1.5: La ecuación de onda escalar y vectorial
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Consideramos un aislante homogéneo (es decir, E es independiente de la posición y σ=0) en el que no hay fuentes externas:
\[J_{ext},ρ_{ext}=0. \nonumber \]
En la óptica, la fuente externa, por ejemplo un láser, normalmente está separada espacialmente de los objetos de interés con los que interactúa la luz. De ahí que a menudo se justifique la suposición de que la fuente externa desaparece en la región de interés. Tomar el rizo de (1.12) y la derivada del tiempo de (1.13) y sumar las ecuaciones obtenidas. Esto da
\[\bigtriangledown × \bigtriangledown ×ε+Eμ_{0}\dfrac{\partial^{2}{ε}}{\partial{t}^2}=0. \nonumber \]
Ahora para cualquier campo vectorial A contiene:
\[\bigtriangledown × \bigtriangledown ×A=-\bigtriangledown^{2}A+\bigtriangledown\bigtriangledown · A. \nonumber \]
donde 2 A es el vector:
\[\bigtriangledown^{2}A=\bigtriangledown^{2}A_{x}\hat{x}+\bigtriangledown^{2}A_{y}\hat{y}+\bigtriangledown^{2}A_{z}\hat{z}, \nonumber \]
con
\[\bigtriangledown^{2}=\dfrac{\partial^{2}}{\partial{x}^2}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial{y}^2}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial{z}^2}. \nonumber \]
Porque la ley de Gauss (1.3.14) con ρ ext = 0 y E constante implica que · E = 0, (\(\PageIndex{3}\)) aplicada a E rinde
\[\bigtriangledown × \bigtriangledown ×ε=-\bigtriangledown^{2}ε. \nonumber \]
Por lo tanto, (\(\PageIndex{2}\)) se convierte
\[\bigtriangledown^{2}ε-Eμ_{0}\dfrac{\partial^{2}{ε}}{\partial{t}^2}=0. \nonumber \]
Por una derivación similar se encuentra que también H satisface (\(\PageIndex{7}\)). De ahí que en un dieléctrico homogéneo sin fuentes externas, cada componente del campo electromagnético satisface la ecuación de onda escalar:
\[\bigtriangledown^{2}U-Eμ_{0}\dfrac{\partial^{2}{U}}{\partial{t}^2}=0. \nonumber \]
El índice de refracción es la cantidad adimensional definida por
\[n=(\dfrac{E}{E_{0}})^{1/2}. \nonumber \]
La ecuación de onda escalar puede escribirse como
\[\bigtriangledown^{2}U-n^{2}E_{0}μ_{0}\dfrac{\partial^{2}{U}}{\partial{t}^2}=0. \nonumber \]
La velocidad de la luz en la materia es
\[\dfrac{c}{n}= \dfrac{1}{(Eμ_{0})^{1/2} } . \nonumber \]