepra viva en un país de altos ingresos.

c. Hay 174 casos de lepra en países de un país de ingresos altos en las Américas, de los 222,545 casos a nivel mundial. Entonces,

\(P(\text { Americas and high-income })=\dfrac{174}{222545} 0.0008\)

Hay alrededor de 0.08% de probabilidades de que una persona con lepra viva en un país de altos ingresos en las Américas.

d. en este caso usted sabe que la persona se encuentra en las Américas. No es necesario considerar a personas del Mediterráneo de Pascua, Europa, el Pacífico Occidental, África y el sudeste asiático. Solo hay que mirar la fila con América al inicio. En esa fila, miren para ver cuántos casos de lepra hay de un país de altos ingresos. Hay 174 países de los 36 mil 817 casos de lepra en las Américas. Entonces,

\(P(\text { high-income } | \text { Americas })=\dfrac{174}{36817} \approx 0.0047\)

Hay 0.47% de probabilidades de que una persona con lepra sea de un país de altos ingresos dado que es de América.

e. hay 27.923 casos de lepra en países de bajos ingresos de los 222,545 casos de lepra a nivel mundial. Entonces,

\(P(\text { low-income })=\dfrac{27923}{222545} \approx 0.125\)

Existe un 12.5% de probabilidad de que una persona con lepra sea de un país de bajos ingresos.

f. hay 17,953 casos de lepra en África de 222,545 casos de lepra a nivel mundial. Entonces,

\(P(\text { Africa })=\dfrac{17953}{222545} \approx 0.081\)

Existe un 8.1% de probabilidad de que una persona con lepra sea de África.

g. Hay 15.928 casos de lepra en países de bajos ingresos de África de los 222,545 casos de lepra a nivel mundial. Entonces,

\(P(\text { Africa and low-income })=\dfrac{15928}{222545} \approx 0.072\)

Existe un 7.2% de probabilidad de que una persona con lepra sea de un país de bajos ingresos en África.

h. en este caso sabes que la persona con lepra es de país de bajos ingresos. No es necesario incluir el país de ingresos altos, de ingresos medios altos y de ingresos medios bajos. Sólo hay que considerar la columna encabezada por bajos ingresos. En esa columna, hay 15 mil 928 casos de lepra en África de los 27 mil 923 casos de lepra en países de bajos ingresos. Entonces,

\(P(\text { Africa | low-income })=\dfrac{15928}{27923} \approx 0.570\)

Existe un 57.0% de probabilidades de que una persona con lepra sea de África, dado que es de un país de bajos ingresos.

i. Para que estos hechos sean independientes,\(P(\text { Africa } | \text { low-income })=P(\text { Africa })\) o\(P(\text { low-income } | \text { Africa })=P(\text { low-income })\) tengan que ser ciertos. La parte (h) mostró\(P(\text { Africa | low-income }) \approx 0.570\) y la parte (f) mostró\(P(\text { Africa }) \approx 0.081\). Como estos no son iguales, entonces estos dos eventos son dependientes.

j. Para que estos hechos sean independientes,\(P(\text { Americas } | \text { high-income })=P(\text { Americas })\) o\(P(\text { high-income |} \text { Americas })=P(\text { high-income })\) tengan que ser ciertos. La parte (d) mostró\(P(\text { high-income } | \text { Americas }) \approx 0.0047\) y la parte (b) mostró\(P(\text { high-income }) \approx 0.001\). Como estos no son iguales, entonces estos dos eventos son dependientes.

Se ha hecho un gran problema sobre la diferencia entre eventos dependientes e independientes mientras se calcula la probabilidad de eventos compuestos. Debe multiplicar la probabilidad del primer evento con la probabilidad condicional del segundo evento.

¿Por qué te importa? Necesitas calcular las probabilidades cuando estés realizando el muestreo, como aprenderás más adelante. Pero aquí hay una simplificación que puede facilitar mucho los cálculos: cuando el tamaño de la muestra es muy pequeño en comparación con el tamaño de la población, se puede suponer que las probabilidades condicionales simplemente no cambian mucho sobre la muestra.

Por ejemplo, considere el muestreo de aceptación. Supongamos que hay una gran población de piezas entregadas a su fábrica, digamos 12 mil piezas. Supongamos que hay 85 partes defectuosas en la población. Usted decide seleccionar al azar diez piezas, y rechazar el envío. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el envío?

Hay muchas formas diferentes de rechazar el envío. Por ejemplo, a lo mejor las tres primeras partes son buenas, una es mala, y el resto son buenas. O las diez partes podrían ser malas, o tal vez las primeras cinco. ¡Tantas maneras de rechazar! Pero solo hay una manera de aceptar el envío: si las diez partes son buenas. Eso pasaría si la primera parte es buena, y la segunda parte es buena, y la tercera parte es buena, y así sucesivamente. Dado que la probabilidad de que la segunda parte sea buena depende (ligeramente) de si la primera parte fue buena, técnicamente debes tomar esto en consideración al calcular la probabilidad de que los diez sean buenos.

La probabilidad de obtener buena la primera parte muestreada es\(\dfrac{12000-85}{12000}=\dfrac{11915}{12000}\). Entonces la probabilidad de que los diez sean buenos es\(\dfrac{11915}{12000} * \dfrac{11914}{11999} * \dfrac{11913}{11998} * \ldots * \dfrac{11906}{11991} \approx 93.1357 \%\). Si en cambio asumes que la probabilidad no cambia mucho, se obtiene\(\left(\dfrac{11915}{12000}\right)^{10} \approx 93.1382 \%\). Entonces como pueden ver, no hay mucha diferencia. Entonces aquí está la regla: si la muestra es muy pequeña comparada con el tamaño de la población, entonces se puede suponer que las probabilidades son independientes, aunque no lo sean técnicamente. Por cierto, la probabilidad de rechazar el envío es\(1-0.9314=0.0686=6.86 \%\).

Testo

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. ¿Son dueños de un refrigerador y tener un auto eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?
2. ¿Ser dueño de una computadora o tableta y pagar por eventos independientes del servicio de Internet? ¿Por qué o por qué no?
3. ¿Aprobar tu clase de estadística y aprobar tu clase de biología son eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?
4. ¿Ser dueño de una bicicleta y poseer un auto son eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?
5. Un experimento consiste en recoger una carta de una baraja justa.
   1. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Jack dado que la carta es una carta facial?
   2. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un corazón dado que la carta es un tres?
   3. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una tarjeta roja dado que la carta es un as?
   4. ¿Los eventos son eventos independientes de Jack y face card? ¿Por qué o por qué no?
   5. ¿Los eventos son eventos independientes de tarjeta roja y as? ¿Por qué o por qué no?
6. Un experimento es rodar dos dados.
   1. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 6 dado que el primer dado es un 5?
   2. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer dado sea un 3 dado que la suma es 11?
   3. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7 dado que el puño muere es un 2?
   4. ¿Los dos eventos son la suma de 6 y el primer morir es un 5 eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?
   5. ¿Los dos eventos son suma de 7 y el primer morir es un 2 eventos independientes? ¿Por qué o por qué no?
7. Le das la vuelta a una moneda cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro sean cabezas?
8. Se lanza una moneda seis veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis sean cabezas?
9. Usted elige tres cartas de una baraja reemplazando la carta cada vez antes de elegir la siguiente carta. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean reyes?
10. Usted elige tres cartas de una baraja sin reemplazar una carta antes de elegir la siguiente carta. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean reyes?
11. El número de personas que sobrevivieron al Titanic según la clase y el sexo está en Ejemplo\(\PageIndex{2}\) (“Enciclopedia Titánica”, 2013). Supongamos que una persona es escogida al azar entre los supervivientes.

    Clase	Sexo		Total
    	Hembra	Macho
    1r	134	59	193
    2do	94	25	119
    3er	80	58	138
    Total	308	142	450

    Cuadro\(\PageIndex{2}\): Sobrevivir al Titanic
    a. ¿Cuál es la probabilidad de que un sobreviviente sea femenino?
    b. ¿Cuál es la probabilidad de que un sobreviviente estuviera en la 1ª clase?
    c. ¿Cuál es la probabilidad de que un sobreviviente sea femenino dado que la persona estaba en 1ra clase?
    d. ¿Cuál es la probabilidad de que un sobreviviente sea femenino y esté en la 1ra clase?
    e. ¿Cuál es la probabilidad de que un sobreviviente sea femenino o de 1ª clase?
    f. son los eventos sobreviviente es una mujer y sobreviviente está en 1ra clase mutuamente excluyentes? ¿Por qué o por qué no?
    g. ¿Los eventos sobreviviente es una mujer y la sobreviviente está en 1ra clase independiente? ¿Por qué o por qué no?

12. Los investigadores observaron grupos de delfines frente a la costa de Irlanda en 1998 para determinar en qué actividades participan los delfines en ciertos momentos del día (“Actividades del delfín”, 2013). Los números en Ejemplo\(\PageIndex{3}\) representan el número de grupos de delfines que estaban participando en una actividad en ciertos momentos de los días.

    Actividad	Periodo				Total
    	Mañana	Mediodía	Tarde	Tarde
    Viajes	6	6	14	13	39
    Feed	28	4	0	56	88
    Social	38	5	9	10	62
    Total	72	15	23	79	189

    Tabla\(\PageIndex{3}\): Delfín Actividad
    a. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de delfines esté participando en viajes?
    b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un grupo de delfines por la mañana?
    c. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de delfines esté participando en viajes dado que es de mañana?
    d. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de delfines esté por la mañana dado que está participando en la socialización?
    e. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de delfines esté por la tarde dado que está participando en la alimentación?
    f. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de delfines esté por la tarde y esté participando en la alimentación?
    g. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de delfines esté cerca por la tarde o esté participando en la alimentación?
    h. ¿Los eventos son el grupo de delfines alrededor por la tarde y el grupo de delfines se alimentan de eventos mutuamente excluyentes? ¿Por qué o por qué no?
    i. ¿Los eventos son el grupo de delfines alrededor por la mañana y el grupo de delfines participa en eventos independientes de viajes? ¿Por qué o por qué no?

Contestar

1. Independiente, ver soluciones

3. Dependiente, ver soluciones

5. a. P (carta Jack/cara) = 0.333, b. P (corazón/tarjeta a 3) = 0.25, c. P (tarjeta roja/as) = 0.50, d. no independiente, ver soluciones, e. independiente, ver soluciones

7. 0.0625

9. \(4.55 \times 10^{-4}\)

11. a. P (femenino) = 0.684, b. P (1a clase) = 0.429, c. P (hembra/1a clase) = 0.694, d. P (femenino y 1a clase) = 0.298, e. P (femenino o 1a clase) = 0.816, f. No, ver soluciones, g. Dependiente, ver soluciones