1.8: Energía electromagnética

La energía total almacenada en el campo electromagnético por unidad de volumen en un punto r es igual a la suma de las densidades de energía eléctrica y magnética. Postulamos que los resultados para las densidades de energía derivadas en electrostática y magnetostática también son válidos para los campos de oscilación rápida en óptica; de ahí que asumimos que la densidad total de energía electromagnética viene dada por:

\[U_{em}(r, t) = \dfrac{E}{2}ε(r, t) · ε(r, t)+\dfrac{μ_{0}}{2}H(r, t) · H(r, t). \nonumber \]

Es de notar que asumimos en esta sección que la permitividad es real, es decir, no hay absorción y la permitividad no incluye la conductividad.

Los campos electromagnéticos dependientes del tiempo propagan la energía. El flujo de energía electromagnética en una determinada posición r y tiempo t viene dado por el vector Poynting, que se define por

\[S(r, t) = ε(r, t) × H(r, t). \nonumber \]

Más precisamente, el flujo de energía electromagnética a través de una pequeña superficie dS con normal n en el punto r viene dado por

\[S(r, t) · \hat{n} dS. \nonumber \]

Si este producto escalar es positivo, el flujo de energía está en la dirección de n, de lo contrario es en la dirección de − n. De ahí que la dirección del vector S (r, t) sea la dirección del flujo de energía en el punto r y la longitud | S (r, t) | es la cantidad del flujo de energía, por unidad de tiempo y por unidad de área perpendicular a la dirección de S. Esta cantidad tiene unidad J/ (sm ²). Que el vector Poynting da el flujo de energía se puede ver en un dieléctrico para el cual la dispersión puede ser descuidada por la siguiente derivación. Consideramos el cambio con el tiempo de la energía electromagnética total en un volumen V:

\[\dfrac{d}{dt}\iiint\limits_{V} U_{em}(r,t)\, dV=\iiint\limits_{V} E\dfrac{∂ε(r, t)}{∂t}· ε(r, t) + µ_{0}\dfrac{∂H(r, t)}{∂t}· H(r, t)\, dV \nonumber \]

Sustituyendo (1.3.12), (1.3.13) y usando

\[−A · ∇ × B + B · ∇ × A = ∇ · (A × B), \nonumber \]

que contiene para dos campos vectoriales cualesquiera, encontramos

\[\iiint\limits_{V} E\dfrac{∂ε(r, t)}{∂t}· ε(r, t) + µ_{0}\dfrac{∂H(r, t)}{∂t}· H(r, t)\, dV=\iiint\limits_{V} ε(r, t) · ∇ × H(r, t) − H(r, t) · ∇ × ε(r, t)\, dV-\iiint\limits_{V} σε(r, t) · ε(r, t)\, dV-\iiint\limits_{V} ε(r, t) · J_{ext}(r, t)\, dV=-\iiint\limits_{V} ∇ · (ε × H)\, dV-\iiint\limits_{V} σε(r, t) · ε(r, t)\, dV-\iiint\limits_{V} ε(r, t) · J_{ext}(r, t)\, dV=-\iint\limits_{S} (ε × H) · \hat{n} \, dS-\iiint\limits_{V} σε(r, t) · ε(r, t)\, dV-\iiint\limits_{V} ε(r, t) · J_{ext}(r, t)\, dV, \nonumber \]

donde S es el volumen delimitador de superficie V y n es la unidad normal en S señalando fuera de V. Por lo tanto,

\[\dfrac{d}{dt}\iiint\limits_{V} U_{em}(r,t)\, dV+\iiint\limits_{V} σε(r, t) · ε(r, t)\, dV+\iiint\limits_{V} ε(r, t) · J(r, t)\, dV=-\iint\limits_{S} S(r,t) · \hat{n} \, dS. \nonumber \]

Esta ecuación dice que la tasa de cambio con el tiempo de la energía electromagnética en un volumen V más el trabajo realizado por el campo sobre la conducción y las corrientes externas dentro de V es igual a la afluencia de energía electromagnética a través del límite de V.

OBSERVACIÓN. El flujo de energía S y la densidad de energía U _em dependen cuadráticamente del campo. Para Uem la dependencia cuadrática de los campos eléctrico y magnético es clara. Para ver que el vector Poynting es también cuadrático en el campo electromagnético, hay que darse cuenta de que los campos eléctrico y magnético son inseparables: juntos forman el campo electromagnético. Dicho de otra manera: si se duplica la amplitud del campo eléctrico, entonces también se duplica la del campo magnético y de ahí que el vector Poynting se incremente en el factor 4. Por lo tanto, al calcular el vector Poynting o la densidad de energía electromagnética de un campo electromagnético armónico de tiempo, se deben usar los campos vectoriales de valor real, es decir, NO se deben usar los campos complejos.Una excepción es el cálculo del promedio a largo plazo del vector Poynting o la densidad de energía. Como mostraremos en la siguiente sección, los promedios de tiempo del flujo de energía y la densidad de energía de los campos armónicos de tiempo pueden expresarse de manera bastante conveniente en términos de las amplitudes de campo complejas.

Si subsituamos los campos reales (1.6.12), (1.6.13) de la onda plana en el vector Poynting y la densidad de energía electromagnética obtenemos:

\[S(z, t) = ε(z, t) × H(z, t) = (\dfrac{E}{μ_{0}})^{1/2}|A|^2cos^2(kz − ωt + ϕ) \hat{z}, \nonumber \]

\[U_{em}(z, t) = E |A|^2 cos^2(kz − ωt + ϕ). \nonumber \]

Vemos que el flujo de energía de una onda plana está en la dirección del vector de onda, que también es la dirección de la velocidad de fase. Además, cambia con el tiempo a la frecuencia 2ω.