1.4: Ecuaciones Maxwell en la Materia

Los átomos son neutros y consisten en un núcleo cargado positivamente rodeado por una nube de electrones cargada negativamente. En un campo eléctrico, los centros de masa de las cargas positivas y negativas se desplazan uno con respecto al otro. Por lo tanto, un átomo en un campo eléctrico se comporta como un dipolo eléctrico. En las moléculas polares, los centros de masa de las cargas positivas y negativas están permanentemente separados, incluso sin un campo eléctrico. Pero sin campo eléctrico, están orientados aleatoriamente y por lo tanto no tienen efecto neto, mientras que ante la presencia de un campo eléctrico se alinean paralelos al campo. Cualquiera que sea el mecanismo preciso, un campo eléctrico induce una cierta densidad neta de momento dipolo por unidad de volumen P (r) [C/m ²] i en materia que es proporcional al campo eléctrico local ε (r):

\[P(r,t)=E_{0}χ_{e}ε(r, t), \nonumber \]

donde χ _e es una cantidad adimensional, la susceptibilidad eléctrica del material. Destacamos que ε es el campo local total en la posición del dipolo, es decir, contiene la contribución de todos los demás dipolos, que también se excitan e irradian un campo electromagnético ellos mismos. Sólo en el caso de los gases diluidos, se puede descuidar la influencia de los otros dipolos en la materia y el campo eléctrico local viene dado simplemente por el campo emitido por la fuente externa.

Una densidad de momento dipolar que cambia con el tiempo corresponde a una densidad de corriente J _p [Ampere/m ² =C/ (m ² s)] y una densidad de carga ρ _p [C/m ³] dada por

\[J_{p}(r,t)=\dfrac{\partial{P}(r,t)}{\partial{t}}=E_{0}χ\dfrac{\partial{ε}(r,t)}{\partial{t}}, \nonumber \]

\[ρ_{p}(r,t)=-\bigtriangledown · P(r,t)=-\bigtriangledown · (E_{0}χε), \nonumber \]

Todos los materiales conducen electrones en cierta medida, aunque la conductividad σ [Ampere/ (Volt m) =C/ (Volt s] difiere mucho entre dieléctricos, semiconductores y metales (la conductividad del cobre es 10 ⁷ veces la de un buen conductor como el agua de mar y 10 ¹⁹ veces la del vidrio) . La densidad de corriente _Jc y la densidad de carga correspondiente a los electrones de conducción satisfacen:

\[J_{c}=ρε, \nonumber \]

\[\dfrac{\partial{ ρ_{c}}}{\partial{t}}=-\bigtriangledown · J_{c}=-\bigtriangledown · (ρε), \nonumber \]

donde (\(\PageIndex{4}\)) es la Ley de Ohm. La densidad de corriente total en el lado derecho de Maxwell's Law (1.2.4) es la suma de J _p, J _c y una densidad de corriente externa J _ext, que suponemos que se conoce. De igual manera, la densidad de carga total a la derecha de (1.2.5) es la suma de ρ _p, ρ _c y una densidad de carga externa dada ρ _ext. Esta última está vinculada a la densidad de corriente externa por la ley de conservación de carga (1.2.2). De ahí que (1.2.4) y (1.2.5) se conviertan

\[\bigtriangledown × \dfrac{B}{μ_{0}}=E_{0}E_{0}\dfrac{\partial{ ε}}{\partial{t}}+J_{p}+J_{c}+J_{ext}=E_{0}(1+χ)\dfrac{\partial{ ε}}{\partial{t}}+σε+J_{ext} \nonumber \]

\[\bigtriangledown · E_{0}ε=ρ_{p}+ ρ_{c}+ ρ_{ext}=-\bigtriangledown · (E_{0}χε)+ ρ_{c}+ ρ_{ext}. \nonumber \]

Definimos la permitividad E por

\[E=E_{0}(1+χ_{e}). \nonumber \]

Entonces (\(\PageIndex{6}\)) y (\(\PageIndex{7}\)) pueden escribirse como

\[\bigtriangledown × \dfrac{B}{μ_{0}}=E\dfrac{\partial{ ε}}{\partial{ t}}+σε+J_{ext} \nonumber \]

\[\bigtriangledown · (Eε)=ρ_{c}+ρ_{ext}. \nonumber \]

Se verifica en el Problema 1 que en un conductor cualquier acumulación de carga se reduce extremadamente rápidamente a cero. Por lo tanto, podemos suponer que

\[ρ_{c}=0. \nonumber \]

Si el material es magnético, la permeabilidad magnética es diferente al vacío y se escribe como µ = µ ₀ (1 + χ _m), donde χ _m es la susceptibilidad magnética. En las ecuaciones de Maxwell, entonces se debe reemplazar µ ₀ por µ. Sin embargo, a frecuencias ópticas los efectos magnéticos son despreciables (excepto en materiales ferromagnéticos, que son raros). Por lo tanto, siempre asumiremos que la permeabilidad magnética es la del vacío: µ = µ ₀.

Se acostumbra definir el campo magnético por H = B /µ ₀ [Ampere/m=C/ (ms)]. Al usar el campo magnético H en lugar de la inducción magnética B, las ecuaciones de Maxwell se vuelven más simétricas:

\[\bigtriangledown × ε=-μ_{0}\dfrac{ \partial{ H} }{ \partial{ t} },Faraday’s\space Law \nonumber \]

\[\bigtriangledown × H=E\dfrac{ \partial{ ε } }{ \partial{ t} }+σε+J_{ext},Maxwell’s\space Law \nonumber \]

\[\bigtriangledown · Eε =ρ_{ext},Gauss’s\space Law \nonumber \]

\[\bigtriangledown · H=0.no \space magnetic\space charge. \nonumber \]

Esta es la forma en la que estaremos usando las ecuaciones de Maxwell en la materia en este libro. Se observa que las ecuaciones de Maxwell en materia son idénticas a las del vacío, con E sustituida por E ₀.