5.8: Aumento de la coherencia espacial por propagación

Cuando la luz se propaga, la coherencia mutua en puntos separados transversalmente en general aumenta con la distancia de propagación. Por ejemplo, el sol consiste en un número increíblemente grande de emisores que emiten en momentos aleatorios. Por lo tanto, los campos en diferentes puntos de la superficie del sol están completamente descorrelacionados, es decir, el campo en la superficie del sol es espacialmente completamente incoherente. Pero después de la propagación a la tierra, la luz solar se ha vuelto parcialmente coherente, con una longitud de coherencia de aproximadamente\(50 \mu \mathrm{m}\) alrededor de la longitud de onda de\(510 \mathrm{~nm}\). Cuanto más lejos esté el sol o una estrella, más coherente espacialmente se vuelve el campo en dos puntos separados transversalmente. ¿Cómo podemos entender esto?

Una forma de verlo es que en la superficie de la estrella, el campo está determinado por las fuentes puntuales más cercanas. Dado que todas las fuentes puntuales emiten trenes de onda haciendo miles de saltos de fase no correlacionados durante un tiempo de integración de cualquier detector, los campos en dos puntos en la superficie de la estrella son completamente incoherentes. Pero el campo en dos puntos separados transversalmente a gran distancia de la estrella ambos consisten en contribuciones de todas las fuentes puntuales en la estrella, es decir, los campos de las diferentes fuentes puntuales se mezclan espacialmente. Siempre que la diferencia de distancias entre cada uno de los puntos transversales y las fuentes puntuales de la estrella sea menor que la longitud de coherencia, estas contribuciones pueden interferir. Interesante, cuando la distancia de los puntos separados transversalmente a la estrella aumenta, la diferencia entre las distancias de los puntos a la estrella disminuye. Por lo tanto, el campo se vuelve más coherente espacialmente cuando aumenta la distancia al inicio.

Para cuantificar este fenómeno, consideramos dos fuentes puntuales mutuamente incoherentes\(S_{1}\) y\(S_{2}\) en el\(z=0\) plano. Suponemos que su función de coherencia mutua viene dada por:\[\begin{aligned} &\Gamma_{S_{1} S_{2}}(\tau)=0, \text { for all } \tau, \\ &\Gamma_{S_{1} S_{1}}(\tau)=\Gamma_{S_{2} S_{2}}(\tau)=\Gamma_{0}(\tau), \end{aligned} \nonumber \] ¿dónde\(\Gamma_{0}\) está la autocoherencia que suponemos aquí que es la misma para ambas fuentes puntuales,\(\Gamma_{0}(\tau)\) es una función decreciente del tiempo de retardo\(\tau\) (aunque no es necesariamente monótonamente decreciente). Usando que el promedio a largo plazo no depende del origen del tiempo (que se basó en el supuesto de que la fuente es estacionaria), encontramos:\[\Gamma_{0}(-\tau)=\left\langle U\left(S_{1}, t\right) U\left(S_{1}, t+\tau\right)^{*}\right\rangle=\left\langle U\left(S_{1}, t-\tau\right) U\left(S_{1}, t\right)^{*}\right\rangle=\Gamma_{0}(\tau)^{*} . \nonumber \]

Además, para\(\tau=0: \Gamma_{0}(0)=I_{0}\), que es la intensidad de cualquiera de las fuentes.

Considere dos puntos\(P_{1}, P_{2}\) a gran distancia\(z\) de las dos fuentes puntuales como se ve en la Figura\(\PageIndex{1}\). Calcularemos la coherencia mutua\(\Gamma_{P_{1} P_{2}}(0)\) de estos puntos para retardo de tiempo cero\(\tau=0\) (también podemos calcular la coherencia mutua para un retardo de tiempo más general\(\tau\)\(\Gamma_{P_{1} P_{2}}(\tau)\), es decir, pero será suficiente para nuestro propósito tomar \(\tau=0\)). El campo en\(P_{1}\) es la suma de los campos emitidos por\(S_{1}\) y\(S_{2}\):\[U\left(P_{1}, t\right) \propto \frac{U\left(S_{1}, t-\left|S_{1} P_{1}\right| / c\right)}{\left|S_{1} P_{1}\right|}+\frac{U\left(S_{2}, t-\left|S_{2} P_{1}\right| / c\right)}{\left|S_{2} P_{1}\right|}, \nonumber \] donde usamos (5.6.3). Del mismo modo,\[U\left(P_{2}, t\right) \propto \frac{U\left(S_{1}, t-\left|S_{1} P_{2}\right| / c\right)}{\left|S_{1} P_{2}\right|}+\frac{U\left(S_{2}, t-\left|S_{2} P_{2}\right| / c\right)}{\left|S_{2} P_{2}\right|}. \nonumber \]

Supongamos que\(z\) es tan grande que todas las distancias\(\left|S_{i} P_{j}\right|\) en los denominadores pueden ser reemplazadas por\(z\). Entonces se pueden omitir estas distancias iguales. Entonces se puede demostrar mediante la sustitución de (\(\PageIndex{4}\)) y (\(\PageIndex{5}\)) que la coherencia mutua en\(P_{1}\) y\(P_{2}\) para el retardo de tiempo cero\(\tau=0\) se convierte en:\[\begin{aligned} \Gamma_{P_{1} P_{2}}(0)=&\left\langle\left(U\left(P_{1}, t\right) U\left(P_{2}, t\right)^{*}\right\rangle\right.\\ =& \Gamma_{S_{1} S_{1}}\left(\frac{\left|S_{1} P_{2}\right|-\left|S_{1} P_{1}\right|}{c}\right)+\Gamma_{S_{1} S_{2}}\left(\frac{\left|S_{2} P_{2}\right|-\left|S_{1} P_{1}\right|}{c}\right) \\ &+\Gamma_{S_{2} S_{1}}\left(\frac{\left|S_{1} P_{2}\right|-\left|S_{2} P_{1}\right|}{c}\right)+\Gamma_{S_{2} S_{2}}\left(\frac{\left|S_{2} P_{2}\right|-\left|S_{2} P_{1}\right|}{c}\right) . \end{aligned} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos fuentes puntuales incoherentes\(S_{1}, S_{2}\) y dos puntos\(P_{1}, P_{2}\) en un plano a gran distancia\(z\) de las fuentes puntuales. El grado de coherencia mutua en\(P_{1}\) y\(P_{2}\) aumenta a 1 en el límite\(\alpha \rightarrow 0\).

Ahora usamos (\(\PageIndex{1}\)) y (\(\PageIndex{2}\)) y obtenemos\[\Gamma_{P_{1} P_{2}}(0)=\Gamma_{0}\left(\frac{\left|S_{1} P_{2}\right|-\left|S_{1} P_{1}\right|}{c}\right)+\Gamma_{0}\left(\frac{\left|S_{2} P_{2}\right|-\left|S_{2} P_{1}\right|}{c}\right) . \nonumber \]

Del mismo modo,\[\Gamma_{P_{1} P_{1}}(0)=\Gamma_{P_{2} P_{2}}(0)=2 \Gamma_{0}(0)=2 I_{0} . \nonumber \]

El resultado (\(\PageIndex{7}\)) confirma lo que ya se comentó en la Sección 5.5, que la coherencia mutua\(\Gamma_{P_{1} P_{2}}(\tau=0)\) depende de la diferencia en las distancias de punto fuente\(S_{1}\) a puntos\(P_{1}\) y\(P_{2}\) y de la diferencia en la distancia de\(S_{2}\) a\(P_{1}\) y\(P_{2}\).

OBSERVACIÓN. La derivación aquí dada es válida para dos puntos cualesquiera\(P_{1}, P_{2}\) suficientemente alejados de las fuentes puntuales\(S_{1}\)\(S_{2}\) y por lo tanto se aplica no sólo a puntos transversalmente sino también longitudinalmente separados.

Supongamos eso\(S_{1}=(a / 2,0,0), S_{2}=(-a / 2,0,0)\) y\(P_{1}, P_{2}\) déjese dar por:\(P_{j}=\left(x_{j}, 0, z\right)\) para\(j=1,2\). Si\(z\) es muy grande, así que\(S_{1} P_{1}\) y\(S_{1} P_{2}\) son casi paralelos, entonces con Figura\(\PageIndex{2}\) nos encontramos con\[\left|S_{1} P_{2}\right|-\left|S_{1} P_{1}\right| \approx\left|Q P_{2}\right|=\frac{\alpha}{2}\left(x_{1}-x_{2}\right) . \nonumber \]

Del mismo modo,\[\left|S_{2} P_{2}\right|-\left|S_{2} P_{1}\right| \approx-\frac{\alpha}{2}\left(x_{1}-x_{2}\right) . \nonumber \]

De ahí, con (\(\PageIndex{3}\)):\[\Gamma_{P_{1} P_{2}}(0)=2 \operatorname{Re} \Gamma_{0}\left(\frac{\alpha}{2} \frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)}{c}\right) . \nonumber \]

Se ve así que el grado de coherencia mutua depende del ángulo\(\alpha \approx a / z\) subtendido por las dos fuentes puntuales en el punto medio\((0,0, z)\) de la máscara. Cuanto menor sea este ángulo, mayor será el grado de coherencia espacial. La razón es que para menores\(\alpha\), es decir, para un tamaño más pequeño de la fuente y/o una mayor distancia a las fuentes puntuales, las franjas debido a las fuentes puntuales se vuelven casi superpuestas y se hacen cumplir entre sí, mientras que para mayores\(\alpha\) las franjas están más desplazadas con respetarse entre sí y de ahí que la suma de las franjas de las dos fuentes puntuales tenga una visibilidad marginal menos pronunciada.

Figura\(\PageIndex{2}\): Para\(z\) muy grandes,\(S_{1} P_{1}\) y\(S_{1} P_{2}\) son casi paralelos y\(\left|S_{1} P_{2}\right|-\left|S_{1} P_{1}\right| \approx\)\(\left|Q P_{2}\right|=\left(x_{1}-x_{2}\right) \alpha / 2\).

Como ejemplo considere la luz cuasi-monocromática para la cual (véase (5.4.10):\[\Gamma_{0}(\tau)=I_{0} e^{-i \bar{\omega} \tau} \text {, for all } \tau \nonumber \] dónde\(\bar{\omega}\) está la frecuencia central. Entonces\[\Gamma_{P_{1} P_{2}}(0)=2 I_{0} \cos \left[\frac{\alpha \bar{\omega}\left(x_{1}-x_{2}\right)}{c}\right], \nonumber \] y de ahí el grado de coherencia mutua es:\[\begin{aligned} \gamma_{P_{1} P_{2}}(0) &=\frac{\Gamma_{P_{1} P_{2}}(0)}{\sqrt{\Gamma_{P_{1} P_{1}}(0)} \sqrt{\Gamma_{P_{2} P_{2}}(0)}} \\ &=\cos \left[\frac{\alpha \bar{\omega}\left(x_{1}-x_{2}\right)}{2}\right] . \end{aligned} \nonumber \]

Eso lo vemos cuando no\[x_{1}-x_{2}=\bar{\lambda} /(2 \alpha), \nonumber \] hay interferencia. De ahí que podamos decir que la coherencia entre puntos en la máscara sólo se produce cuando hay distancia menor que\(\bar{\lambda} /(2 \alpha)\).

Vemos de (\(\PageIndex{14}\)) que al mantenernos\(P_{1}\) fijos, podemos recuperar el ángulo\(\alpha\) midiendo\(\operatorname{Re} \gamma_{P_{1} P_{2}}(0)\) para un número de diferentes posiciones de\(P_{2}\).