6.3: Método de Espectro Angular

Nuestro objetivo es derivar el campo en algún punto\((x, y, z)\) con\(z=0\), dado el campo en el plano\(z=0\), como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Se supone que las fuentes del campo están en el medio espacio\(z<0\). Una forma de ver cómo se propaga la luz de un plano a otro es mediante el método del espectro angular. Descomponemos el campo en ondas planas con una transformada bidimensional de Fourier. Como sabemos cómo se propaga cada onda plana, podemos propagar cada componente de Fourier por separado y luego agregarlos todos juntos tomando la transformada inversa de Fourier. Matemáticamente, esto se describe de la siguiente manera: conocemos el campo\(U(x, y, 0)\). Escribiremos\(U_{0}(x, y)=U(x, y, 0)\) por conveniencia y aplicaremos una transformada bidimensional de Fourier a\(U_{0}\):\[\mathcal{F}\left(U_{0}\right)(\xi, \eta)=\iint U_{0}(x, y) e^{-2 \pi i(\xi x+\eta y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \nonumber \] La transformada inversa de Fourier implica:\[\begin{aligned} U_{0}(x, y) &=\iint \mathcal{F}\left(U_{0}\right)(\xi, \eta) e^{2 \pi i(\xi x+\eta y)} \mathrm{d} \xi \mathrm{d} \eta \\ &=\mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\right\}(x, y) . \end{aligned} \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Dado el campo\(U(x, y, 0)\), queremos encontrar\(U\) en un punto\((x, y, z)\) con\(z>0\). Se supone que el campo se propaga en la\(z\) dirección positiva, lo que significa que todas las fuentes están en la región\(z<0\).

Las propiedades más importantes de la transformada de Fourier se enumeran en el Apéndice E. Al definir\(k_{x}=2 \pi \xi, k_{y}=2 \pi \(\PageIndex{2}\)\) se pueden escribir como\[U_{0}(x, y)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \iint \mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)} \mathrm{d} k_{x} \mathrm{~d} k_{y} . \nonumber \] Las variables en el plano de Fourier:\((\xi, \eta)\) y\(\left(k_{x}, k_{y}\right)\) se denominan frecuencias espaciales.

La ecuación (\(\PageIndex{4}\)) dice que podemos escribir\(U_{0}(x, y)=U(x, y, z=0)\) como una integral (una suma) de ondas planas con vector de onda\(\mathbf{k}=\left(k_{x}, k_{y}, k_{z}\right)^{T}\), cada una con su propio peso (es decir, amplitud compleja)\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\). Sabemos cómo cada onda plana con amplitud compleja\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) y vector de onda\(\mathbf{k}=\left(k_{x}, k_{y}, k_{z}\right)^{T}\) se propaga a lo largo de una distancia\(z>0\)\[\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)} \rightarrow \mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y+k_{z} z\right)}, \nonumber \] Por lo tanto, el campo\(U(x, y, z)\) en el plano\(z\) (para algunos\(z>0\)) es dado por\[U(x, y, z)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \iint \mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right) e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y+k_{z} z\right)} \mathrm{d} k_{x} \mathrm{~d} k_{y}, \nonumber \] donde\[k_{z}=\sqrt{\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}, \nonumber \] con\(\lambda\) la longitud de onda de la luz medida en el material (de ahí,\(\lambda=\lambda_{0} / n\), con\(\lambda_{0}\) la longitud de onda en vacío). El signo frente a la raíz cuadrada en (\ pageIndex {7}\)) podría elegirse en principio negativo: se obtendría entonces también una solución de la ecuación de Helmholtz. La elección del signo de\(k_{z}\) está determinada por la dirección en la que se propaga la luz, que a su vez depende de la ubicación de las fuentes y de la convención elegida para la dependencia del tiempo. Tenemos que elegir aquí el\(+\) signo frente a la raíz cuadrada porque las fuentes están adentro\(z<0\) y la dependencia temporal de los campos tiempo-armónicos es (como siempre en este libro) dada por\(e^{-i \omega t}\) con\(\omega>0\).

La ecuación. (\(\PageIndex{6}\)) puede escribirse alternativamente como\[U(x, y, z)=\mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\left(U_{0}\right)(\xi, \eta) e^{i k_{z} z}\right\}(x, y), \nonumber \] donde ahora\(k_{z}\) debe interpretarse como una función de\((\xi, \eta)\):\[k_{z}=2 \pi \sqrt{\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}-\xi^{2}-\eta^{2}} . \nonumber \]

Obsérvese que se puede interpretar esto como una diagonalización del operador de propagación, como se explica en el Apéndice\(\mathrm{F}\).

Podemos observar algo interesante: si\(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}>\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{2}\), entonces\(k_{z}\) se vuelve imaginario, y\(\exp \left(i k_{z} z\right)\) decae exponencialmente para aumentar\(z\):\[\exp \left\{i\left[k_{x} x+k_{y} y+z \sqrt{\left(\frac{2 \pi n}{\lambda}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}\right]\right\}=e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y\right)} e^{-z \sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}-\left(\frac{2 \pi n}{\lambda}\right)^{2}}} . \nonumber \]

Estas ondas en descomposición exponencial son evanescentes en la\(z\) dirección positiva. Ya hemos encontrado ondas evanescentes en el contexto de la reflexión interna total discutida en la Sección 1.9.5. Las consecuencias físicas de las ondas evanescentes en la descomposición del espectro angular se explicarán en la Sección 6.4.

Las ondas para las que\(k_{z}\) es real tienen amplitud constante: solo la fase cambia debido a la propagación. Estas ondas, por lo tanto, se llaman ondas propagadoras.

Observación. En el espacio homogéneo, la ecuación escalar de Helmholtz para cada componente de campo eléctrico es equivalente a las ecuaciones de Maxwell y por lo tanto podemos propagar cada componente\(E_{x}, E_{y}\) e\(E_{z}\) individualmente usando el método del espectro angular. Si los datos en el plano\(z=0\) de estos componentes de campo son físicamente consistentes, el campo eléctrico así obtenido satisfará automáticamente la condición de que el campo eléctrico esté libre de divergencia, es decir, en\[\nabla \cdot \mathbf{E}=0 \nonumber \] todas partes\(z>0\). Esto equivale a la afirmación de que los vectores eléctricos de las ondas planas en el espectro angular son perpendiculares a sus vectores de onda. Alternativamente, se pueden propagar solo los\(E_{y}\) componentes\(E_{x^{-}}\) y y luego determinar\(E_{z}\) a partir de la condición que (\(\PageIndex{11}\)) debe cumplirse.