5.5: Coherencia Temporal e Interferómetro Michelson

Para investigar la coherencia de un campo, el enfoque más general es hacer que el campo sea en dos puntos diferentes\(\mathbf{r}_{1}\) e\(\mathbf{r}_{2}\) interferir por algún tiempo de retraso\(\tau\) y observar el contraste marginal. Esto significa que uno deja que los campos\(U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)\) e\(U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right)\) interfieran. Sin embargo, es costumbre mirar primero el campo en un punto y dejar que interfiera consigo mismo pero retrasado en el tiempo, es decir, interferir\(U(\mathbf{r}, t)\) con\(U(\mathbf{r}, t-\tau)\). Este caso especial se denomina coherencia temporal. El otro caso especial es la coherencia espacial en la que la coherencia de los campos en dos puntos se considera sin retardo de tiempo, al interferir\(U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)\) y\(U\left(\mathbf{r}_{2}, t\right)\). La coherencia espacial se tratará posteriormente.

Porque, al estudiar la coherencia temporal, el punto\(\mathbf{r}\) es siempre el mismo, lo omitimos de la fórmula. Además, para facilitar la comprensión de los fenómenos, asumimos por el momento que el campo considerado es emitido por un solo átomo (es decir, una fuente puntual).

La coherencia temporal está estrechamente relacionada con el contenido espectral de la luz: si la luz consiste en menos frecuencias (piense en luz monocromática), entonces es más coherente temporalmente. Para estudiar la interferencia de\(U(t)\) con\(U(t-\tau)\), un interferómetro Michelson, mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\), es una configuración adecuada. La luz que pasa por un brazo lleva tiempo llegar\(t\) al detector, mientras que la luz que pasa por el otro brazo (más largo) lleva tiempo lo\(t+\tau\) que significa que se irradió antes. Por lo tanto, el detector observa la intensidad promediada en el tiempo\(\left\langle|U(t)+U(t-\tau)|^{2}\right\rangle\). Como se señaló antes, esta intensidad promediada no depende del tiempo que se tome el promedio, solo depende de la diferencia de tiempo\(\tau\) entre los dos haces. Tenemos\[\begin{aligned} I(\tau) &=\left\langle|U(t)+U(t-\tau)|^{2}\right\rangle \\ &=\left\langle|U(t)|^{2}\right\rangle+\left\langle|U(t-\tau)|^{2}\right\rangle+2 \operatorname{Re}\left\langle U(t) U(t-\tau)^{*}\right\rangle \\ &=2\left\langle|U(t)|^{2}\right\rangle+2 \operatorname{Re}\left\langle U(t) U(t-\tau)^{*}\right\rangle . \end{aligned} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Un interferómetro Michelson para estudiar la coherencia temporal de un campo. Un haz se divide en dos por un divisor de haz, y los dos haces se propagan a diferentes distancias que corresponden a una diferencia de tiempo\(\tau\) y luego interfieren en el detector.

Hasta el momento hemos considerado un campo que se origina a partir de un solo átomo. El campo total emitido por una fuente extendida es la suma de campos\(U_{i}(t)\) correspondientes a todos los átomos\(i\). Al estudiar la coherencia temporal asumimos que estos campos se están propagando más o menos paralelos y que la luz tiene una polarización fija, de manera que los campos se pueden agregar algebraicamente. El campo complejo total producido por una gran cantidad\(N\) de átomos es\[U(t)=U_{1}(t)+\ldots+U_{N}(t) . \nonumber \] Durante el tiempo de integración del detector los campos\(U_{i}\) experimentan miles de saltos de fase aleatorios y por lo tanto no interfieren: las fuentes puntuales de la fuente extendida son mutuamente incoherentes. La intensidad total detectada (\(\PageIndex{1}\)) es así la suma de las intensidades de los átomos individuales:\[\begin{aligned} I(\tau) &=\left\langle|U(t)+U(t-\tau)|^{2}\right\rangle \\ &\left.\left.=\left\langle\sum_{i}\right| U_{i}(t)+U_{i}(t-\tau)\right]\left.\right|^{2}\right\rangle \\ &=\sum_{i} 2\left\{\left\langle\left. U_{i}(t)\right|^{2}\right\rangle+\operatorname{Re}\left\langle U_{i}(t) U_{i}(t-\tau)^{*}\right\rangle\right\}, \end{aligned} \nonumber \] La expresión\(\left\langle|U(t)+U(t-\tau)|^{2}\right\rangle\) no depende de la posición, por lo que no puede describir franjas de interferencia en el espacio. Para observar mejor lo que sucede cuando\(\tau\) se varía, introducimos franjas de interferencia en el espacio inclinando un haz para que el patrón de interferencia observado esté dado por\[\begin{aligned} I(x, \tau) &=\left\langle\left|U(t) e^{i k_{x} x}+U(t-\tau)\right|^{2}\right\rangle \\ &=2\left\langle|U(t)|^{2}\right\rangle+2 \operatorname{Re}\left\langle U(t) U(t-\tau)^{*} e^{i k_{x} x}\right\rangle . \end{aligned} \nonumber \]

Si\(\tau\) se cambia, los máximos del patrón de interferencia se traducen en función de\(x\), lo cual es fácil de observar. Se demuestra cómo se observan las franjas de interferencia para haces colimados inclinados en un interferómetro Michelson en. Es posible obtener diferentes patrones de flecos utilizando haces divergentes en lugar de haces colimados, como se demuestra en.

La función de autocoherencia\(\Gamma(\tau)\) se define por\[\Gamma(\tau)=\left\langle U(t) U(t-\tau)^{*}\right\rangle \quad \text { self-coherence. } \nonumber \] La intensidad de\(U(t)\) es\[I_{0}=\left\langle|U(t)|^{2}\right\rangle=\Gamma(0) . \nonumber \]

El complejo grado de autocoherencia se define por:\[\gamma(\tau)=\frac{\Gamma(\tau)}{\Gamma(0)} . \quad \text { complex degree of self-coherence } \nonumber \]

Este es un número complejo con módulo entre 0 y 1:\[0 \leq|\gamma(\tau)| \leq 1, \nonumber \]

Entonces se puede escribir la intensidad observada:\[I(x, \tau)=2 I_{0}\left\{1+\operatorname{Re}\left[\gamma(\tau) e^{i k_{x} x}\right]\right\}, \nonumber \] Recordemos que variamos\(\tau\) variando la longitud de uno de los brazos en el interferómetro Michelson.

Consideramos algunos casos especiales. Supongamos que\(U(t)\) es una onda monocromática\[U(t)=e^{-i \omega t} . \nonumber \]

En ese caso obtenemos por la autocoherencia\[\Gamma(\tau)=\left\langle e^{-i \omega t} e^{i \omega(t-\tau)}\right\rangle=e^{-i \omega \tau}, \nonumber \] y\[\gamma(\tau)=e^{-i \omega \tau} . \nonumber \]

Por lo tanto, el patrón de interferencia viene dado por\[I(x, \tau)=2\left[1+\cos \left(\omega \tau-k_{x} x\right)\right] . \nonumber \]

Entonces, para la luz monocromática esperamos ver un patrón de interferencia coseno, que cambia a medida que cambiamos la longitud del brazo del interferómetro (es decir, cambiar\(\tau\)). No importa cuán grande sea\(\tau\), se debe observar un patrón de interferencia claro.

A continuación consideramos lo que sucede cuando la luz es una superposición de dos frecuencias:\[U(t)=\frac{e^{-i(\bar{\omega}+\Delta \omega / 2) t}+e^{-i(\bar{\omega}-\Delta \omega / 2) t}}{2}, \nonumber \] dónde\(\Delta \omega \ll \bar{\omega}\). Entonces:\[\begin{aligned} \Gamma(\tau) &=\frac{1}{4}\left\langle\left(e^{-i(\bar{\omega}+\Delta \omega / 2) t}+e^{-i(\bar{\omega}-\Delta \omega / 2) t}\right)\left(e^{i(\bar{\omega}+\Delta \omega / 2)(t-\tau)}+e^{i(\bar{\omega}-\Delta \omega / 2)(t-\tau)}\right)\right\rangle \\ & \approx \frac{e^{-i(\bar{\omega}+\Delta \omega / 2) \tau}+e^{-i(\bar{\omega}-\Delta \omega / 2) \tau}}{4} \\ &=\cos (\Delta \omega \tau / 2) \frac{e^{-i-\bar{\omega} \tau}}{2} \end{aligned} \nonumber \] donde en la segunda línea el promedio de tiempo de términos que oscilan con el tiempo se establece en cero debido a que el promedio se realiza a lo largo de un intervalo de tiempo de duración\(T\) satisfactorio\(T \Delta \bar{\omega} \gg 1\). De ahí que el complejo grado de autocoherencia sea:\[\gamma(\tau)=\cos (\Delta \omega \tau / 2) e^{-i \bar{\omega} \tau} \nonumber \] y (\(\PageIndex{8}\)) se convierte\[I(x, \tau)=\left\{1+\operatorname{Re}\left[\gamma(\tau) e^{i k_{x} x}\right]\right\}=\left[1+\cos (\Delta \omega \tau / 2) \cos \left(\bar{\omega} \tau-k_{x} x\right)\right] . \nonumber \]

El término de interferencia es el producto de la función\(\cos \left(\bar{\omega} \tau-k_{x} x\right)\)), que es una función rápidamente oscilante de\(\tau\), y una envolvente que varía lentamente\(\cos (\Delta \omega \tau / 2)\). Es interesante señalar que la envolvente, y por lo tanto\(\gamma(\tau)\), se desvanece para algunos periódicamente espaciados\(\tau\), lo que significa que para cierto\(\tau\) el grado de autocoherencia se desvanece y no se forman franjas de interferencia. Tenga en cuenta que si\(\Delta \omega\) se incrementa, los intervalos entre los ceros de\(\gamma(\tau)\) disminución.

Si se agregan más frecuencias, la función envolvente no es una función coseno sino que en promedio disminuye con\(\tau\). El valor típico de\(\tau\) por debajo del cual se observan interferencias es aproximadamente igual a la mitad del primer cero de la función envolvente. Este valor se llama el tiempo de coherencia\(\Delta \tau_{c}\). Concluimos con algunas interpretaciones adicionales del grado de autocoherencia\(\gamma(\tau)\).

• En el análisis estocástico de la señal\(\Gamma(\tau)=\left\langle U(t) U(t-\tau)^{*}\right\rangle\) se llama la autocorrelación de\(U(t)\). Informalmente, se puede interpretar la función de autocorrelación como la capacidad de predecir el campo\(U\) en el tiempo\(t\) dado el campo a la vez\(t-\tau\).
• El teorema de Wiener-Khinchine dice que la transformada de Fourier de la función de autocoherencia es la densidad de potencia espectral de\(U(t)\):

\[\hat{\Gamma}(\omega)=|\hat{U}(\omega)|^{2} . \nonumber \]Este resultado se puede probar para campos estacionarios utilizando la identidad de Parseval. Usando el principio de incertidumbre, podemos ver que cuanto mayor sea la dispersión de las frecuencias de\(U(t)\) (es decir, cuanto mayor sea el ancho de banda), más agudamente\(\Gamma(\tau)\) se alcanza el pico. Así, la luz se vuelve temporalmente menos coherente cuando consiste en un rango más amplio de frecuencias.