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5.32: La distribución de Cauchy

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La distribución de Cauchy, llamada por supuesto por el ubicuo Augustin Cauchy, es interesante por un par de razones. En primer lugar, se trata de una familia sencilla de distribuciones para las que no existe el valor esperado (y otros momentos). Segundo, la familia se cierra bajo la formación de sumas de variables independientes, y por lo tanto es una familia infinitamente divisible de distribuciones.

La distribución estándar de Cauchy

Funciones de distribución

La distribución estándar de Cauchy es una distribución continua$$\R$$ con función de densidad de probabilidad$$g$$ dada por$g(x) = \frac{1}{\pi \left(1 + x^2\right)}, \quad x \in \R$

1. $$g$$es simétrico sobre$$x = 0$$
2. $$g$$aumenta y luego disminuye, con modo$$x = 0$$.
3. $$g$$es cóncava hacia arriba, luego hacia abajo, y luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en$$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$.
4. $$g(x) \to 0$$como$$x \to \infty$$ y como$$x \to -\infty$$
Prueba

Tenga en cuenta que$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x \biggm|_{-\infty}^\infty = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$ y por lo tanto$$g$$ es un PDF. Las partes (a) — (d) se derivan del cálculo básico.

Así, la gráfica de$$g$$ tiene una forma simple, simétrica, unimodal que es cualitativamente (pero ciertamente no cuantitativamente) como la función estándar de densidad de probabilidad normal. La función de densidad de probabilidad$$g$$ se obtiene normalizando la función$x \mapsto \frac{1}{1 + x^2}, \quad x \in \R$ La gráfica de esta función se conoce como la bruja de Agnesi, llamada así por la matemática italiana Maria Agnesi.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución de Cauchy. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados para obtener la distribución estándar de Cauchy y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

La función de distribución estándar de Cauchy$$G$$ dada por$$G(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan x$$ for$$x \in \R$$

Prueba

Para$$x \in \R$$,$G(x) = \int_{-\infty}^x g(t) \, dt = \frac{1}{\pi} \arctan t \biggm|_{-\infty}^x = \frac{1}{\pi} \arctan x + \frac{1}{2}$

La función cuantil estándar de Cauchy$$G^{-1}$$ viene dada por$$G^{-1}(p) = \tan\left[\pi\left(p - \frac{1}{2}\right)\right]$$ for$$p \in (0, 1)$$. En particular,

1. El primer cuartil es$$G^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) = -1$$
2. La mediana es$$G^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 0$$
3. El tercer cuartil es$$G^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = 1$$
Prueba

Como es habitual,$$G^{-1}$$ se calcula a partir del CDF$$G$$ resolviendo$$G(x) = p$$ para$$x$$ en términos de$$p$$.

Por supuesto, el hecho de que la mediana sea 0 también se desprende de la simetría de la distribución, al igual que el hecho de que$$G^{-1}(1 - p) = -G^{-1}(p)$$ para$$p \in (0, 1)$$.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución de Cauchy. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados y anote la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Calcular algunos cuantiles.

Momentos

Supongamos que la variable aleatoria$$X$$ tiene la distribución estándar de Cauchy. Como señalamos en la introducción, parte de la fama de esta distribución proviene de que el valor esperado no existe.

$$\E(X)$$no existe.

Prueba

Por definición,$$\E(X) = \int_{-\infty}^\infty x g(x) \, dx$$. Para que exista la integral impropia, incluso como un número real extendido, al menos una de las integrales$$\int_{-\infty}^a x g(x) \, dx$$ y$$\int_a^\infty x g(x) \, dx$$ debe ser finita, para algunos (y por lo tanto cada)$$a \in \R$$. Pero por una simple sustitución,$\int_a^\infty x g(x) \, dx = \int_a^\infty x \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \, dx = \frac{1}{2 \pi} \ln(1 + x^2) \biggm|_a^\infty = \infty$ y de manera similar,$$\int_{-\infty}^a x g(x) \, dx = -\infty$$.

Por simetría, si el valor esperado existiera, tendría que ser 0, al igual que la mediana y el modo, pero lamentablemente la media no existe. Además, esto no es sólo un artefacto de cómo los matemáticos definen integrales impropias, sino que tiene consecuencias reales. Recordemos que si pensamos en la distribución de probabilidad como una distribución de masas, entonces la media es el centro de masa, el punto de equilibrio, el punto donde el momento (en el sentido de la física) a la derecha se equilibra con el momento a la izquierda. Pero como muestra la prueba del último resultado, los momentos a la derecha y a la izquierda en cualquier momento$$a \in \R$$ son infinitos. En este sentido, 0 no es más importante que cualquier otro$$a \in \R$$. Por último, si no te convence el argumento de la física, el siguiente ejercicio puede convencerte de que la ley de los grandes números también falla.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución de Cauchy. Mantener los valores de los parámetros predeterminados, que dan la distribución estándar de Cauchy. Ejecute la simulación 1000 veces y anote el comportamiento de la media de la muestra.

Anteriormente notamos algunas similitudes superficiales entre la distribución estándar de Cauchy y la distribución normal estándar (unimodal, simétrica alrededor de 0). Pero claramente hay enormes diferencias cuantitativas. La distribución de Cauchy es una distribución de cola pesada porque la función de densidad de probabilidad$$g(x)$$ disminuye a una tasa polinómica como$$x \to \infty$$ y$$x \to -\infty$$, a diferencia de una tasa exponencial. Esta es otra forma más de entender por qué no existe el valor esperado.

En cuanto a los momentos superiores,$$\E\left(X^n\right)$$ no existe si$$n$$ es impar, y es$$\infty$$ si$$n$$ es par. De ello se deduce que la función de generación de momentos$$m(t) = \E\left(e^{t X}\right)$$ no puede ser finita en un intervalo de aproximadamente 0. De hecho,$$m(t) = \infty$$ para cada$$t \ne 0$$, así que esta función generadora no nos sirve de nada. Pero cada distribución en$$\R$$ tiene una función característica, y para la distribución de Cauchy, esta función generadora será bastante útil.

$$X$$tiene función característica$$\chi_0$$ dada por$$\chi_0(t) = \exp\left(-\left|t\right|\right)$$ for$$t \in \R$$.

Prueba

Por definición,$\chi_0(t) = \E(e^{i t X}) = \int_{-\infty}^\infty e^{i t x} \frac{1}{\pi (1 + x^2)} \, dx$ calcularemos esta integral evaluando una integral de contorno relacionada en el plano complejo utilizando, adecuadamente, la fórmula integral de Cauchy (llamada así por usted sabe quién).

Supongamos primero eso$$t \ge 0$$. Para$$r \gt 1$$, vamos a$$\Gamma_r$$ denotar la curva en el plano complejo que consiste en el segmento de línea$$L_r$$ en el$$x$$ eje -desde$$-r$$ hasta$$r$$ y el semicírculo superior$$C_r$$ de radio$$r$$ centrado en el origen. Damos$$\Gamma_r$$ la orientación habitual en sentido antihorario. Por un lado tenemos$\int_{\Gamma_r} \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2)} dz = \int_{L_r} \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2)} dz + \int_{C_r} \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2)} dz$ On$$L_r$$,$$z = x$$ y$$dz = dx$$ así$\int_{L_r} \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2)} dz = \int_{-r}^r \frac{e^{i t x}}{\pi (1 + x^2)} dx$ sucesivamente$$C_r$$, vamos$$z = x + i y$$. Entonces$$e^{i t z} = e^{-t y + i t x} = e^{-t y} [\cos(t x) + i \sin(t x)]$$. Desde$$y \ge 0$$ el$$C_r$$ y$$t \ge 0$$, tenemos$$|e^{i t z} | \le 1$$. También,$$\left|\frac{1}{1 + z^2}\right| \le \frac{1}{r^2 - 1}$$ en$$C_r$$. De ello se deduce que$\left|\int_{C_r} \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2)} dz \right| \le \frac{1}{\pi (r^2 - 1)} \pi r = \frac{r}{r^2 - 1} \to 0 \text{ as } r \to \infty$ Por otro lado,$$e^{i t z} / [\pi (1 + z^2)]$$ tiene una singularidad en su interior$$\Gamma_r$$, a$$i$$. El residuo es$\lim_{z \to i} (z - i) \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2)} = \lim_{z \to i} \frac{e^{i t z}}{\pi(z + i)} = \frac{e^{-t}}{2 \pi i}$ De ahí por la fórmula integral de Cauchy,$\int_{\Gamma_r} \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2} dz = 2 \pi i \frac{e^{-t}}{2 \pi i} = e^{-t}$. Juntando las piezas que tenemos$e^{-t} = \int_{-r}^r \frac{e^{i t x}}{\pi (1 + x^2)} dx + \int_{C_r} \frac{e^{i t z}}{\pi (1 + z^2)} dz$ Dejando$$r \to \infty$$ da$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i t x }}{\pi (1 + x^2)} dx = e^{-t}$ Para$$t \lt 0$$, podemos usar la sustitución$$u = - x$$ y nuestro resultado anterior para obtener$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i t x}}{\pi (1 + x^2)} dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i (-t) u}}{\pi (1 + u^2)} du = e^{t}$

La distribución estándar de Cauchy es miembro de la$$t$$ familia de distribuciones Student.

La distribución estándar de Cauchy es la$$t$$ distribución Student con un grado de libertad.

Prueba

La$$t$$ distribución de Estudiantes con un grado de libertad tiene PDF$$g$$ dado por el$g(t) = \frac{\Gamma(1)}{\sqrt{\pi} \Gamma(1/2)} \left(1 + t^2\right)^{-1} = \frac{1}{\pi (1 + t^2)}, \quad t \in \R$ cual es el PDF estándar de Cauchy.

La distribución estándar de Cauchy también surge naturalmente como la relación de variables normales estándar independientes.

Supongamos que$$Z$$ y$$W$$ son variables aleatorias independientes, cada una con la distribución normal estándar. Entonces$$X = Z / W$$ tiene la distribución estándar de Cauchy. Equivalentemente, la distribución estándar de Cauchy es la$$t$$ distribución Student con 1 grado de libertad.

Prueba

Por definición,$$W^2$$ tiene la distribución chi-cuadrada con 1 grado de libertad, y es independiente de$$Z$$. De ahí que, también por definición,$$X = Z / \sqrt{W^2} = Z / W$$ tenga la$$t$$ distribución de Estudiantes con 1 grado de libertad, por lo que el teorema se desprende del resultado anterior.

Si$$X$$ tiene la distribución estándar de Cauchy, entonces también$$Y = 1 / X$$

Prueba

Esto es un corolario del resultado anterior. Supongamos que$$Z$$ y$$W$$ son variables independientes, cada una con la distribución normal estándar. Entonces$$X = Z / W$$ tiene la distribución estándar de Cauchy. Pero entonces$$1/X = W/Z$$ también tiene la distribución estándar de Cauchy.

La distribución estándar de Cauchy tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar a través de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

La distribución estándar de Cauchy y la distribución uniforme estándar se relacionan de la siguiente manera:

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar entonces$$X = G^{-1}(U) = \tan\left[\pi \left(U - \frac{1}{2}\right)\right]$$ tiene la distribución estándar de Cauchy.
2. Si$$X$$ tiene la distribución estándar de Cauchy entonces$$U = G(X) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan(X)$$ tiene la distribución uniforme estándar.
Prueba

Recordemos que si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar, entonces$$G^{-1}(U)$$ tiene función de distribución$$G$$. Por el contrario, si$$X$$ tiene función de distribución$$G$$, entonces ya que$$G$$ es estrictamente creciente,$$G(X)$$ tiene la distribución uniforme estándar.

Dado que la función quantile tiene una forma simple y cerrada, es fácil simular la distribución estándar de Cauchy usando el método de cuantil aleatorio.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Cauchy. Mantenga los valores de los parámetros predeterminados y anote nuevamente la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad. Obsérvese el comportamiento de la media empírica y la desviación estándar.

Para la distribución de Cauchy, el método de cuantil aleatorio tiene una interpretación física agradable. Supongamos que una fuente de luz está a 1 unidad de distancia de la posición 0 de una pared infinita y recta. Hacemos brillar la luz en la pared en un ángulo$$\Theta$$ (a la perpendicular) que se distribuye uniformemente en el intervalo$$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$. Entonces la posición$$X = \tan \Theta$$ del haz de luz en la pared tiene la distribución estándar de Cauchy. Tenga en cuenta que esto sigue ya que$$\Theta$$ tiene la misma distribución$$\pi \left(U - \frac{1}{2}\right)$$ que donde$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar.

Abra el experimento de Cauchy y mantenga los valores de los parámetros predeterminados.

1. Ejecuta el experimento en modo de un solo paso varias veces, para asegurarte de que entiendes el experimento.
2. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad. Obsérvese el comportamiento de la media empírica y la desviación estándar.

La distribución general de Cauchy

Como tantas otras distribuciones estándar, la distribución de Cauchy se generaliza agregando parámetros de ubicación y escala. La mayoría de los resultados de esta subsección siguen inmediatamente de los resultados de la distribución estándar de Cauchy anterior y de los resultados generales para familias de escala de ubicación.

Supongamos que$$Z$$ tiene la distribución estándar de Cauchy y eso$$a \in \R$$ y$$b \in (0, \infty)$$. Después$$X = a + b Z$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.

Funciones de distribución

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$.

$$X$$tiene la función de densidad de probabilidad$$f$$ dada por$f(x) = \frac{b}{\pi [b^2 + (x - a)^2]}, \quad x \in \R$

1. $$f$$es simétrico sobre$$x = a$$.
2. $$f$$aumenta y luego disminuye, con modo$$x = a$$.
3. $$f$$es cóncava hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en$$x = a \pm \frac{1}{\sqrt{3}} b$$.
4. $$f(x) \to 0$$como$$x \to \infty$$ y como$$x \to -\infty$$.
Prueba

Recordemos que$f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x - a}{b}\right)$ donde$$g$$ esta el PDF estándar de Cauchy.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución de Cauchy. Varíe los parámetros y anote la ubicación y forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

$$X$$tiene función de distribución$$F$$ dada por$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x - a}{b} \right), \quad x \in \R$

Prueba

Recordemos que$F(x) = G\left(\frac{x - a}{b}\right)$ donde$$G$$ está el estándar Cauchy CDF.

$$X$$tiene función cuantil$$F^{-1}$$ dada por$F^{-1}(p) = a + b \tan\left[\pi \left(p - \frac{1}{2}\right)\right], \quad p \in (0, 1)$ En particular,

1. El primer cuartil es$$F^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) = a - b$$.
2. La mediana es$$F^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = a$$.
3. El tercer cuartil es$$F^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = a + b$$.
Prueba

Recordemos que$$F^{-1}(p) = a + b G^{-1}(p)$$ donde$$G^{-1}$$ está la función cuantil estándar de Cauchy.

Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución de Cauchy. Varíe los parámetros y anote la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Calcular algunos valores de las funciones de distribución y cuantiles.

Momentos

Supongamos nuevamente que$$X$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$. Como la media y otros momentos de la distribución estándar de Cauchy no existen, tampoco existen para la distribución general de Cauchy.

Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución de Cauchy. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y anote el comportamiento de la media de la muestra.

Pero por supuesto la función característica de la distribución de Cauchy existe y es fácil de obtener a partir de la función característica de la distribución estándar.

$$X$$tiene función característica$$\chi$$ dada por$$\chi(t) = \exp\left(a i t - b \left|t\right|\right)$$ for$$t \in \R$$.

Prueba

Recordemos que$$\chi(t) = e^{i t a} \chi_0( b t)$$ donde$$\chi_0$$ está la función característica estándar de Cauchy.

Al igual que todas las familias a escala de ubicación, la distribución general de Cauchy se cierra bajo transformaciones a escala de ubicación.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$, y eso$$c \in \R$$ y$$d \in (0, \infty)$$. Después$$Y = c + d X$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$c + d a$$ y parámetro de escala$$b d$$.

Prueba

Una vez más, damos la prueba estándar. Por definición podemos tomar$$X = a + b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución estándar de Cauchy. Pero entonces$$Y = c + d X = (c + a d) + (b d) Z$$.

Mucho más interesante es el hecho de que la familia Cauchy se cierra bajo sumas de variables independientes. De hecho, esta es la razón principal por la que se justifica la generalización a una familia a escala de ubicación.

Supongamos que$$X_i$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a_i \in \R$$ y parámetro de escala$$b_i \in (0, \infty)$$ para$$i \in \{1, 2\}$$, y que$$X_1$$ y$$X_2$$ son independientes. Después$$Y = X_1 + X_2$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a_1 + a_2$$ y parámetro de escala$$b_1 + b_2$$.

Prueba

Esto se desprende fácilmente de la función característica. Dejar$$\chi_i$$ denotar la función característica de$$X_i$$ for$$i = 1, 2$$ y$$\chi$$ la función caractersítica de$$Y$$. Entonces$\chi(t) = \chi_1(t) \chi_2(t) = \exp\left(a_1 i t - b_1 \left|t\right|\right) \exp\left(a_2 i t - b_2 \left|t\right|\right) = \exp\left[\left(a_1 + a_2\right) i t - \left(b_1 + b_2\right) \left|t\right|\right]$

Como corolario, la distribución de Cauchy es estable, con índice$$\alpha = 1$$:

Si$$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$ es una secuencia de variables independientes, cada una con la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$, entonces$$X_1 + X_2 + \cdots + X_n$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$n a$$ y parámetro de escala$$n b$$.

Otro corolario es la extraña propiedad de que la media muestral de una muestra aleatoria de una distribución de Cauchy tiene esa misma distribución de Cauchy. ¡No es de extrañar que el valor esperado no exista!

Supongamos que$$\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$ es una secuencia de variables aleatorias independientes, cada una con la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a \in \R$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$. (Es decir,$$\bs{X}$$ es una muestra aleatoria de tamaño$$n$$ de la distribución de Cauchy.) Entonces la media de la muestra$$M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$ también tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.

Prueba

Del resultado anterior de estabilidad,$$Y = \sum_{i=1}^n X_i$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$n a$$ y parámetro de escala$$n b$$. Pero luego por el resultado de escalado,$$M = Y / n$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.

El siguiente resultado muestra explícitamente que la distribución de Cauchy es infinitamente divisible. Pero claro, la divisibilidad infinita también es consecuencia de la estabilidad.

Supongamos que$$a \in \R$$ y$$b \in (0, \infty)$$. Por cada distribución$$n \in \N_+$$ de Cauchy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$ es la distribución de la suma de variables$$n$$ independientes, cada una de las cuales tiene la distribución de Cauchy con parámetros de ubicación$$a / n$$ y parámetro de escala$$b/n$$.

Nuestro siguiente resultado es una generalización muy leve del resultado recíproco anterior para la distribución estándar de Cauchy.

Supongamos que$$X$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$0$$ y parámetro de escala$$b \in (0, \infty)$$. Después$$Y = 1 / X$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$0$$ y parámetro de escala$$1 / b$$.

Prueba

$$X$$tiene la misma distribución que$$b Z$$ donde$$Z$$ tiene la distribución estándar de Cauchy. De ahí$$\frac{1}{X}$$ que tenga la misma distribución que$$\frac{1}{b} \frac{1}{Z}$$. Pero por el resultado anterior,$$\frac{1}{Z}$$ también tiene la distribución estándar de Cauchy, así lo$$\frac{1}{b} \frac{1}{Z}$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$0$$ y parámetro de escala$$1 / b$$.

Al igual que con su primo estándar, la distribución general de Cauchy tiene conexiones simples con la distribución uniforme estándar a través de la función de distribución y la función cuantil calculadas anteriormente, y en particular, se puede simular mediante el método de cuantil aleatorio.

Supongamos que$$a \in \R$$ y$$b \in (0, \infty)$$.

1. Si$$U$$ tiene la distribución uniforme estándar, entonces$$X = F^{-1}(U) = a + b \tan\left[\pi \left(U - \frac{1}{2}\right)\right]$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$g$$
2. Si$$X$$ tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$, entonces$$U = F(X) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{X - a}{b} \right)$$ tiene la distribución uniforme estándar.

Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Cauchy. Varíe los parámetros y anote nuevamente la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad. Obsérvese el comportamiento de la media empírica y la desviación estándar.

Como antes, el método del cuantil aleatorio tiene una interpretación física agradable. Supongamos que una fuente de luz está a$$b$$ unidades lejos$$a$$ de la posición de una pared infinita y recta. Hacemos brillar la luz en la pared en un ángulo$$\Theta$$ (a la perpendicular) que se distribuye uniformemente en el intervalo$$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$. Entonces la posición$$X = a + b \tan \Theta$$ del haz de luz en la pared tiene la distribución de Cauchy con parámetro de ubicación$$a$$ y parámetro de escala$$b$$.

Abre el experimento de Cauchy. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad. Obsérvese el comportamiento de la media empírica y la desviación estándar.

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