5.3: Media y Desviación Estándar de la Distribución Binomial

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Si enumera todos los valores posibles de\(x\) en una distribución Binomial, obtiene la Distribución de Probabilidad Binomial (pdf). Se puede dibujar un histograma del pdf y encontrar la media, varianza y desviación estándar del mismo.

Para una distribución general de probabilidad discreta, puede encontrar la media, la varianza y la desviación estándar para un pdf usando las fórmulas generales

\(\mu=\sum x P(x), \sigma^{2}=\sum(x-\mu)^{2} P(x), \text { and } \sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^{2} P(x)}\)

Estas fórmulas son útiles, pero si conoces el tipo de distribución, como Binomial, entonces puedes encontrar la media y la desviación estándar usando fórmulas más fáciles. Se derivan de las fórmulas generales.

Nota

Para una distribución binomial\(\mu\), el número esperado de éxitos\(\sigma^{2}\), la varianza, y\(\sigma\), la desviación estándar para el número de éxitos vienen dados por las fórmulas:

\(\mu=n p \quad \sigma^{2}=n p q \quad \sigma=\sqrt{n p q}\)

Donde p es la probabilidad de éxito y q = 1 - p.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) Finding the Probability Distribution, Mean, Variance, and Standard Deviation of a Binomial Distribution

Al mirar el color de ojos de una persona, resulta que el 1% de las personas en el mundo tiene ojos verdes (“Qué porcentaje de”, 2013). Considera un grupo de 20 personas.

Afirma la variable aleatoria.
Escribe la distribución de probabilidad.
Dibuja un histograma.
Encuentra la media.
Encuentra la varianza.
Encuentra la desviación estándar.

Solución

a. x = número de personas que tienen ojos verdes

b. en este caso es necesario escribir cada valor de x y su probabilidad correspondiente. Es más fácil hacerlo usando el comando binompdf, pero no pongas el valor r. Es posible que desee establecer su calculadora en solo tres decimales, por lo que es más fácil ver los valores y no necesita mucha más precisión que esa. El comando se vería así\(\text{binompdf}(20, .01)\). Esto produce la información en Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Distribución de probabilidad para el número de personas con ojos verdes
x	P (x=r)
0	0.818
1	0.165
2	0.016
3	0.001
4	0.000
5	0.000
6	0.000
7	0.000
8	0.000
9	0.000
10	0.000
\(\vdots\)	\(\vdots\)
20	0.000

Observe que después de x = 4, los valores de probabilidad son todos 0.000. Esto solo significa que son números realmente pequeños.

c. Se puede dibujar el histograma en el TI-83/84 u otra tecnología. La gráfica se vería como en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Captura de pantalla (77) .png — Figura\(\PageIndex{1}\): Histograma creado en TI-83/84

Esta gráfica está muy sesgada a la derecha.

d. Como se trata de un binomio, entonces puedes usar la fórmula\(\mu=n p\). Así que\(\mu=20(0.01)=0.2\) la gente.

Se espera en promedio que de 20 personas, menos de 1 tendría ojos verdes.

e. Como se trata de un binomio, entonces se puede utilizar la fórmula\(\sigma^{2}=n p q\).

\(q=1-0.01=0.99\)

\(\sigma^{2}=20(0.01)(0.99)=0.198 \text { people }^{2}\)

f. una vez que tengas la varianza, solo tienes que tomar la raíz cuadrada de la varianza para encontrar la desviación estándar.

\(\sigma=\sqrt{0.198} \approx 0.445\)

Testo

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que una variable aleatoria, x, surge de un experimento binomial. Supongamos n = 6, y p = 0.13.
1. Escribe la distribución de probabilidad.
2. Dibuja un histograma.
3. Describir la forma del histograma.
4. Encuentra la media.
5. Encuentra la varianza.
6. Encuentra la desviación estándar.
Supongamos que una variable aleatoria, x, surge de un experimento binomial. Supongamos n = 10, y p = 0.81.
1. Escribe la distribución de probabilidad.
2. Dibuja un histograma.
3. Describir la forma del histograma.
4. Encuentra la media.
5. Encuentra la varianza.
6. Encuentra la desviación estándar.
Supongamos que una variable aleatoria, x, surge de un experimento binomial. Supongamos n = 7, y p = 0.50.
1. Escribe la distribución de probabilidad.
2. Dibuja un histograma.
3. Describir la forma del histograma.
4. Encuentra la media.
5. Encuentra la varianza.
6. Encuentra la desviación estándar.
Aproximadamente el 10% de todas las personas son zurdas. Considera una agrupación de quince personas.
1. Afirma la variable aleatoria.
2. Escribe la distribución de probabilidad.
3. Dibuja un histograma.
4. Describir la forma del histograma.
5. Encuentra la media.
6. Encuentra la varianza.
7. Encuentra la desviación estándar.
Según un artículo de la publicación Circulation de la American Heart Association, 24% de los pacientes que habían sido hospitalizados por un infarto agudo de miocardio no llenaron su medicación cardíaca al séptimo día de ser dados de alta (Ho, Bryson & Rumsfeld, 2009). Supongamos que hay doce personas que han sido hospitalizadas por un infarto agudo de miocardio.
1. Afirma la variable aleatoria.
2. Escribe la distribución de probabilidad.
3. Dibuja un histograma.
4. Describir la forma del histograma.
5. Encuentra la media.
6. Encuentra la varianza.
7. Encuentra la desviación estándar.
Eyeglassomatic fabrica anteojos para diferentes minoristas. En marzo de 2010, probaron para ver cuántas lentes defectuosas fabricaban, y había 16.9% lentes defectuosas debido a arañazos. Supongamos que Eyeglassomatic examinó veinte anteojos.
1. Afirma la variable aleatoria.
2. Escribe la distribución de probabilidad.
3. Dibuja un histograma.
4. Describir la forma del histograma.
5. Encuentra la media.
6. Encuentra la varianza.
7. Encuentra la desviación estándar.
La proporción de M&M's marrones en un paquete de chocolate con leche es de aproximadamente 14% (Madison, 2013). Supongamos que un paquete de M&M's normalmente contiene 52 M&M's.
1. Afirma la variable aleatoria.
2. Encuentra la media.
3. Encuentra la varianza.
4. Encuentra la desviación estándar.

Contestar

1. a. Ver soluciones, b. Ver soluciones, c. sesgada a la derecha, d. 0.78, e. 0.6786, f. 0.8238

3. a. Ver soluciones, b. Ver soluciones, c. Simétrico, d. 3.5, e. 1.75, f. 1.3229

5. a. Ver soluciones, b. Ver soluciones, c. Ver soluciones, d. Derecha sesgada, e. 2.88, f. 2.1888, g. 1.479

7. a. Ver soluciones, b. 7.28, c. 6.2608, d. 2.502

Fuentes de datos: 11 hechos poco conocidos sobre zurdos. (2013, 21 de octubre). Recuperado de www.huffingtonpost.com/2012/1... n_2005864.html

CDC-datos y estadísticas, trastornos del espectro autista - ncbdd. (2013, 21 de octubre). Recuperado a partir de http://www.cdc.gov/ncbddd/autism/data.html

Ho, P. M., Bryson, C. L., & Rumsfeld, J. S. (2009). Adherencia a la medicación. Circulación, 119 (23), 3028-3035. Recuperado a partir de http://circ.ahajournals.org/content/119/23/3028

Hogares por edad de cabeza de familia y tamaño del hogar: 1990 a 2010. (2013, 19 de octubre). Recuperado de www.census.gov/compendia/stat... es/12s0062.pdf

Madison, J. (2013, 15 de octubre). Análisis de distribución de color de M&M. Recuperado a partir de http://joshmadison.com/2007/12/02/mm...tion-analysis/

¿Qué porcentaje de personas tiene ojos verdes?. (2013, 21 de octubre). Recuperado de www.ask.com/question/what-per... ave-green-eyes