6.4: Integral de Difracción Rayleigh-Sommerfeld

Otro método para propagar un campo de onda es mediante el uso de la integral Rayleigh-Sommerfeld. Una muy buena aproximación de esta integral establece que cada punto del plano\(z=0\) emite ondas esféricas, y para encontrar el campo en un punto\((x, y, z)\), tenemos que sumar las contribuciones de todas estas fuentes puntuales juntas. Esto corresponde al principio Huygens-Fresnel postulado anteriormente en la Sección 5.6. Porque una derivación más rigurosa a partir de la ecuación de Helmholtz sería complicada y larga, solo daremos el resultado final:\[\begin{aligned} U(x, y, z) &=\frac{1}{i \lambda} \iint U\left(x^{\prime}, y^{\prime}, 0\right) \frac{z e^{i k \sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}}}}{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \\ &=\frac{1}{i \lambda} \iint U\left(x^{\prime}, y^{\prime}, 0\right) \frac{z e^{i k r}}{r} \mathrm{~d} x^{\prime} \mathrm{d} y^{\prime} \end{aligned} \nonumber \] donde definimos\[r=\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+z^{2}} . \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Las frecuencias espaciales\(k_{x}, k_{y}\) de las ondas planas en el espectro angular de un campo armónico de tiempo que se propaga en la\(z\) dirección. Existen dos tipos de ondas: las ondas propagadoras con frecuencias espaciales dentro del cricle:\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}<k=2 \pi / \lambda\) y que tienen fase dependiendo de la distancia de propagación\(z\) pero amplitud constante, y las ondas evanescentes para las cuales\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}>k\) y de las cuales la amplitud disminuye exponencialmente durante la propagación.

Observaciones.

1. La fórmula (\(\PageIndex{1}\)) no es completamente rigurosa: se ha omitido un término que es un factor\(1 /(k r)\) menor (y en practivo es por lo tanto es mucho más pequeño).
2. En (\(\PageIndex{1}\)) hay un factor adicional en\(z / r\) comparación con las expresiones para una onda esférica armónica de tiempo como se da en (1.53) y en el lado derecho de (5.44). Este factor significa que las ondas esféricas en la integral de difracción de Rayleigh-Sommerfeld tienen amplitudes que dependen del ángulo de radiación (aunque su frente de onda es esférico), siendo la amplitud mayor en la dirección hacia adelante.
3. Equivalencia de los dos métodos de propagación. El método del espectro angular equivale a una multiplicación por\(\exp \left(i z k_{z}\right)\) en el espacio de Fourier, mientras que la integral Rayleigh-Sommerfeld es una convolución. Es una de las propiedades de la transformada de Fourier que una multiplicación en el espacio de Fourier corresponde a una convolución en el espacio real y viceversa. De hecho, un resultado matemático llamado identidad de Weyl implica que la versión rigurosa de (\(\PageIndex{1}\)) y la expansión de onda plana (es decir, método de espectro angular) dan resultados idénticos.