20.3: Haciendo Estimación Bayesiana

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En última instancia queremos utilizar la estadística bayesiana para tomar decisiones sobre hipótesis, pero antes de hacerlo necesitamos estimar los parámetros que son necesarios para tomar la decisión. Aquí caminaremos por el proceso de estimación bayesiana. Usemos otro ejemplo de cribado: Cribado de seguridad aeroportuaria. Si vuelas mucho, es solo cuestión de tiempo hasta que una de las proyecciones explosivas aleatorias vuelva positiva; tuve la experiencia particularmente desafortunada de que esto sucediera poco después del 11 de septiembre de 2001, cuando el personal de seguridad del aeropuerto estaba especialmente al borde.

Lo que el personal de seguridad quiere saber es cuál es la probabilidad de que una persona esté portando un explosivo, dado que la máquina ha dado una prueba positiva. Analicemos cómo calcular este valor utilizando el análisis bayesiano.

20.3.1 Especificar el

Para usar el teorema de Bayes, primero necesitamos especificar la probabilidad previa para la hipótesis. En este caso, no sabemos el número real pero podemos suponer que es bastante pequeño. Según la FAA, en 2017 había 971,595,898 pasajeros aéreos en Estados Unidos. Digamos que uno de esos viajeros llevaba un explosivo en su bolsa —eso daría una probabilidad previa de 1 de 971 millones, ¡lo cual es muy pequeño! El personal de seguridad pudo haber sostenido razonablemente un prior más fuerte en los meses posteriores al ataque del 11 de septiembre, así que digamos que su creencia subjetiva era que uno de cada millón de volantes transportaba un explosivo.

20.3.2 Recopilar algunos datos

Los datos están compuestos por los resultados de la prueba de detección de explosivos. Digamos que el personal de seguridad pasa la bolsa por su aparato de pruebas 3 veces, y da una lectura positiva en 3 de las 3 pruebas.

20.3.3 Computación de la probabilidad

Queremos calcular la probabilidad de los datos bajo la hipótesis de que hay un explosivo en la bolsa. Digamos que sabemos (del fabricante de la máquina) que la sensibilidad de la prueba es de 0.99 —es decir, cuando un dispositivo está presente, lo detectará 99% de las veces. Para determinar la probabilidad de nuestros datos bajo la hipótesis de que un dispositivo está presente, podemos tratar cada prueba como un ensayo de Bernoulli (es decir, un ensayo con un resultado verdadero o falso) con una probabilidad de éxito de 0.99, que podemos modelar usando una distribución binomial.

20.3.4 Computación de la probabilidad marginal

También necesitamos conocer la probabilidad general de los datos, es decir, encontrar 3 positivos de 3 pruebas. El cálculo de la probabilidad marginal suele ser uno de los aspectos más difíciles del análisis bayesiano, pero para nuestro ejemplo es sencillo porque podemos aprovechar la forma específica del teorema de Bayes para un resultado binario que introdujimos en la Sección 10.7:

$P (E|T) =\ frac {P (T|E) *P (E)} {P (T|E) *P (E) + P (T|\ neg E) *P (\ neg E)}$

donde $E$ se refiere a la presencia de explosivos, y $T$ se refiere a un resultado de prueba postivo.

La probabilidad marginal en este caso es un promedio ponderado de la probabilidad de los datos bajo presencia o ausencia del explosivo, multiplicado por la probabilidad de que el explosivo esté presente (es decir, el previo). En este caso, digamos que sabemos (del fabricante) que la especificidad de la prueba es de 0.99, de tal manera que la probabilidad de un resultado positivo cuando no hay explosivo ( $P (T|\ neg E)$ ) es 0.01.

20.3.5 Computación de la parte posterior

Ahora tenemos todas las partes que necesitamos para calcular la probabilidad posterior de que un explosivo esté presente, dados los 3 resultados positivos observados de 3 pruebas.
Este resultado nos muestra que la probabilidad posterior de un explosivo en la bolsa dadas estas pruebas positivas (0.492) es poco menos del 50%, destacando nuevamente el hecho de que las pruebas para eventos raros casi siempre son susceptibles de producir un alto número de falsos positivos, incluso cuando la especificidad y la sensibilidad son muy altas.

Un aspecto importante del análisis bayesiano es que puede ser secuencial. Una vez que tenemos el posterior de un análisis, ¡puede convertirse en el previo para el siguiente análisis!