6.5: Intuición para la Transformada Espacial de Fourier en Óptica

Dado que las transformaciones espaciales de Fourier han jugado y jugarán un papel importante en nuestra discusión sobre la propagación de la luz, es importante entenderlas no solo matemáticamente, sino también intuitivamente.

¿Qué sucede cuando se ilumina un objeto y la luz reflejada o transmitida se detecta a cierta distancia del objeto? Veamos la transmisión por ejemplo. Cuando el objeto es mucho mayor que la longitud de onda, a menudo\(\tau(x, y)\) se define una función de transmisión y entonces se asume que el campo transmitido por el objeto es simplemente el producto del campo incidente y la función\(\tau(x, y)\). Por ejemplo, para un agujero en una pantalla metálica con diámetro grande en comparación con la longitud de onda, la función de transmisión sería 1 dentro del agujero y 0 afuera. Sin embargo, si el objeto tiene características del tamaño del orden de la longitud de onda, este modelo simple se descompone y el campo transmitido debe determinarse resolviendo las ecuaciones de Maxwell. Esto no es fácil, pero algunos paquetes de software pueden hacerlo.

Ahora supongamos que el campo eléctrico transmitido se ha obtenido en un plano\(z=0\) muy cercano al objeto (una distancia dentro de una fracción de una longitud de onda). Este campo se denomina campo cercano transmitido y puede haberse obtenido simplemente multiplicando el campo incidente con una función de transmisión\(\tau(x, y)\) o resolviendo las ecuaciones de Maxwell. Este campo cercano transmitido es una especie de huella del objeto. Pero debe quedar claro que, aunque es bastante común en la óptica hablar en términos de “imagen de un objeto”, estrictamente hablando no imaginamos un objeto como tal, sino que imaginamos el campo cercano transmitido (o reflejado) que es una especie de copia del objeto. Después de obtener el campo cercano transmitido, aplicamos el método de espectro angular para propagar los componentes individuales a través de materia homogénea (por ejemplo, aire) desde el objeto hasta el plano detector o a un elemento óptico como una lente.

Dejar\(U_{0}(x, y)=U(x, y, 0)\) ser un componente del campo cercano transmitido. El primer paso es transformarlo de Fourier, mediante el cual el componente de campo se descompone en ondas planas. A cada onda plana, caracterizada por los números de onda\(k_{x}\) y\(k_{y}\), la transformada de Fourier asigna una amplitud compleja\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\), cuya magnitud indica cuán importante es el papel que juega esta onda en particular en la formación del campo cercano. Entonces, ¿qué se puede decir del campo objeto\(U_{0}(x, y)\), al observar la magnitud de su transformada espacial de Fourier\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\right|\)?

Supongamos que\(U_{0}(x, y)\) tiene rasgos afilados, es decir, hay regiones donde\(U_{0}(x, y)\) varía rápidamente en función de\(x\) y\(y\). Para describir estas características como una combinación de ondas planas, estas ondas también deben variar rápidamente en función de\(x\) y\(y\), lo que significa que la longitud de sus vectores de onda\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\) debe ser grande. Por lo tanto, cuanto más nítidas sean las características que\(U_{0}(x, y)\) tiene, más grandes podemos esperar que sean\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\right|\) para grandes\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\), es decir, se puede esperar que las frecuencias espaciales altas tengan una gran amplitud. De manera similar, las características amplias que varían lentamente\(U_{0}(x, y)\) se describen por ondas que fluctúan lentamente, es decir,\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) por pequeñas\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\), es decir, para frecuencias espaciales bajas. Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Para investigar más a fondo estos conceptos elegimos un determinado campo, tomamos su transformada de Fourier, eliminamos las frecuencias espaciales más altas y luego invertimos la transformada de Fourier. Entonces esperamos que el campo resultante haya perdido sus rasgos nítidos y solo conserve sus rasgos amplios, es decir, la imagen está borrosa. Por el contrario, si eliminamos las frecuencias espaciales más bajas pero conservamos las más altas, entonces el resultado solo mostrará sus rasgos nítidos, es decir, sus contornos. Estos efectos se muestran en la Figura 6.5.1. Recordemos que cuando\(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}>\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{2}\), la onda plana decae exponencialmente a medida que el campo se propaga. Perder estas altas frecuencias espaciales conduce a una pérdida de resolución. Debido a que por propagación a través del espacio homogéneo, se pierde la información contenida en las altas frecuencias espaciales correspondientes a ondas evanescentes (solo quedan amplitudes exponencialmente pequeñas de las ondas evanescentes), la imagen perfecta es imposible, por muy bien diseñado que esté un sistema óptico.

La propagación de la luz conduce a una pérdida irrecuperable de resolución.

Es este hecho el que motiva la microscopía de campo cercano, que intenta detectar estas ondas evanescentes mediante el barrido cercano a la muestra, obteniendo así una resolución de sublongitud de onda, lo que de otro modo no es posible.

Así que hemos visto cómo podemos adivinar propiedades de algún campo objeto\(U_{0}(x, y)\) dada la amplitud de su transformada espacial de Fourier\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\right|\). Pero ¿qué pasa con la fase de\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\)? Aunque realmente no se pueden adivinar las propiedades de\(U_{0}(x, y)\) al mirar la fase de\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) la misma manera que podemos al observar su amplitud, de hecho es la fase la que juega un papel más importante en la definición\(U_{0}(x, y)\). Esto se ilustra en la Figura 6.5.2: si\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}, \frac{k_{y}}{2 \pi}\right)\) se elimina la información de amplitud de, aún se\(U_{0}(x, y)\) pueden recuperar características del original. No obstante, si solo conocemos la amplitud\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\left(k_{x}, k_{y}\right)\right|\) pero no la fase, entonces el objeto original se pierde por completo. Así, la fase de un campo\(\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\) es muy importante, posiblemente a veces incluso más importante que su amplitud. Sin embargo, no podemos medir la fase de un campo directamente, solo su intensidad\(I=\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\right|^{2}\) a partir de la cual podemos calcular la amplitud\(\left|\mathcal{F}\left(U_{0}\right)\right|\). Es este hecho el que hace de la recuperación de fases un campo de estudio completo por sí solo: ¿cómo podemos encontrar la fase de un campo, dado que solo podemos realizar mediciones de intensidad? Esta pregunta se relaciona con un nuevo campo de la óptica llamado “imagen sin lente”, donde se recuperan amplitudes y fases de las mediciones de intensidad y la imagen se reconstruye computacionalmente. Por interesante que sea este tema, no lo trataremos en estas notas y nos referiremos en cambio a los cursos de Maestría en óptica.

Observación. La importancia de la fase para el campo también se puede ver observando la expansión de onda plana (6.5.3). Hemos visto que el campo en una\(z=\) constante plana se puede obtener propagando las ondas planas multiplicando sus amplitudes por los factores de fase\(\exp \left(i z k_{z}\right)\), que depende de la distancia de propagación\(z\). Si uno deja fuera de consideración las ondas evanescentes (ya que después de cierta distancia apenas contribuyen al campo de todos modos), se deduce que solo las fases de las ondas planas cambian al propagarse, mientras que sus amplitudes (los módulos de sus amplitudes complejas) no cambian. Sin embargo, dependiendo de la distancia de propagación\(z\), se obtienen patrones de luz muy diferentes (véase, por ejemplo, la Figura 6.5.4).

Otro aspecto de la transformada de Fourier es el principio de incertidumbre. Afirma que se tienen que sumar muchas ondas de diferentes frecuencias para obtener una función que esté confinada a un espacio pequeño. Dicho de otra manera, si\(U(x, y)\) se limita a una región muy pequeña, entonces\(\mathcal{F}(U)\left(k_{x}, k_{y}\right)\) debe estar muy extendida. Esto también se puede ilustrar por la propiedad de escalado de la transformada de Fourier:\[\text { if } h(x)=f(a x) \text { then } \mathcal{F}(h)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi}\right)=\frac{1}{|a|} \mathcal{F}(f)\left(\frac{k_{x}}{2 \pi a}\right) \text {, } \nonumber \] que simplemente establece que cuanto más\(h(x)\) se exprime al aumentar\(a\), más\(\mathcal{F}(h)\) se extiende su transformada de Fourier. Este principio se ilustra en la Figura 6.5.3. El principio de incertidumbre es familiar de la física cuántica donde se afirma que una partícula no puede tener tanto un impulso definido como una posición definida. De hecho, esta es solo una manifestación particular del principio de incertidumbre que acabamos de describir. Un estado cuántico se\(|\psi\rangle\) puede describir tanto en la base de posición\(\psi_{x}(x)\) como en la base de impulso\(\psi_{p}(p)\). La transformación de base que vincula estas dos expresiones es la transformada de Fourier\[\psi_{p}(p)=\mathcal{F}\left\{\psi_{x}(x)\right\}(p) . \nonumber \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Interpretación cualitativa de las transformaciones espaciales de Fourier. Las bajas frecuencias espaciales (es decir, pequeñas\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\)) representan fluctuaciones lentas y, por lo tanto, contribuyen a las amplias características del objeto del espacio real. Las altas frecuencias espaciales (es decir, grandes\(\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}\)) fluctúan rápidamente y, por lo tanto, pueden formar características nítidas en el objeto del espacio real.

¡De ahí que los dos estén obviamente sujetos al principio de incertidumbre! De hecho, dos observables cuánticos cualesquiera que estén relacionados por una transformada de Fourier (también llamadas variables conjugadas), como la posición y el momento, obedecen a esta relación de incertidumbre.

La relación de incertidumbre dice aproximadamente:

Si una función\(f(x)\) tiene ancho\(\Delta x\), su transformada de Fourier tiene un ancho\(\Delta k_{x} \approx 2 \pi / \Delta x\).

Dado que después de la propagación sobre una distancia\(z\), las ondas evanescentes no contribuyen a la transformada de Fourier del campo, se deduce que esta transformada de Fourier tiene el ancho máximo\(\Delta k_{x}=k\). Por el principio de incertidumbre se deduce que después de la propagación, el ancho mínimo del campo es\(\Delta x, \Delta y \approx 2 \pi / k=\lambda\).

El tamaño mínimo de entidad de un campo después de la propagación es del orden de la longitud de onda.

Esto plantea un límite fundamental a la resolución dado por la longitud de onda de la luz.