4.4: Filtrado Lineal
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Un filtro lineal utiliza coeficientes específicos(ψs:s∈Z), llamados función de respuesta de impulso, para transformar una serie de entrada débilmente estacionaria(Xt:t∈Z) en una serie de salida(Yt:t∈Z) a través de
Yt=∞∑s=−∞ψsXt−s,t∈Z,
donde∑∞s=−∞|ψs|<∞. Luego, la función de respuesta de frecuencia
Ψ(ω)=∞∑s=−∞ψsexp(−2πiωs)
está bien definido. Obsérvese que la media móvil de dos puntos del Ejemplo 4.2.2 y la secuencia diferenciada∇Xt son ejemplos de filtros lineales. Por otro lado, cualquier proceso\/causal ARMA puede identificarse como un filtro lineal aplicado a una secuencia de ruido blanco. Implícitamente este concepto ya se utilizó para calcular las densidades espectrales en Exampels 4.2.2 y 4.2.3. Para investigar esto con mayor detalle, vamosγX(h) yγY(h) denotan el ACVF del proceso de entrada(Xt:t∈Z) y el proceso de salida(Yt:t∈Z), respectivamente, y denotan porfX(ω) yfY(ω) las densidades espectrales correspondientes. El siguiente es el resultado principal en esta sección.
Teorema 4.4.1.
Bajo los supuestos que se hacen en este apartado, sostiene quefY(ω)=|Ψ(ω)|2fX(ω).
Comprobante. Primero tenga en cuenta que
γY(h)=E[(Yt+h−μY)(Yt−μY)]
=∑∞r=−∞∑∞s=−∞ψrψsγ(h−r+s)
=∑∞r=−∞∑∞s=−∞ψrψs∫1/2−1/2exp(2πiω(h−r+s))fX(ω)dω
=∫1/2−1/2(∑∞r=−∞ψrexp(−2πiωr))(∑∞s=−∞ψsexp(2πiωs))exp(2πiωh)fX(ω)dω
=∫1/2−1/2exp(2πiωh)|Ψ(ω)|2fX(ω)dω.
Ahora identificarfY(ω)=|Ψ(ω)|2fX(ω), que es la aserción del teorema.
El teorema 4.4.1 sugiere una manera de calcular la densidad espectral de un proceso ARMA causal. Para ello, dejemos(Yt:t∈Z) ser tal causal ARMA (p, q) proceso satisfactorioYt=ψ(B)Zt, donde(Zt:t∈Z)∼WN(0,σ2) y
ψ(z)=θ(z)ϕ(z)=∞∑s=0ψszs,|z|≤1.
conθ(z) yϕ(z) siendo el polinomio promedio móvil y autorregresivo, respectivamente. Tenga en cuenta que el(ψs:s∈N0) puede ser visto como una función especial de respuesta al impulso.
Corolario 4.4.1.
Si(Yt:t∈Z) ser un proceso causal ARMA (p, q)\). Entonces, su densidad espectral viene dada por
fY(ω)=σ2|θ(e−2πiω)|2|ϕ(e−2πiω)|2.
Comprobante. Aplicar Teorema 4.4.1 con secuencia de entrada(Zt:t∈Z). EntoncesfZ(ω)=σ2, y además la función de respuesta de frecuencia es
Ψ(ω)=∞∑s=0ψsexp(−2πiωs)=ψ(e−2πiω)=θ(e−2πiω)ϕ(e−2πiω).
Ya quefY(ω)=|Ψ(ω)|2fX(ω), la prueba está completa.
El corolario 4.4.1 brinda un enfoque fácil para definir estimaciones de densidad espectral paramétricas para procesos causales ARMA (p, q) simplemente reemplazando las cantidades de población por homólogos de muestra apropiados. Esto le da al estimador de densidad espectral
ˆf(ω)=ˆσ2n|ˆθ(e−2πiω)|2|ˆϕ(e−2πiω)|2.
Ahora bien, cualquiera de las técnicas de estimación discutidas en la Sección 3.5 se puede aplicar al momento de calcularˆf(ω).