2.2: Funciones de Densidad Continua
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En la sección anterior hemos visto cómo simular experimentos con todo un continuo de posibles resultados y hemos adquirido cierta experiencia al pensar en tales experimentos. Ahora pasamos al problema general de asignar probabilidades a los resultados y eventos en tales experimentos. Restringiremos nuestra atención aquí a aquellos experimentos cuyo espacio muestral pueda tomarse como un subconjunto adecuadamente elegido de la línea, el plano o algún otro espacio euclidiano. Comenzamos con algunos ejemplos simples.
Hilanderos
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
El experimento de hilandero descrito en el Ejemplo 2.1 tiene el intervalo [0, 1) como conjunto de posibles resultados. Nos gustaría construir un modelo de probabilidad en el que cada resultado sea igualmente probable que ocurra. Vimos que en tal modelo, es necesario asignar la probabilidad 0 a cada resultado. Esto no significa en absoluto que la probabilidad de cada evento deba ser cero. Por el contrario, si dejamos que la variable aleatoria X denote el resultado, entonces la probabilidad
\[P(0\leq X\leq 1)\]
que la cabeza del spinner viene a descansar en algún lugar del círculo, debe ser igual a 1. Además, la probabilidad de que llegue a descansar en la mitad superior del círculo debe ser la misma que para la mitad inferior, de manera que
\[P\bigg( 0\leq X < \frac{1}{2} \bigg)=P\bigg( \frac{1}{2} \leq X <1\bigg) = \frac{1}{2}\]
De manera más general, en nuestro modelo, nos gustaría la ecuación
\[P(c\leq X < d) = d-c\]
para ser verdad para cada elección de c y d.
Si dejamos E = [c, d], entonces podemos escribir la fórmula anterior en la forma
\[P(E) =\int_E f(x)dx\]
donde f (x) es la función constante con valor 1. Esto debería recordarle al lector la fórmula correspondiente en el caso discreto para la probabilidad de un evento:
\[P(E) - \sum_{\omega \in E} m(\omega)\]
La diferencia es que en el caso continuo, la cantidad que se integra, f (x), no es la probabilidad del resultado x. (Sin embargo, si uno usa infinitesimales, se puede considerar f (x) dx como la probabilidad del resultado x.) En el caso continuo, utilizaremos la siguiente convención. Si el conjunto de resultados es un conjunto de números reales, entonces los resultados individuales serán referidos por letras romanas pequeñas como x Si el conjunto de resultados es un subconjunto de R2, entonces los resultados individuales se denotarán por (x, y). En cualquier caso, puede ser más conveniente referirse a un resultado individual mediante el uso de ω, como en el Capítulo 1. La Figura 2.11 muestra los resultados de 1000 giros del spinner. La función f (x) también se muestra en la figura. El lector notará que el área bajo f (x) y por encima de un intervalo dado es aproximadamente igual a la fracción de resultados que cayó en ese intervalo. La función f (x) se llama la función de densidad de la variable aleatoria X. El hecho de que el área bajo f (x) y por encima de un intervalo corresponda a una probabilidad es la propiedad definitoria de las funciones de densidad. En breve se dará una definición precisa de las funciones de densidad.
Dardos
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Un juego de dardos implica lanzar un dardo a un objetivo circular de radio unitario. Supongamos que lanzamos un dardo una vez para que golpee el objetivo, y observemos dónde aterriza. Para describir los posibles resultados de este experimento, es natural tomar como nuestro espacio muestral el conjunto Ω de todos los puntos en el objetivo. Es conveniente describir estos puntos por sus coordenadas rectangulares, relativas a un sistema de coordenadas con origen en el centro del objetivo, de manera que cada par (x, y) de coordenadas con\(x^2+y^2 ≤ 1\) describa un posible resultado del experimento. Entonces\(Ω = \{ (x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1 \}\) es un subconjunto del plano euclidiano, y el evento E = {(x, y): y > 0}, por ejemplo, corresponde a la afirmación de que el dardo aterriza en la mitad superior del objetivo, y así sucesivamente. A menos que haya razones para creer lo contrario (¡y con expertos en el juego bien puede haber!) , es natural suponer que las coordenadas se eligen al azar. (Al hacer esto con una computadora, cada coordenada se elige uniformemente del intervalo [−1, 1]. Si el punto resultante no se encuentra dentro del círculo unitario, el punto no se cuenta.) Entonces los argumentos utilizados en el ejemplo anterior muestran que la probabilidad de cualquier evento elemental, consistente en un solo resultado, debe ser cero, y sugieren que la probabilidad del evento de que el dardo aterrice en cualquier subconjunto E del objetivo debe ser determinada por qué fracción del área objetivo se encuentra en E. Así ,
\[ P(E) = \frac{\text{area of E}}{\text{area of target}} = \frac{\text{area of E}}{\pi}\]
Esto se puede escribir en el formulario
\[P(E) = \int_E f(x)dx\]
donde f (x) es la función constante con valor 1/π. En particular, si E = {(x, y): x 2 + y 2 ≤ a 2} es el evento en el que el dardo aterriza dentro de la distancia a < 1 del centro del objetivo, entonces
\[P(E) = \frac{\pi a^2}{\pi}=a^2\]
Por ejemplo, la probabilidad de que el dardo se encuentre a una distancia 1/2 del centro es 1/4.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
En el juego de dardos considerado anteriormente, supongamos que, en lugar de observar dónde aterriza el dardo, observamos qué tan lejos aterriza del centro del objetivo. En este caso, tomamos como nuestro espacio muestral el conjunto Ω de todos los círculos con centros en el centro del objetivo. Es conveniente describir estos círculos por sus radios, de manera que cada círculo se identifique por su radio r, 0 ≤ r ≤ 1. De esta manera, podemos considerar Ω como el subconjunto [0, 1] de la línea real.
¿Qué probabilidades debemos asignar a los eventos E de Ω? Si
\[E = \{ r:0 \leq r\leq a \}, \]
entonces E ocurre si el dardo aterriza dentro de una distancia a del centro, es decir, dentro del círculo de radio a, y vimos en el ejemplo anterior que bajo nuestros supuestos la probabilidad de este evento viene dada por
\[P([0,1])=a^2\]
De manera más general, si
\[ E = \{r:a\leq r \leq b \}\]
luego por nuestras suposiciones básicas,
\[\begin{array}{rcl} P(E) = P([a,b]) &=& P([0,b]) - P([0,a]) \\ &=& b^2-a^2 \\ &=& (b-a)(b+a) \\ &=& 2(b-a)\frac{(b+a)}{2}\end{array}\]
Así, P (E) =2 (longitud de E) (punto medio de E). Aquí vemos que la probabilidad asignada al intervalo E depende no sólo de su longitud sino también de su punto medio (es decir, no sólo de cuánto tiempo es, sino también de dónde está). En términos generales, en este experimento, los eventos de la forma E = [a, b] son más probables si están cerca del borde del objetivo y menos probables si están cerca del centro. (¡Una experiencia común para principiantes! La conclusión bien podría ser diferente si el principiante es reemplazado por un experto.)
Nuevamente podemos simular esto por computadora. Dividimos el área objetivo en diez regiones concéntricas de igual grosor. El programa informático Dardos lanza n dardos y registra qué fracción del total cae en cada una de estas regiones concéntricas.
El programa Areabargraph luego traza un gráfico de barras con el área de la i-ésima barra igual a la fracción del total que cae en la i-ésima región. Ejecutar el programa para 1000 dardos resultó en el gráfico de barras de la Figura 2.12.
Tenga en cuenta que aquí las alturas de las barras no son todas iguales, sino que crecen aproximadamente linealmente con r. De hecho, la función lineal y = 2r parece encajar bastante bien en nuestro gráfico de barras. Esto sugiere que la probabilidad de que el dardo caiga dentro de una distancia a del centro debe ser dada por el área bajo la gráfica de la función y = 2r entre 0 y a. esta área es un 2, lo que concuerda con la probabilidad que hemos asignado anteriormente a este evento.
Coordenadas de espacio de muestra
Estos ejemplos sugieren que para experimentos continuos de este tipo debemos asignar probabilidades de que los resultados caigan en un intervalo dado por medio del área bajo una función adecuada.
De manera más general, suponemos que se pueden introducir coordenadas adecuadas en el espacio muestral Ω, de manera que podemos considerar Ω como un subconjunto de\(\mathbb{R}^n\). Llamamos a dicho espacio de muestra un espacio de muestreo continuo. Dejamos que X sea una variable aleatoria que representa el resultado del experimento. Tal variable aleatoria se llama variable aleatoria continua. Luego definimos una función de densidad para X de la siguiente manera.
Funciones de densidad de variables aleatorias continuas
Definición\(\PageIndex{1}\)
Sea X una variable aleatoria continua de valor real. Una función de densidad para X es una función de valor real f que satisface
\[P(a\leq X\leq b) = \int_a^bf(x)dx\]
para todos a, b\(\in \mathbb{R}\)
Observamos que no es el caso de que todas las variables aleatorias continuas de valor real posean funciones de densidad. Sin embargo, en este libro, solo consideraremos variables aleatorias continuas para las que existen funciones de densidad. En términos de densidad\(f(x)\), si E es un subconjunto de\(\mathbb{R}\), entonces
\[P(X \in E) = \int_Ef(x)dx\]
La notación aquí asume que E es un subconjunto\(\mathbb{R}\) para el cual tiene sentido\ [\ int_E f (x) dx\).