7.2: Prueba de proporción de una muestra

Hay muchos parámetros diferentes que puedes probar. Hay una prueba para la media, tal como se introdujo con la prueba z. También hay una prueba para la proporción poblacional, p. Aquí es donde podrías tener curiosidad si la proporción de estudiantes que fuman en tu escuela es menor que la proporción en tu zona. O podría cuestionarse si la proporción de accidentes causados por conductores adolescentes que no tienen una clase de educación de conductores es mayor que la proporción nacional.

Para probar una proporción poblacional, hay algunas cosas que deben definirse primero. Generalmente, las letras griegas se utilizan para los parámetros y las letras latinas para las estadísticas. Cuando se habla de proporciones, tiene sentido usar p para proporción. La letra griega para p es\(\pi\), pero eso es demasiado confuso de usar. En cambio, lo mejor es usar p para la proporción poblacional. Eso significa que se necesita un símbolo diferente para la proporción de muestra. El convenio es usar,\(\hat{p}\), conocido como p-hat. De esta manera se sabe que p es la proporción poblacional, y esa\(\hat{p}\) es la proporción muestral relacionada con ella.

Ahora las pruebas de proporción se tratan de buscar el porcentaje de individuos que tienen un atributo particular. Realmente estás buscando la cantidad de éxitos que suceden. Así, una prueba de proporción implica una distribución binomial.

Prueba de hipótesis para una proporción de población (prueba 1-prop)

1. Declarar la variable aleatoria y el parámetro en palabras.
   x = número de éxitos
   I = proporción de éxitos
2. Exponer las hipótesis nulas y alternativas y el nivel de significación
   \(H_{o} : p=p_{o}\), donde\(p_{o}\) está la proporción conocida
   \(H_{A} : p<p_{o}\)
   \(H_{A} : p>p_{o}\), usa la apropiada para tu problema
   \(H_{A} : p \neq p_{o}\)
   También, indica tu\(\alpha\) nivel aquí.
3. Declarar y verificar los supuestos para una prueba de hipótesis
   1. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n.
   2. Se cumplen las condiciones para la distribución binomial
   3. Para determinar la distribución de muestreo de\(\hat{p}\), es necesario mostrar eso\(n p \geq 5\) y\(n q \geq 5\), dónde\(q=1-p\). Si este requisito es cierto, entonces la distribución de muestreo de\(\hat{p}\) es bien aproximada por una curva normal.
4. Encuentre el estadístico de muestra, el estadístico de prueba y el valor p Proporción de la
   muestra: Estadística de
   \(\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{\# \text { of successes }}{\# \text { of trials }}\)
   prueba:
   \(z=\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\stackrel{p q}{n}}}\)
   valor p:
   TI-83/84: Usar normalcdf (límite inferior, límite superior, 0, 1)

   Nota

   si\(H_{A} : p<p_{o}\), entonces el límite inferior es\(-1 E 99\) y el límite superior es su estadística de prueba. Si\(H_{A} : p>p_{o}\), entonces el límite inferior es su estadística de prueba y el límite superior es\(1 E 99\). Si\(H_{A} : p \neq p_{o}\), entonces encuentra el valor p para\(H_{A} : p<p_{o}\), y multiplica por 2.

   R: Usar pnorm (z, 0, 1)

   Nota

   Si\(H_{A} : p<p_{o}\), entonces puedes usar pnorm. Si\(H_{A} : p>p_{o}\), entonces hay que encontrar pnorm y luego restar de 1. Si\(H_{A} : p \neq p_{o}\), entonces encuentra el valor p para\(H_{A} : p<p_{o}\), y multiplica por 2.

5. Conclusión
   Aquí es donde escribes rechazar\(H_{o}\) o no rechazar\(H_{o}\). La regla es: si el valor p <\(\alpha\), entonces rechazar\(H_{o}\). Si el valor p\(\geq \alpha\), entonces no puede rechazar\(H_{o}\).
6. Interpretación
   Aquí es donde interpretas en términos del mundo real la conclusión a la prueba. La conclusión para una prueba de hipótesis es que o bien tienes suficiente evidencia para demostrar que\(H_{A}\) es verdad, o no tienes suficiente evidencia para demostrar que\(H_{A}\) es verdad.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) hypothesis test for one proportion using formula

En Australia se planteó la preocupación de que el porcentaje de muertes de presos aborígenes era superior al porcentaje de muertes de presos no aborígenes, que es de 0.27%. Se recolectó una muestra de seis años (1990-1995) de datos, y se encontró que de 14 mil 495 presos aborígenes, 51 fallecieron (“Muertes indígenas en”, 1996). ¿Los datos aportan pruebas suficientes para mostrar que la proporción de muertes de presos aborígenes es superior al 0.27%?

1. Declarar la variable aleatoria y el parámetro en palabras.
2. Declarar las hipótesis nulas y alternativas y el nivel de significación.
3. Declarar y verificar los supuestos para una prueba de hipótesis.
4. Encuentre el estadístico de muestra, el estadístico de prueba y el valor p.
5. Conclusión
6. Interpretación

Solución

1. x = número de presos aborígenes que mueren

p = proporción de presos aborígenes que mueren

2. \(\begin{array}{l}{H_{o} : p=0.0027} \\ {H_{A} : p>0.0027}\end{array}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\) b argumentó que el\(\alpha =0.05\).

3.

1. Se tomó una muestra aleatoria simple de 14.495 prisioneros aborígenes. Sin embargo, la muestra no fue una muestra aleatoria, ya que se trataba de datos de seis años. Son los números para todos los presos en estos seis años, pero los seis años no fueron escogidos al azar. A menos que haya algo especial en los seis años que se eligieron, la muestra es probablemente una muestra representativa. Esta suposición probablemente se cumpla.
2. En este caso hay 14 mil 495 presos. Los presos son todos aborígenes, así que no estás mezclando aborígenes con prisioneros no aborígenes. Sólo hay dos resultados, o el preso muere o no, la posibilidad de que un preso muera sobre otro puede no ser constante, pero si se considera que todos los presos son iguales, entonces puede estar cerca de la misma probabilidad. Así se cumplen las condiciones para la distribución binomial
3. En este caso p = 0.0027 y n = 14,495. \(n p=14495^{*} 0.0027 \approx 39 \geq 5\)y\(n q=14495^{*}(1-0.0027) \approx 14456 \geq 5\). Entonces, la distribución de muestreo para\(\hat{p}\) es una distribución normal.

4. Proporción de muestra:

x = 51

n = 14495

\(\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{51}{14495} \approx 0.003518\)

Estadística de prueba:

\(z=\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p q}{n}}}=\dfrac{0.003518-0.0027}{\sqrt{\dfrac{0.0027(1-0.0027)}{14495}}} \approx 1.8979\)

valor p:

TI-83/84: valor p =\(P(z>1.8979)=\text { normalcdf }(1.8979,1 E 99,0,1) \approx 0.029\)

R: valor p =\(P(z>1.8979)=1-\text { pnorm }(1.8979,0,1) \approx 0.029\)

5. Desde el valor p < 0.05, luego rechazar\(H_{o}\).

6. Hay pruebas suficientes para demostrar que la proporción de muertes de presos aborígenes es mayor que la de los no aborígenes.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) hypothesis test for one proportion using technology

Un investigador que está estudiando los efectos de los niveles de ingresos en la lactancia materna de los infantes plantea la hipótesis de que los países donde el nivel de ingresos es menor tienen una tasa de lactancia infantil más alta que los países de mayores ingresos. Se sabe que en Alemania, considerado un país de altos ingresos por el Banco Mundial, 22% de todos los bebés son amamantados. En Tayikistán, considerado un país de bajos ingresos por el Banco Mundial, los investigadores encontraron que en una muestra aleatoria de 500 nuevas madres que 125 estaban amamantando a su bebé. Al nivel de significancia del 5%, ¿muestra esto que los países de bajos ingresos tienen un mayor incidente de lactancia materna?

1. Indica tu variable aleatoria y el parámetro en palabras.
2. Declarar las hipótesis nulas y alternativas y el nivel de significación.
3. Declarar y verificar los supuestos para una prueba de hipótesis.
4. Encuentre el estadístico de muestra, el estadístico de prueba y el valor p.
5. Conclusión
6. Interpretación

Solución

1. x = número de mujeres que amamantan en un país de bajos ingresos

p = proporción de mujeres que amamantan en un país de bajos ingresos

2. \(\begin{array}{l}{H_{o} : p=0.22} \\ {H_{A} : p>0.22} \\ {\alpha=0.05}\end{array}\)

3.

1. Se tomó una muestra aleatoria simple de 500 hábitos de lactancia materna de mujeres en un país de bajos ingresos como se indicó en el problema.
2. Había 500 mujeres en el estudio. Las mujeres son consideradas idénticas, aunque probablemente tengan algunas diferencias. Solo hay dos resultados, o la mujer amamanta o no lo hace La probabilidad de que una mujer amamante probablemente no sea la misma para cada mujer, pero probablemente no sea muy diferente para cada mujer. Se cumplen las condiciones para la distribución binomial
3. En este caso, n = 500 y p = 0.22. \(n p=500(0.22)=110 \geq 5\)y\(n q=500(1-0.22)=390 \geq 5\), por lo que la distribución muestral de\(\hat{p}\) está bien aproximada por una curva normal.

4. Esta vez, todos los cálculos se harán con tecnología. En la calculadora TI-83/84. Entra en el menú STAT y luego haz la flecha hacia PRUEBAS. Esta prueba es una 1-PROPZTest. Luego escriba la información tal y como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Configuración para Prueba de 1 Proporción

Una vez que presione Calcular, verá los resultados como en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Resultados para la Prueba de 1 Proporción

La z en los resultados es el estadístico de prueba. El p = 0.052683219 es el valor p, y el\(\hat{p}=0.25\) es la proporción muestral.

El valor p es aproximadamente 0.053.

En R, el comando es prop.test (x, n, po, alternative = “less” or “mayor”), donde po es lo\(\mathrm{H}_{\mathrm{o}}\) que dice p igual, y usas menos si tu\(\mathrm{H}_{\mathrm{A}}\) es menor y mayor si tu\(\mathrm{H}_{\mathrm{A}}\) es mayor. Si tu no\(\mathrm{H}_{\mathrm{A}}\) es igual a, entonces deja fuera la declaración alternativa. Entonces para este ejemplo, el comando sería prop.test (125, 500, .22, alternative = “mayor”)

Prueba de proporciones de 1 muestra con corrección de continuidad

datos: 125 de 500, probabilidad nula 0.22

X-cuadrado = 2.4505, df = 1, valor p = 0.05874

hipótesis alternativa: p verdadera es mayor que 0.22

Intervalo de confianza del 95 por ciento:

0.218598 1.000000

estimaciones de la muestra:

p

0.25

Nota

R hace una corrección de continuidad que la fórmula y la calculadora TI-83/84 no hacen. Se puede poner en un comando que diga no usar la corrección de continuidad, pero es correcto usarlo. Además, R no da el estadístico de prueba z, así que no tienes que preocuparte por esto. Da un valor p que está ligeramente desviado de la fórmula y de la calculadora debido a la corrección de continuidad.

valor p = 0.05874

5. Dado que el valor p es superior a 0.05, no se rechaza\(H_{o}\).

6. No hay pruebas suficientes para demostrar que la proporción de mujeres que amamantan en los países de bajos ingresos es mayor que en los países de altos ingresos.

Observe, la conclusión es que no había pruebas suficientes para mostrar lo\(H_{1}\) dicho. La conclusión no fue que demostraste ser\(H_{o}\) cierto. Hay muchas razones por las que no se puede decir que eso\(H_{o}\) es cierto. Podría ser que los países que eligió no fueran muy representativos de lo que realmente sucede. Si en cambio miraste a todos los países de ingresos altos y los comparaste con los países de bajos ingresos, podrías tener resultados diferentes. También podría ser que la muestra que recolectaste en el país de bajos ingresos no fuera representativa. También podría ser que el nivel de ingresos no sea un indicio de hábitos de lactancia materna. Podría haber otros factores involucrados. Es por ello que no se puede decir que ha demostrado que\(H_{o}\) es cierto. Hay demasiados otros factores que podrían ser la razón por la que no rechazaste\(H_{o}\).

Testo

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En cada problema se muestran todos los pasos de la prueba de hipótesis. Si no se cumplen algunos de los supuestos, tenga en cuenta que los resultados de la prueba pueden no ser correctos y luego continuar el proceso de la prueba de hipótesis.

1. Eyeglassomatic fabrica anteojos para diferentes minoristas. Prueban para ver cuántas lentes defectuosas fabricaron en un periodo de tiempo determinado y encontraron que el 11% de todas las lentes tenían defectos de algún tipo. Al observar el tipo de defectos, encontraron en un periodo de tiempo de tres meses que de 34,641 lentes defectuosas, 5865 fueron por rasguños. ¿Hay más defectos por arañazos que por todas las demás causas? Utilizar un nivel de significancia de 1%.
2. En julio de 1997, se preguntó a los australianos si pensaban que el desempleo aumentaría, y 47% pensó que aumentaría. En noviembre de 1997, se les volvió a preguntar. En ese momento 284 de 631 dijeron que pensaban que aumentaría el desempleo (“Encuesta Morgan gallup”, 2013). En el nivel del 5%, ¿hay pruebas suficientes para demostrar que la proporción de australianos en noviembre de 1997 que creen que el desempleo aumentaría es menor que la proporción que consideró que aumentaría en julio de 1997?
3. Según el informe de la Comisión Federal de Comercio de febrero de 2008 sobre fraude al consumidor y robo de identidad, 23% de todas las denuncias en 2007 fueron por robo de identidad. En ese año, Arkansas tuvo 1,601 denuncias de robo de identidad de un total de 3,482 quejas de consumidores (“Fraude al consumidor y”, 2008). ¿Estos datos proporcionan evidencia suficiente para mostrar que Arkansas tuvo una mayor proporción de robo de identidad que 23%? Prueba al nivel del 5%.
4. Según el informe de la Comisión Federal de Comercio de febrero de 2008 sobre fraude al consumidor y robo de identidad, 23% de todas las denuncias en 2007 fueron por robo de identidad. En ese año, Alaska tenía 321 denuncias de robo de identidad de un total de 1,432 quejas de consumidores (“Fraude al consumidor y”, 2008). ¿Estos datos proporcionan evidencia suficiente para mostrar que Alaska tuvo una proporción menor de robo de identidad que 23%? Prueba al nivel del 5%.
5. En 2001, la encuesta de Gallup encontró que 81% de los adultos estadounidenses creían que había una conspiración en la muerte del presidente Kennedy. En 2013, la encuesta de Gallup preguntó a 1,039 adultos estadounidenses si creen que hubo una conspiración en el asesinato, y encontró que 634 creen que hubo una conspiración (“Gallup news service”, 2013). ¿Los datos muestran que la proporción de estadounidenses que creen en esta conspiración ha disminuido? Prueba al nivel del 1%.
6. En 2008, había 507 niños en Arizona de los 32 mil 601 que fueron diagnosticados con Trastorno del Espectro Autista (TEA) (“Autismo y desarrollo”, 2008). A nivel nacional 1 de cada 88 niños son diagnosticados con TEA (“Características de los CDC -”, 2013). ¿Hay datos suficientes para demostrar que el incidente de TEA es más en Arizona que a nivel nacional? Prueba al nivel del 1%.

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