1.9: Energía promediada en el tiempo

Las frecuencias ópticas están en el rango de 5 × 10 ¹⁴ Hz y los detectores más rápidos que trabajan a frecuencias ópticas tienen tiempos de integración mayores a 10 ⁻¹⁰ s. De ahí que no existe ningún detector que pueda medir las fluctuaciones de tiempo de los campos electromagnéticos a frecuencias ópticas y cualquier detector siempre mide un valor promedio, tomado a lo largo de un intervalo de tiempo que es muy grande en comparación con el periodo\(2π/ω\) de la onda de luz, típicamente al menos un factor 10 ⁵ más largo. Por lo tanto, calculamos promedios en dichos intervalos de tiempo del vector Poynting y de la energía electromagnética. Debido a que el vector Poynting y la densidad de energía dependen no linealmente (cuadráticamente) de las amplitudes de campo, no podemos realizar los cálculos usando las amplitudes complejas y tomar la parte real después, sino que tenemos que partir de las cantidades reales. Sin embargo, resulta que el resultado final puede expresarse convenientemente en términos de las complejas amplitudes de campo.

Considere dos funciones armónicas de tiempo:

\[A(t) = Re [ Ae^{−iωt}]= |A| cos(ϕ_{A} − ωt) \nonumber \]

\[B(t) = Re [ Be^{−iωt}]= |B| cos(ϕ_{B} − ωt) \nonumber \]

con\(A = |A| \exp(iϕA)\) y\(B = |B| \exp(iϕB)\) las amplitudes complejas. Para una función general del tiempo\(f(t)\) definimos el promedio de tiempo a lo largo de un intervalo\(T\) en un cierto tiempo t, por

\[\dfrac{1}{T}\int\limits_{t-T/2}^{t+T/2}f(t')\, dt'. \nonumber \]

donde\(T\) es mucho mayor (digamos un factor de 10 ⁵) que el periodo de la luz. Es obvio que para los campos tiempo-armónicos el promedio no depende del tiempo exacto t en el que se computa. y por lo tanto tomamos t = 0 y escribimos

\[⟨f(t)⟩ = \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}f(t)\, dt. \nonumber \]

Con A (t) = Re [Ae ^−iωt] =1/2 [Ae ^−iωt +A*E ^iωt], donde A∗ es el conjugado complejo de A; y con una expresión similar para B (t), se deduce que

\[ \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}A(t)B(t)\, dt= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{4T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}[AB* + A*B + ABe^{−2iωt} + A*B*e^{2iωt}]\, dt= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{4T}[AB* + A*B + AB\dfrac{e^{iωt}-e^{-iωt}}{2iTω} + A*B*\dfrac{e^{iωt}-e^{-iωt}}{2iTω}]=\dfrac{1}{2}Re[AB*], \nonumber \]

Este importante resultado se utilizará una y otra vez. En palabras:

El promedio del producto de dos cantidades tiempo-armónicas durante un largo intervalo de tiempo en comparación con el periodo, es la mitad de la parte real del producto de la amplitud compleja de una cantidad y el conjugado complejo de la otra.

Si aplicamos esto al vector de Poynting de un campo electromagnético armónico de tiempo general: ε (r, t) = Re [E (r) e ^−iωt], H (r, t) = Re [H (r) e ^−iωt], entonces encontramos que el tiempo- el flujo de energía promedio denotado por S (r) viene dado por

\[S(r)= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}S(r,t)\, dt=\dfrac{1}{2}Re[E×H*]. \nonumber \]

Del mismo modo, la densidad de energía electromagnética promediada en el tiempo es:

\[⟨U_{en}(r)⟩= \lim_{T→∞}\dfrac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}U_{en}(r,t)\, dt=\dfrac{1}{2}Eε(r)· ε(r)*+\dfrac{μ_{0}}{2}H(r) · H(r)*=\dfrac{1}{2}E|ε(r)|^2+\dfrac{μ_{0}}{2}|H(r)|^2. \nonumber \]

Para el caso especial de onda plana (1.6.12), (1.6.13) en un medio sin absorción, obtenemos:

\[S=\dfrac{1}{2}(\dfrac{E}{μ_{0}})^{1/2}Re [AA*] \hat{z} =\dfrac{1}{2}(\dfrac{E}{μ_{0}})^{1/2}|A|^2\hat{z}. \nonumber \]

La longitud del vector (\(\PageIndex{8}\)) es el flujo de energía promediado en el tiempo por unidad de área en la dirección de la onda plana y comúnmente se llama la intensidad de la onda. Para la densidad de energía electromagnética promediada en el tiempo de la onda plana, obtenemos:

\[⟨U_{en}⟩=\dfrac{1}{2}E|A|^2+\dfrac{1}{2μ_{0}}μ_{0}E|A|^2=E|A|^2. \nonumber \]

Para una onda plana tanto el flujo de energía promediado en el tiempo como la densidad de energía promediada en el tiempo son proporcionales al módulo cuadrado del campo eléctrico complejo.