28.1: Probando el Valor de una Media Única

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La pregunta más sencilla que podríamos querer hacerle a una media es si tiene un valor específico. Digamos que queremos probar si el valor medio del IMC en adultos a partir del conjunto de datos de NHANES es superior a 25, que es el punto de corte más bajo para tener sobrepeso según los Centros para el Control de Enfermedades de Estados Unidos. Tomamos una muestra de 200 adultos para poder hacer esta pregunta.

Una forma sencilla de probar esta diferencia es usar una prueba llamada prueba de signos, que pregunta si la proporción de diferencias positivas entre el valor real y el valor hipotético es diferente de lo que esperaríamos por casualidad. Para ello, tomamos las diferencias entre cada punto de datos y el valor medio hipotético y calculamos su signo. En nuestra muestra, vemos que 66.0 por ciento de los individuos tienen un IMC mayor a 25. Entonces podemos usar una prueba binomial para preguntar si esta proporción de diferencias positivas es mayor a 0.5, usando la función binom.test () en R:

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  npos and nrow(NHANES_sample)
## number of successes = 132, number of trials = 200, p-value = 4e-06
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6 1.0
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.66

Aquí vemos que la proporción de individuos con signos positivos sería muy sorprendente bajo la hipótesis nula de $p=0.5$ .

También podemos hacer esta pregunta usando la prueba t de Student, que ya has encontrado anteriormente en el libro. Nos referiremos a la media como $\ bar {X}$ y la población hipotética media como $\ mu$ . Entonces, la prueba t para una sola media es:

$t =\ frac {\ bar {X} -\ mu} {SEM}$ donde SEM (como recordarás del capítulo sobre muestreo) se define como:

$SEM =\ frac {\ sombrero {\ sigma}} {\ sqrt {n}}$

En esencia, el estadístico t pregunta qué tan grande es la desviación de la media de la muestra de la cantidad hipotética con respecto a la variabilidad muestral de la media.

Podemos calcular esto para el conjunto de datos NHANES usando la función t.test () en R:

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  NHANES_adult$BMI
## t = 38, df = 4785, p-value <2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 25
## 95 percent confidence interval:
##  29 29
## sample estimates:
## mean of x 
##        29

Esto nos muestra que el IMC medio en el conjunto de datos (28.79) es significativamente mayor que el límite para el sobrepeso.