5.7: Coherencia espacial y experimento de Young

Mientras que para la coherencia temporal se utilizó un interferómetro Michelson, la elección natural para caracterizar la coherencia espacial es el experimento de Young, ya que permite que los campos en dos puntos separados en el espacio interfieran entre sí. En el experimento de Young, se utiliza una máscara con dos picaduras en las posiciones de los puntos\(P_{1}\) y\(P_{2}\) de interés. Dejar\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\) ser los vectores de posición de los dos puntos\(P_{1}\) y\(P_{2}\), respectivamente. Escribimos el campo en\(P_{1}\) como una superposición de campos armónicos de tiempo como en (5.3.6):\[U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)=\int A_{\omega}\left(\mathbf{r}_{1}\right) e^{-i \omega t} \mathrm{~d} \omega . \nonumber \] Según el principio Huygens-Fresnel, una perturbación armónica de tiempo con frecuencia\(\omega\) en el agujero de alfiler\(\mathbf{r}_{1}\) provoca una onda esférica irradiante detrás de la máscara, con campo armónico de tiempo en algún punto\(\mathbf{r}\) dado por\[A_{\omega}\left(\mathbf{r}_{1}\right) \frac{e^{-i \omega\left(t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right| / c\right)}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|} . \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Experimento de Young para estudiar la coherencia espacial de dos puntos. Una máscara con dos agujeros en los dos puntos de interés,\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\), se utiliza para dejar que los campos en estos puntos interfieran entre sí en una pantalla a gran distancia. Debido a que la luz se propaga a diferentes distancias desde los dos agujeros hasta el punto de observación,\(U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)\) interfiere con\(U\left(\mathbf{r}_{2}, t+\tau\right)\), donde\(\tau\) está la diferencia en el tiempo de propagación.

El campo total\(U_{1}(\mathbf{r}, t)\) en cualquier punto\(\mathbf{r}\) debido al estenopeico en\(P_{1}\) se obtiene integrando en todas las frecuencias:\[U_{1}(\mathbf{r}, t)=\int A_{\omega}\left(\mathbf{r}_{1}\right) \frac{e^{-i \omega\left(t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right| / c\right)}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|} \mathrm{d} \omega=\frac{U\left(\mathbf{r}_{1}, t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right| / c\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|} . \nonumber \]

En palabras, el campo\(\mathbf{r}\) en el tiempo\(t\) debido al estenopeico en\(\mathbf{r}_{1}\) es proporcional al campo en el\(\mathbf{r}_{1}\) momento anterior\(=\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right| / c\) que toma para que la luz se propague de forma\(\mathbf{r}_{1}\) a \(\mathbf{r}\). Las escalas del factor de proporcionalidad con la distancia recíproca entre\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{r}_{1}\).

Considere la configuración que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Los campos\(U_{1}\) y\(U_{2}\) de los dos agujeros en\(\mathbf{r}_{1}\) e\(\mathbf{r}_{2}\) interfieren entre sí en un punto\(\mathbf{r}\) a gran distancia. Debido a la diferencia en la distancia de propagación\(\Delta R=\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|\), existe una diferencia de tiempo\(\tau\) entre los dos campos cuando llegan al punto\(\mathbf{r}\) de la pantalla, dada por\[\tau=\frac{\Delta R}{c} . \nonumber \]

Además, debido a la propagación, las amplitudes se reducen en un factor proporcional a la distancia recíproca que es diferente para los dos campos. Pero si la distancia entre las dos pantallas es lo suficientemente grande, podemos tomar estos factores para que sean los mismos y luego omitirlos. El patrón de interferencia en la pantalla viene dado por\[\begin{aligned} I(\tau) &=\left\langle\left|U_{1}(\mathbf{r}, t)+U_{2}(\mathbf{r}, t)\right|^{2}\right\rangle \\ &=\left\langle\left|U\left(\mathbf{r}_{1}, t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right| \mid / c\right)+U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right| \mid / c\right)\right|^{2}\right\rangle \\ &=\left\langle\left|U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)+U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right)\right|^{2}\right\rangle \\ &=\left\langle\left|U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)\right|^{2}\right\rangle+\left\langle\left|U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right)\right|^{2}\right\rangle+2 \operatorname{Re}\left\langle U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right) U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right)^{*}\right\rangle . \end{aligned} \nonumber \]

Definimos la función de coherencia mutua y las intensidades:\[\begin{gathered} \Gamma_{12}(\tau)=\left\langle U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right) U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right)^{*}\right\rangle, \\ \quad I_{1}=\left\langle\left|U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)\right|^{2}\right\rangle=\Gamma_{11}(0), \\ I_{2}=\left\langle\left|U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right)\right|^{2}\right\rangle=\Gamma_{22}(0) . \end{gathered} \nonumber \]

El complejo grado de coherencia mutua se define utilizando estas intensidades para normalizar\(\Gamma_{12}(\tau)\):\[\gamma_{12}(\tau)=\frac{\Gamma_{12}(\tau)}{\sqrt{\Gamma_{11}(0)} \sqrt{\Gamma_{22}(0)}}, \quad \quad \text { complex degree of mutual coherence. } \nonumber \]

El módulo de\(\gamma_{12}\) es menor o igual a 1 (lo cual se puede probar usando la desigualdad de Bessel). Ahora podemos escribir (\(\PageIndex{5}\)) como\[I(\tau)=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1}} \sqrt{I_{2}} \operatorname{Re}\left\{\gamma_{12}(\tau)\right\} . \nonumber \]

Al variar el punto de observación\(\mathbf{r}\) sobre la pantalla, podemos variar\(\tau\). Al medir las intensidades, podemos deducir la parte real de\(\gamma_{12}(\tau)\). Tenga en cuenta que\(\gamma_{12}(\tau)\) indica la capacidad de formar flecos.

Veamos qué pasa cuando\(U(\mathbf{r}, t)\) es un campo monocromático\[U(\mathbf{r}, t)=A(\mathbf{r}) e^{-i \omega t} . \nonumber \]

En ese caso\[\begin{aligned} \Gamma_{12}(\tau) &=\left\langle A\left(\mathbf{r}_{1}\right) A\left(\mathbf{r}_{2}\right)^{*} e^{-i \omega t} e^{i \omega(t-\tau)}\right\rangle \\ &=A\left(\mathbf{r}_{1}\right) A\left(\mathbf{r}_{2}\right)^{*} e^{-i \omega \tau} . \end{aligned} \nonumber \]

Entonces obtenemos\[\gamma_{12}(\tau)=\frac{\Gamma_{12}(\tau)}{\left|A\left(\mathbf{r}_{1}\right)\right|\left|A\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right|}=e^{-i \omega \tau+i \varphi}, \nonumber \] dónde\(\varphi\) está la diferencia de fase de\(A\left(\mathbf{r}_{2}\right)\) y\(A\left(\mathbf{r}_{1}\right)\). En este caso\(\gamma_{12}\) tiene módulo 1, como se esperaba para un campo monocromático. La intensidad en la pantalla se convierte\[I(\tau)=\left|A\left(\mathbf{r}_{1}\right)\right|^{2}+\left|A\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right|^{2}+2\left|A\left(\mathbf{r}_{1}\right)\right|\left|A\left(\mathbf{r}_{2}\right)\right| \cos (\omega \tau-\varphi) . \nonumber \]

Entonces efectivamente vemos franjas de interferencia, como cabría esperar de una onda monocromática. Si\(\varphi=0\), entonces se producen máximos de interferencia para\[\omega \tau=0, \pm 2 \pi, \pm 4 \pi, \pm 6 \pi, \ldots \nonumber \]

Porque\(\omega=c \frac{2 \pi}{\lambda}\), y\(\Delta R=c \tau\), encontramos que los máximos ocurren cuando\[\Delta R=0, \pm \lambda, \pm 2 \lambda, \pm 3 \lambda, \ldots \nonumber \]

Para una gran distancia entre la máscara y la pantalla (en el límite de Fraunhofer), estas diferencias de longitud de trayectoria corresponden a direcciones de los máximos dadas por los ángulos\(\theta_{m}\) (ver Figura\(\PageIndex{1}\)):\[\theta_{m}=\frac{\Delta R}{d}=m \frac{\lambda}{d}, \nonumber \] dónde\(d\) está la distancia entre las ranuras y \(m\)es un número entero.

Observación. Reconocemos\(\Gamma_{12}(\tau)=\left\langle U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right) U\left(\mathbf{r}_{2}, t-\tau\right)^{*}\right\rangle\) que es la correlación cruzada de las dos señales\(U\left(\mathbf{r}_{1}, t\right)\) y\(U\left(\mathbf{r}_{2}, t\right)\).