2.1: Simulación de Probabilidades Continuas

En esta sección mostraremos cómo podemos usar simulaciones por computadora para experimentos que tienen todo un continuo de posibles resultados.

Probabilidades

Ejemplo 2.1

1 Comenzamos construyendo un hilandero, que consiste en un círculo de circunferencia unitaria y un puntero como se muestra en la Figura 2.1. Escogemos un punto en el círculo y lo etiquetamos 0, y luego etiquetamos cada dos puntos del círculo con la distancia, digamos x, de 0 a ese punto, medida en sentido antihorario. El experimento consiste en girar el puntero y registrar la etiqueta del punto en la punta del puntero. Dejamos que la variable aleatoria X denote el valor de este resultado. El espacio muestral es claramente el intervalo [0, 1). Nos gustaría construir un modelo de probabilidad en el que cada resultado sea igualmente probable que ocurra.

Si procedemos como hicimos en el Capítulo 1 para experimentos con un número finito de posibles resultados, entonces debemos asignar la probabilidad 0 a cada resultado, ya que de lo contrario, la suma de las probabilidades, sobre todos los resultados posibles, no sería igual a 1. (De hecho, sumar un número incontable de números reales es un asunto complicado; en particular, para que tal suma tenga algún significado, a lo sumo contablemente muchos de los summands pueden ser diferentes a 0.) No obstante, si todas las probabilidades asignadas son 0, entonces la suma es 0, no 1, como debería ser.

En la siguiente sección, mostraremos cómo construir un modelo de probabilidad en esta situación. En la actualidad, asumiremos que tal modelo puede ser construido. También asumiremos que en este modelo, si E es un arco del círculo, y E es de longitud p, entonces el modelo asignará la probabilidad p a E. Esto significa que si se hace girar el puntero, la probabilidad de que termine apuntando a un punto en E es igual a p, lo que sin duda es algo razonable de esperar.

Simular este experimento en una computadora es un asunto fácil. Muchos paquetes de software de computadora tienen una función que devuelve un número real aleatorio en el intervalo [0, 1]. En realidad, el valor devuelto es siempre un número racional, y los valores están determinados por un algoritmo, por lo que una secuencia de tales valores no es verdaderamente aleatoria. Sin embargo, las secuencias producidas por dichos algoritmos se comportan como secuencias teóricamente aleatorias, por lo que podemos usar tales secuencias en la simulación de experimentos. En ocasiones, tendremos que referirnos a tal función. Llamaremos a esta función rnd.

Procedimiento y áreas de Monte Carlo

A veces es deseable estimar cantidades cuyos valores exactos son difíciles o imposibles de calcular exactamente. En algunos de estos casos, se puede utilizar un procedimiento que involucra el azar, llamado procedimiento de Monte Carlo, para proporcionar tal estimación.

Ejemplo 2.2

En este ejemplo mostramos cómo se puede utilizar la simulación para estimar áreas de figuras planas. Supongamos que programamos nuestra computadora para proporcionar un par (x, y) o números, cada uno elegido independientemente al azar del intervalo [0, 1]. Entonces podemos interpretar este par (x, y) como las coordenadas de un punto elegido al azar de la unidad cuadrada. Los eventos son subconjuntos de la unidad cuadrada. Nuestra experiencia con el Ejemplo 2.1 sugiere que es igualmente probable que el punto caiga en subconjuntos de igual área. Dado que el área total del cuadrado es 1, la probabilidad de que el punto caiga en un subconjunto E específico del cuadrado unitario debe ser igual a su área. Así, podemos estimar el área de cualquier subconjunto del cuadrado unitario estimando la probabilidad de que un punto elegido al azar de este cuadrado caiga en el subconjunto.

Podemos utilizar este método para estimar el área de la región E bajo la curva y = x 2 en el cuadrado unitario (ver Figura 2.2). Elegimos un gran número de puntos (x, y) al azar y registramos qué fracción de ellos cae en la región E = {(x, y): y ≤ x 2}.

El programa MonteCarlo llevará a cabo este experimento por nosotros. Ejecutar este programa para 10,000 experimentos da una estimación de .325 (ver Figura 2.3).

A partir de estos experimentos estimaríamos que el área es de aproximadamente 1/3. Por supuesto,

para esta sencilla región podemos encontrar el área exacta por cálculo. De hecho,

\[\text{Area of E} =\int_0^1x^2dx = \frac{1}{3}\]

Hemos remarcado en el Capítulo 1 que, cuando simulamos un experimento de este tipo n veces para estimar una probabilidad, podemos esperar que la respuesta esté en error como máximo 1/ √ n al menos el 95 por ciento del tiempo. Para 10,000 experimentos podemos esperar una precisión de 0.01, y nuestra simulación logró esta precisión.

Este mismo argumento funciona para cualquier región E de la unidad cuadrada. Por ejemplo, supongamos que E es el círculo con centro (1/2, 1/2) y radio 1/2. Entonces la probabilidad de que nuestro punto aleatorio (x, y) se encuentre dentro del círculo es igual al área del círculo, es decir,

\[P(E) = \pi \Big(\frac{1}{2}\Big)^2 = \frac{\pi}{4}\]

Si no conociéramos el valor de π, ¡podríamos estimar el valor realizando este experimento una gran cantidad de veces!

El ejemplo anterior no es la única manera de estimar el valor de π mediante un experimento casual. Aquí hay otra forma, descubierta por Buffon.

Aguja de Buffon

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Supongamos que tomamos una mesa de cartas y dibujamos a través de la superficie superior un conjunto de líneas paralelas a una distancia unitaria. Luego dejamos caer una aguja común de longitud unitaria al azar sobre esta superficie y observar si la aguja se encuentra o no sobre una de las líneas. Podemos describir los posibles resultados de este experimento por coordenadas de la siguiente manera: Sea d la distancia desde el centro de la aguja hasta la línea más cercana. A continuación, deje que L sea la línea determinada por la aguja, y defina θ como el ángulo agudo que hace la línea L con el conjunto de líneas paralelas. (Sin duda, el lector debe desconfiar de esta descripción del espacio muestral. Estamos intentando coordinar un conjunto de segmentos de línea. Para ver por qué hay que tener cuidado en la elección de las coordenadas, ver Ejemplo 2.6.) Usando esta descripción, tenemos 0 ≤ d ≤ 1/2, y 0 ≤ θ ≤ π/2. Además, vemos que la aguja se encuentra a través de la línea más cercana si y sólo si la hipotenusa del triángulo (ver Figura 2.4) es menor que la mitad de la longitud de la aguja, es decir,

\[\frac{d}{\sin\theta} < \frac{1}{2}\]

Ahora asumimos que cuando cae la aguja, el par (θ, d) se elige al azar del rectángulo 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ d ≤ 1/2. Observamos si la aguja se encuentra a través de la línea más cercana (es decir, si d ≤ (1/2) sin θ). La probabilidad de este evento E es la fracción del área del rectángulo que se encuentra dentro de E (ver Figura 2.5).

Ahora el área del rectángulo es π/4, mientras que el área de E es

\[\text{Area} = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\sin\theta d\theta = \frac{1}{2}\]

De ahí que obtuvimos

\[P(E) = \frac{1/2}{\pi/4}=\frac{2}{\pi}\]

El programa BuffonsNeedle simula este experimento. En la Figura 2.6, se muestra la posición de cada aguja número 100 en una ejecución del programa en la que se “cayeron” 10,000 agujas. Nuestra estimación final para π es 3.139. Si bien esto estaba dentro de 0.003 del valor verdadero para π, no teníamos derecho a esperar tal precisión. La razón de esto es que nuestra simulación estima P (E). Si bien podemos esperar que esta estimación esté en error como máximo 0.01, un pequeño error en P (E) se magnifica cuando usamos esto para calcular π = 2/P (E). Perlman y Wichura, en su artículo “Sharpening Buffon

Aguja”, 2 muestran que podemos esperar tener un error de no más de\(5\sqrt{n}\) aproximadamente el 95 por ciento de las veces. Aquí n es el número de agujas caídas. Así, para 10 mil agujas deberíamos esperar un error de no más de 0.05, y ese fue el caso aquí. Vemos que es necesario un gran número de experimentos para obtener una estimación decente para π.

En cada uno de nuestros ejemplos hasta ahora, los eventos del mismo tamaño son igualmente probables. Aquí hay un ejemplo donde no están. Veremos muchos otros ejemplos de este tipo más adelante.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Supongamos que elegimos dos números reales aleatorios en [0, 1] y los sumamos juntos. Que X sea la suma. ¿Cómo se distribuye X? Para ayudar a entender la respuesta a esta pregunta, podemos utilizar el programa Areabargraph. Este programa produce una gráfica de barras con la propiedad de que en cada intervalo, el área, en lugar de la altura, de la barra es igual a la fracción de resultados que cayó en el intervalo correspondiente. Hemos realizado este experimento 1000 veces; los datos se muestran en la Figura 2.7. Parece que la función definida por

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x, & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & \text{if } 1 < x \leq 2 \end{array}\right \]

se ajusta muy bien a los datos. (Se muestra en la figura.) En la siguiente sección, veremos que esta función es la función “correcta”. Con esto queremos decir que si a y b son cualesquiera dos números reales entre 0 y 2, con a ≤ b, entonces podemos usar esta función para calcular la probabilidad de que a ≤ X ≤ b. Para entender cómo se podría realizar este cálculo, nuevamente consideramos la Figura 2.7. Por la forma en que se construyeron las barras, la suma de las áreas de las barras correspondientes al intervalo

[a, b] se aproxima a la probabilidad de que a ≤ X ≤ b. Pero la suma de las áreas de estas barras también se aproxima a la integral

\[ \int_a^bf(x)dx\]

Esto sugiere que para un experimento con un continuo de posibles resultados, si encontramos una función con la propiedad anterior, entonces podremos usarla para calcular probabilidades. En la siguiente sección, mostraremos cómo determinar la función f (x).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Supongamos que elegimos 100 números aleatorios en [0, 1], y dejamos que X represente su suma. ¿Cómo se distribuye X? Hemos realizado este experimento 10000 veces; los resultados se muestran en la Figura 2.8. No está tan claro qué función se ajusta a las barras en este caso. Resulta que el tipo de función que realiza el trabajo se llama función de densidad normal. Este tipo de función a veces se conoce como una curva “en forma de campana”. Se encuentra entre las funciones más importantes en el tema de la probabilidad, y se definirá formalmente en la Sección 5.2 del Capítulo 4.3.

Nuestro último ejemplo explora la cuestión fundamental de cómo se asignan las probabilidades.

Paradoja de Bertrand

Ejemplo 2.6

Un acorde de un círculo es un segmento de línea cuyos extremos se encuentran en el círculo. Supongamos que un acorde se dibuja al azar en un círculo unitario. ¿Cuál es la probabilidad de que su longitud supere √ 3? Nuestra respuesta dependerá de lo que entendemos por azar, lo que dependerá, a su vez, de lo que escojamos para las coordenadas. El espacio muestral Ω es el conjunto de todos los acordes posibles en el círculo. Para encontrar coordenadas para estos acordes, primero introducimos un

Figura\(\PageIndex{8}\)

Figura\(\PageIndex{9}\)

sistema de coordenadas rectangulares con origen en el centro del círculo (ver Figura 2.9). Observamos que un acorde de un círculo es perpendicular a la línea radial que contiene el punto medio de la cuerda. Podemos describir cada acorde dando:

1. Las coordenadas rectangulares (x, y) del punto medio M, o
2. Las coordenadas polares (r, θ) del punto medio M, o
3. Las coordenadas polares (1, α) y (1, β) de los puntos finales A y B.

En cada caso interpretaremos al azar para significar: elegir estas coordenadas al azar.

Podemos estimar fácilmente esta probabilidad mediante simulación por computadora. En la programación de esta simulación, es conveniente incluir ciertas simplificaciones, que describimos a su vez:

1. Para simular este caso, elegimos valores para x e y de [−1, 1] al azar. Después comprobamos si x 2 + y 2 ≤ 1. Si no, el punto M = (x, y) se encuentra fuera del círculo y no puede ser el punto medio de ningún acorde, y lo ignoramos. De lo contrario, M se encuentra dentro del círculo y es el punto medio de un acorde único, cuya longitud L viene dada por la fórmula:

\[L = 2\sqrt{1-(x^2+y^2)}\]

2. Para simular este caso, tomamos en cuenta el hecho de que cualquier rotación del círculo no cambia la longitud del acorde, por lo que bien podríamos suponer de antemano que el acorde es horizontal. Luego elegimos r de [0, 1] al azar, y calculamos la longitud de la cuerda resultante con el punto medio (r, π/2) por la fórmula

\[L=2\sqrt{1-r^2}\]

3. Para simular este caso, asumimos que un punto final, digamos B, se encuentra en (1, 0) (es decir, que β = 0). Luego elegimos un valor para α de [0, 2π] al azar y calculamos la longitud del acorde resultante, usando la Ley de Cosinos, por la fórmula:

\[L=\sqrt{2-2\cos\alpha}\]

El programa BertrandSparadox lleva a cabo esta simulación. Al ejecutar este programa se obtienen los resultados mostrados en la Figura 2.10. En el primer círculo de esta figura, se ha dibujado un círculo más pequeño. Aquellos acordes que se cruzan con este círculo más pequeño tienen una longitud de al menos √ 3. En el segundo círculo de la figura, la línea vertical cruza todos los acordes de longitud al menos √ 3. En el tercer círculo, nuevamente la línea vertical cruza todos los acordes de longitud al menos √ 3.

En cada caso ejecutamos el experimento una gran cantidad de veces y registramos la fracción de estas longitudes que superan √ 3. Hemos impreso los resultados de cada 100 ensayos hasta 10,000 ensayos.

Es interesante observar que estas fracciones no son las mismas en los tres casos; dependen de nuestra elección de coordenadas. Este fenómeno fue observado por primera vez por Bertrand, y ahora se conoce como la paradoja de Bertrand.3 En realidad no es una paradoja en absoluto; es simplemente un reflejo del hecho de que diferentes elecciones de coordenadas conducirán a diferentes asignaciones de probabilidades. Qué asignación es “correcta” depende de la aplicación o interpretación del modelo que se tenga en mente.

Uno puede imaginar un verdadero experimento que implica lanzar pajitas largas a un círculo dibujado en una mesa de cartas. Una asignación “correcta” de coordenadas no debe depender de dónde se encuentra el círculo en la mesa de cartas, o dónde se sienta la mesa de cartas en la habitación. Jaynes4 ha demostrado que la única asignación que cumple con este requisito es (2). En este sentido, la asignación (2) es la natural, o “correcta” (ver Ejercicio 11).

Podemos ver fácilmente en cada caso cuáles son las verdaderas probabilidades si observamos que √ 3 es la longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito. De ahí que un acorde tenga

longitud L > √ 3 si su punto medio tiene distancia d < 1/2 del origen (ver Figura 2.9). Los siguientes cálculos determinan la probabilidad de que L > √ 3 en cada uno de los tres casos.

1. L > √ 3 si (x, y) se encuentra dentro de un círculo de radio 1/2, lo que ocurre con probabilidad

\[p = \frac{\pi(1/2)^2}{\pi(1)^2}=\frac{1}{4}\]

2. L > √ 3 si |r| < 1/2, lo que ocurre con probabilidad

\[\frac{1/2 -(-1/2)}{1-(-1)}=\frac{1}{2}\]

3. L > √ 3 si 2π/3 < α < 4π/3, lo que ocurre con probabilidad

\[\frac{4\pi/3-2\pi/3}{2\pi-0}=\frac{1}{3}\]

Vemos que nuestras simulaciones concuerdan bastante bien con estos valores teóricos.

Observaciones Históricas

G. L. Buffon (1707—1788) fue un científico natural en el siglo XVIII que aplicó probabilidad a varias de sus investigaciones. Su obra se encuentra en su monumental Histoire Naturelle de 44 volúmenes y sus suplementos.5 Por ejemplo, él

presentó una serie de tablas de mortalidad y las utilizó para calcular, para cada grupo etario, la vida restante esperada. De su mesa observó: la vida restante esperada de un infante de un año es de 33 años, mientras que la de un hombre de 21 años también es de aproximadamente 33 años. Así, un padre que aún no tiene 21 años puede esperar vivir más que su hijo de un año, pero si el padre tiene 40, las probabilidades ya son 3 a 2 de que su hijo lo sobreviva. \(^6\)

Buffon quería demostrar que no todos los cálculos de probabilidad se basan únicamente en álgebra, sino que algunos se basan en cálculos geométricos. Uno de esos problemas fue su famoso “problema de la aguja” como se discute en este capílito.7 En su formulación original, Buffon describe un juego en el que dos jugadores dejan caer una hogaza de pan francés en un piso de tablero ancho y apuestan por si el pan cae o no por una grieta en el piso. Buffon preguntó: qué longitud L debe ser la barra de pan, relativa al ancho W de las tablas del piso, para que el juego sea justo. Encontró la respuesta correcta (L = (π/4) W) utilizando esencialmente los métodos descritos en este capítulo. También consideró el caso de un piso de tablero de ajedrez, pero dio la respuesta equivocada en este caso. La respuesta correcta la dio posteriormente Laplace.

La literatura contiene descripciones de una serie de experimentos que realmente se llevaron a cabo para estimar π mediante este método de caída de agujas. N. T. Gridgeman8 analiza los experimentos mostrados en la Tabla 2.1. (Las mitades para el número de cruces provienen de un compromiso cuando no se pudo decidir si realmente se había producido un cruce). Observa, como hemos hecho, que 10 mil elencos no podrían hacer más que establecer el primer decimal de π con una confianza razonable. Gridgeman señala que, aunque ninguno de los experimentos utilizó ni siquiera 10,000 moldes, son sorprendentemente buenos, y en algunos casos, demasiado buenos. El hecho de que el número de elencos no sea siempre un número redondo sugeriría que los autores podrían haber recurrido a una parada inteligente para obtener una buena respuesta. Gridgeman comenta que la estimación de Lazzerini resultó estar de acuerdo con una conocida aproximación a π, 355/113 = 3.1415929, descubierta por el matemático chino del siglo V, Tsu Ch'ungchih. Gridgeman dice que no tenía el reporte original de Lazzerini, y mientras lo esperaba (sabiendo solo que la aguja cruzó una línea 1808 veces en 3408 moldes) dedujo que la longitud de la aguja debió haber sido 5/6. Calculó esto a partir de la fórmula de Buffon, asumiendo π = 355/113:

\[L = \frac{\pi P(E)}{2}=\frac{1}{2}\bigg(\frac{355}{113}\bigg)\bigg(\frac{1808}{3408}\bigg)=\frac{5}{6}=.8333.\]

Incluso con una planeación cuidadosa uno tendría que ser extremadamente afortunado para poder parar tan hábilmente. Al segundo autor le gusta rastrear su interés en la teoría de la probabilidad hasta la Feria Mundial de Chicago de 1933 donde observó un dispositivo mecánico que dejaba caer agujas y mostraba las estimaciones siempre cambiantes para el valor de π. (Al primer autor le gusta rastrear su interés en la teoría de la probabilidad hasta el segundo autor).

Ejercicios

\(\PageIndex{1}\)

En el problema del hilandero (ver Ejemplo 2.1) divida la circunferencia de la unidad en tres arcos de longitud 1/2, 1/3 y 1/6. Escribe un programa para simular el experimento de spinner 1000 veces e imprime qué fracción de los resultados caen en cada uno de los tres arcos. Ahora traza un gráfico de barras cuyas barras tengan ancho 1/2, 1/3 y 1/6, y áreas iguales a las fracciones correspondientes según lo determinado por tu simulación. Demuestre que las alturas de las barras son casi las mismas.

\(\PageIndex{2}\)

Haga lo mismo que en el Ejercicio 1, pero divida la circunferencia de la unidad en cinco arcos de longitud 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 y 1/20.

\(\PageIndex{3}\)

Alterar el programa MonteCarlo para estimar el área del círculo de radio 1/2 con centro en (1/2, 1/2) dentro de la unidad cuadrada eligiendo 1000 puntos al azar. Compara tus resultados con el valor verdadero de π/4. Usa tus resultados para estimar el valor de π. ¿Qué tan precisa es su estimación?

\(\PageIndex{4}\)

Alterar el programa MonteCarlo para estimar el área bajo la gráfica de y = sin πx dentro del cuadrado unitario eligiendo 10,000 puntos al azar. Ahora calcula el valor verdadero de esta área y usa tus resultados para estimar el valor de π. ¿Qué tan precisa es su estimación?

\(\PageIndex{5}\)

Alterar el programa MonteCarlo para estimar el área bajo la gráfica de y = 1/ (x + 1) en el cuadrado unitario de la misma manera que en el Ejercicio 4. Calcula el valor verdadero de esta área y usa tus resultados de simulación para estimar el valor del log 2. ¿Qué tan precisa es su estimación?

\(\PageIndex{6}\)

Para simular el problema de la aguja de Buffon elegimos independientemente la distancia d y el ángulo θ al azar, con 0 ≤ d ≤ 1/2 y 0 ≤ θ ≤ π/2, y verificamos si d ≤ (1/2) sin θ. Haciendo esto un gran número de veces, estimamos π como 2/a, donde a es la fracción de los tiempos que d ≤ (1/2) sin θ. Escribe un programa para estimar π por este método. Ejecute su programa varias veces para cada uno de los 100, 1000 y 10,000 experimentos. ¿La precisión de la aproximación experimental para π mejora a medida que aumenta el número de experimentos?

\(\PageIndex{7}\)

Para el problema de la aguja de Buffon, Laplace9 consideró una cuadrícula con líneas horizontales y verticales a una unidad de diferencia. Mostró que la probabilidad de que una aguja de longitud L ≤ 1 cruce al menos una línea es

\[p = \frac{4L-L^2}{\pi}\]

Para simular este experimento elegimos al azar un ángulo θ entre 0 y π/2 e independientemente dos números d1 y d2 entre 0 y L/2. (Los dos números representan la distancia desde el centro de la aguja hasta la línea horizontal y vertical más cercana). La aguja cruza una línea si d1 ≤ (L/2) sin θ o d2 ≤ (L/2) cos θ. Hacemos esto una gran cantidad de veces y estimamos π como

\[\bar{\pi} = \frac{4L-L^2}{a}\]

donde a es la proporción de veces que la aguja cruza al menos una línea. Escribe un programa para estimar π por este método, ejecuta tu programa para 100, 1000 y 10,000 experimentos y compara tus resultados con el método de Buffon descrito en el Ejercicio 6. (Toma L = 1.)

\(\PageIndex{8}\)

Una aguja larga de longitud L mucho mayor que 1 se deja caer sobre una rejilla con líneas horizontales y verticales separadas una unidad. Veremos (en el Ejercicio 6.3.28) que el número promedio a de líneas cruzadas es aproximadamente

\[a =\frac{4L}{\pi}\]

Para estimar π por simulación, elija un ángulo θ al azar entre 0 y π/2 y calcule Lsin θ + Lcos θ. Esto puede ser utilizado para el número de líneas cruzadas. Repita esto muchas veces y estime π por

\[\bar{\pi} =\frac{4L}{a}\]

donde a es el número promedio de líneas cruzadas por experimento. Escribe un programa para simular este experimento y ejecuta tu programa para el número de experimentos igual a 100, 1000 y 10,000. Compara tus resultados con los métodos de Laplace o Buffon para el mismo número de experimentos. (Usar L = 100.)

Los siguientes ejercicios implican experimentos en los que no todos los resultados son igualmente probables. Consideraremos dichos experimentos en detalle en la siguiente sección, pero te invitamos a explorar aquí algunos casos simples.

\(\PageIndex{9}\)

Un gran número de problemas de tiempo de espera tienen una distribución exponencial de los resultados. Veremos (en la Sección 5.2) que tales resultados se simulan calculando (−1/λ) log (rnd), donde λ > 0. Para los tiempos de espera producidos de esta manera, el tiempo promedio de espera es de 1/λ. Por ejemplo, los tiempos pasados esperando

un automóvil para pasar en una carretera, o los tiempos entre emisiones de partículas de una fuente radiactiva, son simulados por una secuencia de números aleatorios, cada uno de los cuales se elige calculando (−1/λ) log (rnd), donde 1/λ es el tiempo promedio entre automóviles o emisiones. Escribe un programa para simular los tiempos entre autos cuando el tiempo promedio entre autos es de 30 segundos. Haga que su programa calcule un gráfico de barras de área para estos tiempos dividiendo el intervalo de tiempo de 0 a 120 en 24 subintervalos. En el mismo par de ejes, trazar la función\(f(x)=(1/30)e^{-(1/30)x}\). ¿La función se ajusta bien al gráfico de barras?

\(\PageIndex{10}\)

En el Ejercicio 9, la distribución salió “de un sombrero”. En este problema, volveremos a considerar un experimento cuyos resultados no son igualmente probables. Determinaremos una función f (x) que puede ser utilizada para determinar la probabilidad de ciertos eventos. Sea T el triángulo rectángulo en el plano con vértices en los puntos (0, 0), (1, 0) y (0, 1). El experimento consiste en elegir un punto al azar en el interior de T, y registrar solo la coordenada x del punto. Así, el espacio muestral es el conjunto [0, 1], pero los resultados no parecen ser igualmente probables. Podemos simular este experimento pidiéndole a una computadora que devuelva dos números reales aleatorios en [0, 1], y registrando el primero de estos dos números si su suma es menor que 1. Escribe este programa y ejecútalo por 10,000 pruebas. Después haga una gráfica de barras del resultado, dividiendo el intervalo [0, 1] en 10 intervalos. Compara el gráfico de barras con la función f (x) = 2 − 2x. Ahora muestran que hay una constante c tal que la altura de T en el valor de la coordenada x x es c por f (x) por cada x en [0, 1]. Por último, demuestre que

\[\int_0^1f(x)dx=1\]

¿Cómo se podría usar la función f (x) para determinar la probabilidad de que el resultado esté entre .2 y .5?

\(\PageIndex{11}\)

Aquí hay otra manera de elegir un acorde al azar en el círculo de radio de la unidad. Imagina que tenemos una mesa de cartas cuyos lados son de longitud 100. Colocamos ejes de coordenadas sobre la mesa de tal manera que cada lado de la mesa sea paralelo a uno de los ejes, y para que el centro de la mesa sea el origen. Ahora colocamos un círculo de radio unitario sobre la mesa para que el centro del círculo sea el origen. Ahora elija un punto (x0, y0) al azar en el cuadrado, y un ángulo θ al azar en el intervalo (−π/2, π/2). Dejar m = tan θ. Entonces la ecuación de la línea que pasa por (x0, y0) con pendiente m es

\[y=y_0+m(x-x_0)\]

y la distancia de esta línea desde el centro del círculo (es decir, el origen) es

\[d=\bigg|\frac{y_0-mx_0}{\sqrt{m^2+!}}\bigg|\]

Podemos usar esta fórmula de distancia para verificar si la línea se cruza con el círculo (es decir, si d < 1). Si es así, consideramos que el acorde resultante es un acorde aleatorio.

Esto describe un experimento de dejar caer una pajita larga al azar sobre una mesa en la que se dibuja un círculo.

Escribe un programa para simular este experimento 10000 veces y estimar la probabilidad de que la longitud del acorde sea mayor que\(\sqrt{3}\). ¿Cómo se compara su estimación con los resultados del Ejemplo 2.6?