6.4: Evaluar la normalidad

Se ha asumido que las distribuciones que has visto hasta este punto están distribuidas normalmente, pero ¿cómo se determina si se distribuye normalmente? Una forma es tomar una muestra y mirar la muestra para determinar si parece normal. Si la muestra se ve normal, entonces lo más probable es que la población también lo esté. Aquí hay algunas pautas que se utilizan para ayudar a tomar esa determinación.

1. Histograma: Hacer un histograma. Para una distribución normal, el histograma debe ser aproximadamente en forma de campana. Para muestras pequeñas, esto no es muy preciso, y se necesita otro método. Una distribución puede no verse normalmente distribuida desde el histograma, pero aún así puede distribuirse normalmente.
2. Valores atípicos: Para una distribución normal, no debe haber más de un valor atípico. Una forma de verificar los valores atípicos es usar una gráfica de caja modificada. Los valores atípicos son valores que se muestran como puntos fuera del resto de los valores. Si no tiene una gráfica de caja modificada, los valores atípicos son aquellos valores de datos que son: Por
   encima de Q3, el tercer cuartil, por una cantidad mayor que 1.5 veces el rango intercuartil (IQR) Por
   debajo de Q1, el primer cuartil, por una cantidad mayor que 1.5 veces el rango intercuartil (IQR)

   Nota

   Si hay un valor atípico, ese valor atípico podría tener un efecto dramático en los resultados sobre todo si se trata de un valor atípico extremo. No obstante, hay momentos en los que una distribución tiene más de un valor atípico, pero todavía se distribuye normalmente. La pauta de un solo valor atípico es solo una pauta.

3. Gráfica cuantil normal (o gráfica de probabilidad normal): Esta gráfica se proporciona a través de software estadístico en una computadora o calculadora gráfica. Si los puntos se encuentran cerca de una línea, los datos provienen de una distribución que es aproximadamente normal. Si los puntos no se encuentran cerca de una línea o muestran un patrón que no es una línea, es probable que los datos provengan de una distribución que normalmente no se distribuye.

Para crear un histograma en el TI-83/84:

1. Entra en el menú STAT y luego elige 1: Editar
   
   figura\(\PageIndex{1}\): Menú STAT en TI-83/84
2. Escriba sus valores de datos en L1.
3. Ahora haga clic en STAT PLOT (\(2^{\text { nd }} Y=\)).
   
   Figura\(\PageIndex{2}\): Menú STAT PLOT en TI-83/84
4. Utilice 1:Parque1. Presione ENTER.
   
   Figura\(\PageIndex{3}\): Menú Plot1 en TI-83/84
5. Verás una nueva ventana. Lo primero que quieres hacer es encender la trama. En este punto deberías estar encendido, solo tienes que pulsar ENTRAR. Hará On oscuro.
6. Ahora flecha hacia abajo a Tipo: y flecha a la derecha a la gráfica que parece un histograma (3º desde la izquierda en la fila superior).
7. Ahora flecha hacia abajo a Xlist. Asegúrate de que esto dice L1. Si no lo hace, entonces pon ahí L1 (2do número 1). Freq: debe ser un 1.
   
   Figura\(\PageIndex{4}\): Menú Traza1 en TI-83/84 Configuración para Histograma
8. Ahora necesitas configurar la ventana correcta para graficar. Haga clic en VENTANA. Es necesario configurar los ajustes para la variable x. Xmin debe ser su valor de datos más pequeño. Xmax solo debería ser un valor lo suficientemente por encima de su valor de datos más alto, pero no demasiado alto. Xscl es el ancho de tu clase que calculaste. Ymin debería ser 0 y Ymax debería estar por encima de lo que crees que va a ser la frecuencia más alta. Siempre puedes cambiar esto si es necesario. Yscl es la frecuencia con la que le gustaría ver una marca de verificación en el eje y.
9. Ahora presione GRAPADO. Verás un histograma.

Para encontrar el IQR y crear un diagrama de caja en el TI-83/84:

1. Vaya al menú STAT y luego elija 1:Editar
   
   Figura\(\PageIndex{5}\): Menú STAT en TI-83/84
2. Escriba sus valores de datos en L1. Si L1 tiene datos en él, flecha hacia arriba hasta el nombre L1, haga clic en CLEAR y luego presione ENTRAR. Ahora se borrará la columna y podrá escribir los datos en.
3. Entra en el menú STAT, pasa a CALC y elige Estadísticas 1-Var. Presione ENTER, luego escriba L1 (2nd 1) y luego ENTER. Esto te dará las estadísticas resumidas. Si presionas la flecha hacia abajo, verás el resumen de cinco números.
4. Para dibujar la trama de caja presione 2da STAT PLOT.
   
   Figura\(\PageIndex{6}\): Menú STAT PLOT en TI-83/84
5. Utilice Plot1. Presione INTRO
   
   Figura\(\PageIndex{7}\): Menú Traza1 en TI-83/84 Configuración para Gráfica de Caja
6. Ponga el cursor en Encendido y pulse Intro para activar la trama. Use la flecha hacia abajo y la flecha derecha para resaltar la gráfica de caja en el medio de la segunda fila de tipos y luego presione ENTRAR. Establezca la Lista de Datos en L1 (ya podría decir eso) y deje Freq como 1.
7. Ahora dígale a la calculadora la configuración para las unidades en el eje x para que pueda ver toda la parcela. La calculadora lo hará automáticamente si presionas ZOOM, que está en el medio de la fila superior.
   
   Figura\(\PageIndex{8}\): Menú ZOOM en TI-83/84
   Luego use la flecha hacia abajo para llegar a 9:ZoomStat y presione ENTRAR. Se dibujará la trama de caja.
   
   Figura\(\PageIndex{9}\): Menú ZOOM en TI-83/84 con ZoomStat

Para crear una gráfica de cuantiles normales en el TI-83/84

1. Entra en el menú STAT y luego elige 1:Editar
   
   figura\(\PageIndex{10}\): Menú STAT en TI-83/84
2. Escriba sus valores de datos en L1. Si L1 tiene datos en él, flecha hacia arriba hasta el nombre L1, haga clic en CLEAR y luego presione ENTRAR. Ahora se borrará la columna y podrá escribir los datos en.
3. Ahora haga clic en STAT PLOT (\(2^{\text { nd }} Y=\)). Tienes tres parcelas estadísticas para elegir.
   
   Figura\(\PageIndex{11}\): Menú STAT PLOT en TI-83/84
4. Utilice 1:Parque1. Presione ENTER.
5. Ponga el cursor sobre la palabra On y presione ENTRAR. Esto enciende la trama. Flecha abajo a Type: y usa la flecha derecha para moverte a la última gráfica (parece una gráfica lineal creciente). Establezca la Lista de Datos en L1 (ya podría decir eso) y establezca el Eje de Datos en Y. La Marca depende de usted.
   
   Figura\(\PageIndex{12}\): Menú Traza1 en Configuración TI-83/84 para Gráfica Cuantil Normal
6. Ahora es necesario configurar la ventana correcta en la que graficar. Haga clic en VENTANA. Es necesario configurar los ajustes para la variable x. Xmin debe ser -4. Xmax debe ser 4. Xscl debe ser 1. Ymin e Ymax se basan en tus datos, el Ymin debería estar por debajo de tu valor de datos más bajo e Ymax debería estar por encima de tu valor de datos más alto. Yscl es la frecuencia con la que le gustaría ver una marca de verificación en el eje y.
7. Ahora presione GRAPADO. Verás la trama cuantil normal.

Para crear un histograma en R:

Poner la variable en el uso de variable<-c (escriba los datos con comas entre valores) usando un nombre para la variable que tenga sentido para el problema. El comando para histograma es hist (variable). A continuación, puede copiar el histograma en un programa de procesamiento de textos. Hay opciones que puedes poner para etiquetas de título y ejes. Consulte la sección 2.2 para conocer los comandos de esos.

Para crear una gráfica de caja modificada en R:

Poner la variable en el uso de variable<-c (escriba los datos con comas entre valores) usando un nombre para la variable que tenga sentido para el problema. El comando para la gráfica de caja es boxplot (variable). A continuación, puede copiar la trama de caja en un programa de procesamiento de textos. Hay opciones que puede incluir para etiquetas de título, orientación horizontal y ejes. Consulte la sección 3.3 para conocer los comandos de esos.

Para crear una gráfica de cuantiles normales en R:

Poner la variable en el uso de variable<-c (escriba los datos con comas entre valores) usando un nombre para la variable que tenga sentido para el problema. El comando para la gráfica cuantil normal es qqnorm (variable). A continuación, puede copiar la gráfica cuantil normal en un programa de procesamiento de textos.

Date cuenta de que tu variable aleatoria puede estar normalmente distribuida, incluso si la muestra falla en las tres pruebas. Sin embargo, si el histograma definitivamente no se ve simétrico y en forma de campana, hay valores atípicos que son muy extremos, y la gráfica de probabilidad normal no parece lineal, entonces puedes estar bastante seguro de que el conjunto de datos no proviene de una población que normalmente se distribuye.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) is it normal?

En Kiama, NSW, Australia, hay una sopladura. Los datos en la tabla #6 .4.1 son tiempos en segundos entre erupciones (“Kiama blowhole eruptions”, 2013). ¿Los datos provienen de una población que normalmente se distribuye?

Tabla\(\PageIndex{1}\): Tiempo (en segundos) entre erupciones de soplo de Kiama

83	51	87	60	28	95	8	27
15	10	18	16	29	54	91	8
17	55	10	35	47	77	36	17
21	36	18	40	10	7	34	27
28	56	8	25	68	146	89	18
73	69	9	37	10	82	29	8
60	61	61	18	169	25	8	26
11	83	11	42	17	14	9	12

1. Declarar la variable aleatoria
2. Dibuja un histograma.
3. Encuentra el número de valores atípicos.
4. Dibuja la gráfica cuantil normal.
5. ¿Los datos provienen de una población que normalmente se distribuye?

Solución

a. x = tiempo en segundos entre erupciones de Kiama Blowhole

b. El histograma producido está en la Figura\(\PageIndex{13}\).

Figura\(\PageIndex{13}\): Histograma para la Sopladora de Kiama

Esto parece sesgado a la derecha y no simétrico.

c. La gráfica de caja está en la Figura\(\PageIndex{14}\).

Figura\(\PageIndex{14}\): Gráfica de Caja Modificada de TI-83/83 para Sopladora Kiama

Hay dos valores atípicos. En lugar de usar:

\(I Q R=Q 3-Q 1=60-14.5=45.5\)segundos

\(1.5 * I Q R=1.5 * 45.5=68.25\)segundos

\(Q 1-1.5^{*} I Q R=14.5-68.25=-53.75\)segundos

\(Q 3+1.5 * I Q R=60+68.25=128.25\)segundos

Los valores atípicos son cualquier número mayor que 128.25 segundos y menor que -53.75 segundos. Dado que todos los números son medidas de tiempo, entonces ningún valor de datos es menor que 0 o segundos para el caso. Hay dos números que superan los 128.25 segundos, por lo que hay dos valores atípicos. Dos valores atípicos no son indicios reales de que la muestra no proviene de una distribución normal, pero el hecho de que ambos estén muy por encima de 128.25 segundos es una indicación de un problema.

d. La gráfica de cuantiles normales se encuentra en la Figura\(\PageIndex{15}\).

Figura\(\PageIndex{15}\): Gráfica de probabilidad normal

Esta gráfica se parece más a un crecimiento exponencial que lineal.

e. Considerando que el histograma está sesgado a la derecha, hay dos valores atípicos extremos, y la gráfica de probabilidad normal no se ve lineal, entonces la conclusión es que esta muestra no es de una población que se distribuye normalmente.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) is it normal?

Una forma de medir la inteligencia es con un puntaje de CI. \(\PageIndex{2}\)El ejemplo contiene 50 puntajes de CI. Determinar si la muestra proviene de una población que se distribuye normalmente.

Tabla\(\PageIndex{2}\): Puntajes de CI

78	92	96	100	67	105	109	75	127	111
93	114	82	100	125	67	94	74	81	98
102	108	81	96	103	91	90	96	86	92
84	92	90	103	115	93	85	116	87	106
85	88	106	104	102	98	116	107	102	89

1. Declarar la variable aleatoria.
2. Dibuja un histograma.
3. Encuentra el número de valores atípicos.
4. Dibuja la gráfica cuantil normal.
5. ¿Los datos provienen de una población que normalmente se distribuye?

Solución

a. x = Puntuación IQ

b. El histograma está en la Figura\(\PageIndex{16}\).

Figura\(\PageIndex{16}\): Histograma para IQ Score

Esto parece algo simétrico, aunque podría pensarse como ligeramente sesgado a la derecha.

c. La gráfica de caja modificada se encuentra en la Figura\(\PageIndex{17}\).

Figura\(\PageIndex{17}\): Salida de TI-83/84 para IQ Score

No hay valores atípicos.

O usando valores atípicos

\(I Q R=Q 3-Q 1=105-87=18\)

\(1.5^{*} I Q R=1.5^{*} 18=27\)

\(Q 1 -1.5 I Q R=87-27=60\)

\(Q 3+1.5 I Q R=105+27=132\)

son cualquier número mayor que 132 y menor que 60. Dado que el número máximo es 127 y el mínimo es 67, no hay valores atípicos.

d. La gráfica de cuantiles normales se encuentra en la Figura\(\PageIndex{18}\).

Figura\(\PageIndex{18}\): Gráfica de cuantiles normales

Esta gráfica se ve bastante lineal.

e. Considerando que el histograma es algo simétrico, no hay valores atípicos, y la gráfica de probabilidad normal se ve lineal, entonces la conclusión es que esta muestra es de una población que normalmente se distribuye.

Testo

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. Los datos de colesterol se recolectaron en pacientes cuatro días después de sufrir un ataque cardíaco. Los datos están en Ejemplo\(\PageIndex{3}\). Determinar si los datos son de una población que normalmente se distribuye.

   Tabla\(\PageIndex{3}\): Datos de colesterol recopilados cuatro días después de un ataque cardíaco

   218	234	214	116	200	276	146
   182	238	288	190	236	244	258
   240	294	220	200	220	186	352
   202	218	248	278	248	270	242

2. El tamaño de los peces es muy importante para la pesca comercial. Un estudio realizado en 2012 recolectó las longitudes del bacalao del Atlántico capturado en redes en Karlskrona (Ovejard, Berndt & Lunneryd, 2012). Los datos basados en la información del estudio se encuentran en Ejemplo\(\PageIndex{4}\). Determinar si los datos son de una población que normalmente se distribuye.

   Tabla\(\PageIndex{4}\): Largo de Bacalao Atlántico

   48	50	50	55	53	50	49	52
   61	48	45	47	53	46	50	48
   42	44	50	60	54	48	50	49
   53	48	52	56	46	46	47	48
   48	49	52	47	51	48	45	47

3. El Proyecto MONICA de la OMS recopiló datos de presión arterial para personas en China (Kuulasmaa, Hense & Tolonen, 1998). Los datos basados en la información del estudio se encuentran en Ejemplo\(\PageIndex{5}\). Determinar si los datos son de una población que normalmente se distribuye.

   Tabla\(\PageIndex{5}\): Valores de presión arterial para personas en China

   114	141	154	137	131	132	133	156	119
   138	86	122	112	114	177	128	137	140
   171	129	127	104	97	135	107	136	118
   92	182	150	142	97	140	106	76	115
   119	125	162	80	138	124	132	143	119

4. Las lluvias anuales para Sydney, Australia se dan en Ejemplo\(\PageIndex{6}\). (“Máximos anuales de,” 2013). ¿Se puede suponer que la precipitación se distribuye normalmente?

   Tabla\(\PageIndex{6}\): Lluvias anuales en Sydney, Australia

   146.8	383	90.9	178.1	267.5	95.5	156.5	180
   90.9	139.7	200.2	171.7	187.2	184.9	70.1	58
   84.1	55.6	133.1	271.8	135.9	71.9	99.4	110.6
   47.5	97.8	122.7	58.4	154.4	173.7	118.8	88
   84.6	171.5	254.3	185.9	137.2	138.9	96.2	85
   45.2	74.7	264.9	113.8	133.4	68.1	156.4

Contestar

1. Distribuido normalmente

3. Distribuido normalmente