4.4: Filtrado Lineal

Un filtro lineal utiliza coeficientes específicos\((\psi_s\colon s\in\mathbb{Z})\), llamados función de respuesta de impulso, para transformar una serie de entrada débilmente estacionaria\((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\) en una serie de salida\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\) a través de

\[ Y_t=\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_sX_{t-s}, \qquad t\in\mathbb{Z}, \nonumber \]

donde\(\sum_{s=-\infty}^\infty|\psi_s|<\infty\). Luego, la función de respuesta de frecuencia

\[ \Psi(\omega)=\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_s\exp(-2\pi i\omega s) \nonumber \]

está bien definido. Obsérvese que la media móvil de dos puntos del Ejemplo 4.2.2 y la secuencia diferenciada\(\nabla X_t\) son ejemplos de filtros lineales. Por otro lado, cualquier proceso\/causal ARMA puede identificarse como un filtro lineal aplicado a una secuencia de ruido blanco. Implícitamente este concepto ya se utilizó para calcular las densidades espectrales en Exampels 4.2.2 y 4.2.3. Para investigar esto con mayor detalle, vamos\(\gamma_X(h)\) y\(\gamma_Y(h)\) denotan el ACVF del proceso de entrada\((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\) y el proceso de salida\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\), respectivamente, y denotan por\(f_X(\omega)\) y\(f_Y(\omega)\) las densidades espectrales correspondientes. El siguiente es el resultado principal en esta sección.

Teorema 4.4.1.

Bajo los supuestos que se hacen en este apartado, sostiene que\(f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)\).

Comprobante. Primero tenga en cuenta que

\(\gamma_Y(h)=E\big[(Y_{t+h}-\mu_Y)(Y_t-\mu_Y)]\\[.2cm]\)

\(=\sum_{r=-\infty}^\infty\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_r\psi_s\gamma(h-r+s)\\[.2cm]\)

\(=\sum_{r=-\infty}^\infty\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_r\psi_s\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega(h-r+s))f_X(\omega)d\omega\\[.2cm]\)

\(=\int_{-1/2}^{1/2}\Big(\sum_{r=-\infty}^\infty\psi_r\exp(-2\pi i\omega r)\Big)\Big(\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_s\exp(2\pi i\omega s)\Big)\exp(2\pi i\omega h)f_X(\omega)d\omega\\[.2cm]\)

\(=\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega h)|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)d\omega.\)

Ahora identificar\(f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)\), que es la aserción del teorema.

El teorema 4.4.1 sugiere una manera de calcular la densidad espectral de un proceso ARMA causal. Para ello, dejemos\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\) ser tal causal ARMA (p, q) proceso satisfactorio\(Y_t=\psi(B)Z_t\), donde\((Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim\mbox{WN}(0,\sigma^2)\) y

\[ \psi(z)=\dfrac{\theta(z)}{\phi(z)}=\sum_{s=0}^\infty\psi_sz^s,\qquad |z|\leq 1. \nonumber \]

con\(\theta(z)\) y\(\phi(z)\) siendo el polinomio promedio móvil y autorregresivo, respectivamente. Tenga en cuenta que el\((\psi_s\colon s\in\mathbb{N}_0)\) puede ser visto como una función especial de respuesta al impulso.

Corolario 4.4.1.

Si\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\) ser un proceso causal ARMA (p, q)\). Entonces, su densidad espectral viene dada por

\[ f_Y(\omega)=\sigma^2\dfrac{|\theta(e^{-2\pi i\omega})|^2}{|\phi(e^{-2\pi i\omega})|^2}. \nonumber \]

Comprobante. Aplicar Teorema 4.4.1 con secuencia de entrada\((Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\). Entonces\(f_Z(\omega)=\sigma^2\), y además la función de respuesta de frecuencia es

\[ \Psi(\omega)=\sum_{s=0}^\infty\psi_s\exp(-2\pi i\omega s)=\psi(e^{-2\pi i\omega})=\dfrac{\theta(e^{-2\pi i\omega})}{\phi(e^{-2\pi i\omega})}. \nonumber \]

Ya que\(f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)\), la prueba está completa.

El corolario 4.4.1 brinda un enfoque fácil para definir estimaciones de densidad espectral paramétricas para procesos causales ARMA (p, q) simplemente reemplazando las cantidades de población por homólogos de muestra apropiados. Esto le da al estimador de densidad espectral

\[ \hat f(\omega)=\hat\sigma_n^2\dfrac{|\hat\theta(e^{-2\pi i\omega})|^2}{|\hat\phi(e^{-2\pi i\omega})|^2}. \nonumber \]

Ahora bien, cualquiera de las técnicas de estimación discutidas en la Sección 3.5 se puede aplicar al momento de calcular\(\hat f(\omega)\).

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